2014-2015高二数学必修5数列单元测试题及解析

2014-2015高二数学必修5数列单元测试题及解析

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．Sn是数列{an}的前n项和，log2Sn＝n(n＝1,2,3，…)，那么数列{an}( ) A．是公比为2的等比数列 B．是公差为2的等差数列 1

C．是公比为的等比数列

2D．既非等差数列也非等比数列

解析 由log2Sn＝n，得Sn＝2n，a1＝S1＝2，a2＝S2－S1＝22－2＝2，a3＝S3－S2＝23－22＝4，… 由此可知，数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列． 答案 D

2．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a5＝( ) A．6 C．－12

解析 a3＝a2－a1＝6－3＝3，

B．－3 D．－6

a4＝a3－a2＝3－6＝－3， a5＝a4－a3＝－3－3＝－6. 答案 D

3．首项为a的数列{an}既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n项和为( ) A．an－1 C．an

B．na D．(n－1)a

解析 由题意，知an＝a(a≠0)，∴Sn＝na. 答案 B

4．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为( ) A．63 C．127

解析 a5＝a1q4＝q4＝16，∴q＝2. 1－27

∴S7＝＝128－1＝127.

1－2答案 C

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B．64 D．128

5．已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)的值等于( )

A．－8 9C．－

8解析 a2－a1＝

－1－

3－

8＝， 3

B．8 9D. 8

b22＝(－1)×(－9)＝9，∴b2＝－3， 8

∴b2(a2－a1)＝－3×＝－8.

3答案 A

6．在－12和8之间插入n个数，使这n＋2个数组成和为－10的等差数列，则n的值为( ) A．2 C．4

解析 依题意，得－10＝∴n＝3. 答案 B

7．已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为( ) A．4 C．－4

1

B．3 D．5

－12＋8

(n＋2)， 2

1B. 41D．－ 4

解析

?a＋3d＝15，

由a＝15，S＝55，得?5×4

5a＋d＝55.

2?

4

5

1

?a1＝3，

解得?

?d＝4.

15－11

＝4. 4－3

∴a3＝a4－d＝11.∴P(3,11)，Q(4,15)．kPQ＝答案 A

8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19＝( ) A．55

B．95

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C．100 解析 S19＝答案 B

D．190

a1＋a19

2

×19＝a3＋a17

2

×19＝

10

×19＝95. 2

9．Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＋a4＋a15是一个确定的常数，则在数列{Sn}中也是确定常数的项是( )

A．S7 C．S13

B．S4 D．S16

解析 a2＋a4＋a15＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋14d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，∴a7为常数． ∴S13＝

a1＋a13

2

×13＝13a7为常数．

答案 C

10．等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝62，则通项是( ) A．2n－1 C．2n＋1

B．2n D．2n＋2

解析 ∵a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝q(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)， ∴62＝q×31，∴q＝2.∴S5＝∴a1＝1，∴an＝2n－1. 答案 A

11．已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是( ) A．4或5 C．6或7

解析 由d<0知，{an}是递减数列， ∵|a3|＝|a9|，∴a3＝－a9，即a3＋a9＝0. 又2a6＝a3＋a9＝0，∴a6＝0. ∴S5＝S6且最大． 答案 B

12．若a，b，c成等比数列，则方程ax2＋bx＋c＝0( ) A．有两个不等实根 B．有两相等的实根 C．无实数根

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a1

－25

1－2

＝31.

B．5或6 D．不存在

D．无法确定

解析 a，b，c成等比数列，∴b2＝ac>0. 而Δ＝b2－4ac＝ac－4ac＝－3ac<0. ∴方程ax2＋bx＋c＝0无实数根． 答案 C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．2，x，y，z,18成等比数列，则x＝________.

解析 设公比为q，则由2，x，y，z,18成等比数列．得18＝2q4，∴q＝±3.∴x＝2q＝±23. 答案 ±23

?2an，0≤an≤1，

14．若数列{an}满足an＋1＝?

?an－1，an>1，

6

且a1＝，则a2013＝________.

7

61251036125

解析 由题意，得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝，…，∴a2013＝a3＝. 777777775

答案

7

15．一个数列的前n项和为Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n＋1n，则S17＋S33＋S50＝____________. 解析 S17＝－8＋17＝9，S33＝－16＋33＝17，S50＝－25，∴S17＋S33＋S50＝1. 答案 1

1S4

16．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.

2a4?1??

S4?2??解析 ＝＝15.

a4?1??1?3

?1－?a1???2??2?

a1?1－??4?

??

答案 15

三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*. (1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列{nan}的前n项和．

2

解 (1)令n＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a1，∵a1≠0，

∴a1＝1，令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2. 当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1＝Sn－1

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两式相减得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1，

于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， 即an＝2n－1.

∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由(1)知，nan＝n·2n－1.

记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是

Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，① 2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.② ①－②得

－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n. 从而Bn＝1＋(n－1)·2n.

18．(12分)已知等比数列{an}，首项为81，数列{bn}满足bn＝log3an，其前n项和为Sn. (1)证明{bn}为等差数列；

(2)若S11≠S12，且S11最大，求{bn}的公差d的范围． 解 (1)证明：设{an}的公比为q， 则a1＝81，

an＋1

＝q，由an>0，可知q>0， anan＋1

＝log3q(为常数)， an∵bn＋1－bn＝log3an＋1－log3an＝log3

∴{bn}是公差为log3q的等差数列． (2)由(1)知，b1＝log3a1＝log381＝4， ∵S11≠S12，且S11最大， ?b11≥0，∴?

?b12<0，

1

?b1＋10d≥0，即?

?b1＋11d<0.

－b2?d≥＝－，?105?b4

d<－＝－??1111.

1

24∴－≤d<－.

511

19．(12分)等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且

b2S2＝64，b3S3＝960.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k9ud.html