第二讲证明不等式的基本方法(一)

高中数学选修4-5 第2讲 证明不等式的基本方法

反证法与放缩法

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一、反证法： 1、反证法证题的步骤 若A成立，求证B成立。 、 共分三步： (1)提出与结论相反的假设；如负数的 反面是非负数，正数的反面是非正数即0和负数 (2)从假设出发，经过推理，得出矛盾； (必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错) (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 矛盾：与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的 结论矛盾甚至自相矛盾。 反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数 学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时， 可运用反证法进行证明。

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例1、已知 x, y > 0, 且 x + y > 2, 、

1+ x 1+ y , 试证： 试证： 中至少有一个小于2。 y x例2、已知 a, b, c 为实数， 、

a + b + c > 0.ab + bc + ca > 0, abc > 0,求证： a

> 0, b > 0, c > 0

例3、若p>0,q>0,p3+p3=2.证明：p+q≤2. 、

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二、放缩法： 放缩法： 1、放缩法的意义：放缩法发理论依据是不等式的 传递性：若 a < b, b < c ,则 a < c 放缩法的操作：若求证 P < Q ,先证

P < P < P2 < L < Pn , 1Pn < Q,

再证恰有

需注意：(1)只有同方向才可以放缩，反方向不可。 (2)不能放(缩)得太大(小),否则不会有最后的Pn < Q,

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例4、设a、b、c均为实数，求证： 、

1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + 2a 2b 2c b + c c + a a + b

例5、已知 、

a, b, c, d ∈ R ,求证

a b c d 1< + + + <2 a+b+d b+c+a c+d +b d +a+c

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例6、已知

,求证： a, b ∈ R 求证：

| a+b| |a| |b| ≤ + 1+ | a + b | 1+ | a | 1+ | b |1 1 1 预备求证： 预备求证： 1 + + + L + < 2 2! 3! n!n

(n ∈ N )*

1 例7、求证：2 < 1 + < 3 ( n ∈ N , n ≥ 2 ) 、求证： n

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不等式的基本证明方法 已知 求证： a, b, c, d ∈ R, 求证： 2 2 2 2 2 ( a + b )( c + d ) ≥ ( ac + bd )

证法一：综合法 证法一： 证法二： 证法二：分析法 证法三、 证法三、比较法 证法四、 证法四、三角代换法 证法五、 证法五、构造函数法

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六、课后作业：P 29 1、2、3、4、5、6 课后作业： 、 、 、 、 、 课外: <成才之路> P 45、P49、P 51 三个

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