北航2012抽象代数试卷与答案

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《抽象代数》期末考试卷

注意事项：

1、请大家仔细审题

2、千万不能违反考场纪律 题目：

一、 判断题 （每小题2分，共20分）

( ) 1、设 * 是集合X上的二元运算，若a X是可约的，则a是可逆的。 ( ) 2、任何阶大于1的群没有零元。 ( ) 3、任何群都与一个变换群同构。

( ) 4、奇数阶的有限群中必存在偶数个阶为2的元素。 ( ) 5、素数阶群必为循环群。

( ) 6、x 2 + 5 是GF (7) 上的不可约多项式。 ( ) 7、环的理想构成其子环。

( ) 8、有补格中任何元素必有唯一的补元。 ( ) 9、格保序映射必为格同态映射。

( ) 10、设A S，则 < P (A)， > 是格 < P (S)， > 的子格。

二、 填空题（10分）

1、设〈G，*〉为群，a，b G且a的阶为n，则b1 a b的阶为 。 2、设〈G，*〉为群且a∈G。若k∈I且a的阶为n，则a k 的阶为_n/(n,k) _；

并且 a k = e 当且仅当 3、域的特征为___________ ；有限域的阶必为_________。 4、GF（3）上的二次不可约首1多项式有222

5、设 D 是 I+ 上的整除关系，即对任意的 a，b∈I+ ，a D b 当且仅当 a | b。 对任意 a，b∈I+ ，则 a * b = __(a, b)__， a b = __[a, b]__。

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三、 计算题（40分，每小题8分）

1、试求群 < N11 —{0}，·11 > 的所有子群。 解：

所有子群是： <{1}, 11 >

<{1, 3, 4, 5, 9}, 11 > <{1, 10}, 11 >

< N11 —{0}， 11 >

2、试求群 < N7 ，+7 > 的所有自同态。

解：设f为群 < N7 ，+7 > 的自同态，则：

f(x) = f (1) +7 f (x-1) = f (1) +7 f (1) +7f (x-2) =… = x f (1) mod 7

3、设有置换：

12345 P ,Q

34512

试求 P 2 和Q P 。 解：

12345 21453

12345 12345

P2 ,Q P 45321

51234

4、试求群 < N7 —{0}，·7 > 的2阶子群H，并求 < N7 —{0}，·7 > 关于H的商群。 解：

< N7 —{0}，·7 >的2阶子群H = <{1, 6},·7 > < N7 —{0}，·7 > 关于H的商群为：G/H = <{1，6}, {2，5}, {3，4}>

5、给定域 < N2 ，+2 ， 2 > 上的多项式 a (x) = x 4 + x 2 + x + 1，b (x ) = x 4 + x 3 + 1， 试判断a (x) 和 b (x) 是否为不可约多项式，并说明理由。 解：a(x)为是可约多项式。因为a(x) = (x+1) (x3+x2+1)。

b(x)为不可约多项式。

若b(x)为可约多项式，则必能整除次数小于或等于2的不可约多项式。

而< N2 ，+2 ， 2 > 上的次数小于或等于2的的不可约多项式只有：x，x+1，x2+x+1，它们均不能整除b(x)，所以b(x)为不可约多项式。

四、 证明题（30分）

1、设〈G，*〉是群，令

C (G) = { x∈G | 若y∈G，则x * y = y * x } （8分）

证明：i) C (G) 是G的子群；

ii) C (G) 是G的不变子群。

证明：i) （a）对任意a∈G，因e * a = a * e， e C(G),即C(G) 。 (b) 若y C(G),则对于任意a G：ya ay，

故y aya 1 y 1 ay 1a 1 y 1a ay 1， y 1 C(G)。

(c) 若x,y C(G)，则对于任意a G：xa ax且ya ay，

因此 (xy)a x(ya) x(ay) (xa)y (ax)y a(xy)，故xy C(G)。 ii) 对于 a G,h C(G),aha

1

haa 1 h C(G)，故C(G) G。

2、证明：无限循环群G有且只有两个生成元。 （8分） 证明：

先证存在性：

设无限循环群G = (a)，则G = {an | n∈I}。

因G是群，则必存在a-1∈G，且 (a-1) = (a) = G。

假设 a = a-1 ，则 a2 = e，此时G = (a) = {a, e} 与G为无限群矛盾！ 所以存在两个不同的生成元 a 和a-1。

再证唯一性：

假设b也是G的生成元，则(b) = G，b∈G。

∴a = bi 且b = aj ， ∴b = aj = (bi)j = bij ∴bij-1 = e

若ij-1 ≠ 0 ，则G的阶 ij-1, 这与G为无限群矛盾！ 因此，必有ij-1 = 0， 则 (i,j) = (1,1) 或（-1， -1）， 所以，b = a 或 b = a-1。

综上所述，无限循环群有且只有两个生成元。

3、设 < L，*， > 是格，证明：a (b * c) (a b) * (a c) 。 （6分） 解：

∵a a b 且a a c， ∴ a (a b)* (a c)

∵(b * c) b (a b) 且 (b * c) b (a c) ， ∴(b * c) (a b)* (a c) ∴a (b * c) (a b)* (a c)

4、证明：有理数域〈 Q，＋，· 〉的自同构映射只有一个。 （8分） 证明：设f为有理数域〈 Q，＋，· 〉的自同构映射，

因f(0) = f(0+0) = f(0)+f(0)，故f(0) = 0。

因f(1) = f(1 1) = f(1) f(1) 且 f(1)≠0，故f(1) = 1。

由f(1) = f(1/m + 1/m+ … +1/m) = mf(1/m) = 1，得f(1/m) = 1/m， 而正有理数可以表示为p/q（p>0,q>0均为整数），则

f (p/q) = f(1/q + 1/q + …+1/q) = p f (1/q) = p/q， 负有理数可以表示为 -p/q（p>0,q>0均为整数），

由f (0) = f (p/q +(-p/q)) = f (p/q) + f (-p/q) = 0，得f (-p/q) = - f (p/q) = -p/q。 因此，对任意有理数x：f (x) = x。

综上所述，有理数域的自同构映射只有一个，即为恒等映射。

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