第二章+++静电场与导体

第二章 静电场与导体

一、判断题（正确划“?”错误码划“?” ）

E?1、由公式

点场强仅由该点附近的导体上的面上的面电荷产生的。（ ）×

2、一导体处静电场中，静电平衡后导体上的感应电荷分布如图，根据电场线的性质，必有一部分电场线从导体上的正电荷发出，并终止在导体的负电荷上。（ ）×

3、一封闭的带电金属盒中，内表面有许多针尖，如图所示，根据静电平衡时电荷面密度按曲率分布的规律，针尖附近的场强一定很大。（ ）×

4、孤立带电导体圆盘上的电荷应均匀分布在圆盘的两个圆面上。（ ）√

5、对于一个孤立带电导体，当达到静电平衡时，面电荷的相对分布与导体表面的曲率成正比。（ ）√

6、一个接地的导体空腔，使外界电荷产生的场强不能进入腔内，也使内部电荷产生的场不进入腔外。（ ）×

7、若电荷间的相互作用不满足平方反比律，导体的屏蔽效应仍然存在。（ ）×

8、用一个带电的导体小球于一个不带电的绝缘大导体球相接触，小球上的电荷会全部传到大球上去。（ ）×

9、带电体的固有能在数值上等于该带电体从不带电到带电过程中外力反抗电力作的功。（ ）√

10、静电平衡时，某导体表面的电荷在该导体内部产生的场强处处必为零。（ ）×

11、两个带有同种电荷的金属球，一定相斥。（ ）×

12、真空中有一中性的导体球壳，在球中心处置一点电荷q，则壳外距球心为r处的场强为

??0知，导体表面任一点的场强正比于导体表面处的面电荷密度，因此该

E?qq4??0r2,当点电荷q偏离中心时，则r处的场强仍为4??0r2。（ ）√

13、接地的导体腔，腔内、外导体的电荷分布，场强分布和电势分布都不影响。（ ）√

111（qA?A?qB?B）qA?AqB?B22214两个导体A、B构成的带电系的静电能为，则式中的及

分别表示A和B的自能。（ ）×

15、两个半径相同的金属球，其中一个是实心的，一个是空心的，通常空心球比实心球的电容大。（ ）×

二、选择题、

1、关于导体有以下几种说法：（B） （A）接地的导体都不带电。

（B）接地的导体可带正电，也可带负电。 （C）一导体的电势零，则该导体不带电。

（D）任何导体，只要它所带的电量不变，则其电势也是不变的。

2、一面积为S的很大金属平板A带有正电荷，电量为Q，把另一面积亦为S的不带电金属平板平行放在A板附近，若将A板接地，则A、B两板表面上的电荷面密度是：（A） （A）?1??2??3??4?0

QQ??2，?3?????42S2S（B）

Q?1??4?0，?2????3S（C） Q?1??2?0，?3????4S（D）

??AB3、一点电荷+q位一本来不带电的金属球外，q到球心的距离为a，球的半径为R（如图），若P为金属球内的一点，它的坐标是（b、?），金属球内的感应电荷在P点产生的场强的大

小是：(A)

E?（A）

q224??（Oa?b?2abcos?）

（B） E?0

qE?24??a0（C） qE?24??R0（D） ，

Pb?Raq4、两个平行放置的带电大金属板A和B，四个表面电荷面密度为?1、?2、?3、?4如图所示，则有(A)

（A）?1??4，?2???3 （B）?1??4，?2??3 （C）?1???4，?2???3

（D）?1???4，?2??3

5、如图所示 两个同心球电容器的联接法是：(B) ?1?2?3?4（A） （a）串联 （b）并联 （B） （a）并联 （b）串联 （C） （a）（b）均并联 （D） （a）（b）均串联

（a） （b）

6、将一接地的导体B移近一带正电的孤立导体A时，A的电势。(B) （A）升高 （B）降低 （C）不变 （D）无法判断

7、一个电容量为C的平行板电容器，两极板的面积都是S，相距为d，当两极板加上电压U时，（略去边缘效应），则两极板间的作用力为：(C )

Q1Q2CU2CU2F?F?2dd 排斥力 （A）排斥力 （B）CU22CU2F?F?2d吸引力 （D）d吸引力 （C）

8、a、b、c为带电导体表面上的三点，如图所示，静电平衡时，比较三点的电荷密度，电势及面外附近的场强，下诉说法中错误的是：(B) （A）?a>?b>（B）?a>?b<（C）

?c ?c

Ea>Eb>Ec ?????c?Qabbc （D）a9、有一点电荷q及金属导体A，且A处于静电平衡状态，下列说法中正确的是：(C) （A）导体内E=0， q不在导体内产生电场。 （B）导体内E≠0，q在导体内产生电场。

（C）导体内E=0，q在导体内产生电场。 （D）导体内E≠0，不在导体内产生电场。

10、真空中有一组带电导体，某一导体表面电荷面密度为?处，其表面附近的场强该场强E是由：(D)

（A）该处无穷小面元上的电荷产生的。 （B）该面元以外的电荷产生的。 （C）该导体上的全部电荷产生的。 （D）所有导体表面上的电荷产生的。 11、一半径为R的孤立导体球，带有正电荷q，其电势分布曲线?—r是：(B) ??

（A） （B） ??rr RR

（C） （D）

rR12、平行板电容器两极板的面积都是S，相距为d，其间有一厚度为t的金属板与极板平行rR放置面积亦是S则系统电容是：(B)

E???0，

?0s?0s?0s11?0s?（?）dt （A）d （B）d?t （C）t （D）

13、半径分别为a和b的两个金属球，球心间距为r，（r?a，r?b）今用一根电容可忽略的细

线将两球相连，该系统的电容是：(A)

4??0ab4??（4??0r 0a?b）（A） （B）a?b （C） 0 （D）

14、如图所示，在一边长为a的立方体的每个顶点上放一个点电荷-e，在中心放一个点电荷

+2e，此带电体的相互作用能：(A)

?e?e220.344e0.688e（A）?0a （B）?0a

?e?e?2e?e?e?e?e5?7e24.62（C）?0a （D）-?0a 15、如图所示，一半径为Rc的导体球，带电量为Q，在距球心为d处挖一半径为Rb（Rb

，此球带有电量

q，整个带电系统的静电能。(B)

14??0（A）

2?q2q2（Q?q）?????RRRc? b?a2?1?q2q2（Q?q）????8??RRR0?abc? （B）

q2Q2（?）（C）8??0RaRc

111qQ（?）RcRa （D）8??01RC

RbRa16、平行板电容器充电后与电源断开，然后将距离拉大，则电容C，电压U,电场能量W，将

有如下变化：（A）

（A）C? U? W? （B）C? U? W?

（C）C? U? W? （D）C? U? W?

17、平行板电容器接入电源保持其两极板间的电压不变，将两极板间距离拉大，则电容器各量的变化为：（D）

（A）电容增大 （B）带电量增大

（B）电场强度增大 （D）电量、电容、场强都减小

18、真空中有一半径为R的导体球，当球上带电量为Q时，其电场能量为：（C）

Q2Q2Q224??RQ0（A） （B） 4??0R （C）8??0R （D）16??0R

三、填空题

1、导体在静电场中达到静电平衡的条件是（ ）。 合场强在导体内部处处为零

2、在一电中性的金属球内，挖一任意形状的 空腔，腔内绝缘地放一电量为q的点电荷，

Pr如图所示，球外离开球心为r处的P点的 场强（ ）。

?E?q4??0r2

3、如图所示，在金属球A内有两个球形空腔， 此金属球整体上不带电，在两空腔中心绝缘 地各放置一点电荷q1和q2，球外远处有一固 定的点电荷q，q到球心的距离r比球的球的 半径大得多。

（1）q受到的静电力（ ）;

er?Oq q1Aq2rq（2）q1受到的q的作用力（ ）； （3）q受到q2的作用力（ ）; （4）q1受到q2的作用力（ ）。

q（q1?q2）q2q4??0r2、 0、 4??0r2、 0

4、在一电中性的绝缘金属盒内悬挂一带正电的金属小球B如图所示。 （1）、带正电的试探电荷A位于金属荷附近，A受( )， 若将B从盒中移走，A受（ ）；（2）若使B与金属盒内壁接触， BA受（ ）；（3）若让金属盒接地，则A受（ ）；

A（4）当金属盒接地后，先把B从盒内移走，然后拆去接地线，

则A受（ ）。（括号内填吸力或斥力）。

斥力、 吸 力、 斥 力、 吸力、 吸力

5、如图所示，金属球壳内外半径分别为a和b，带电量为Q，球壳腔内距球心O为r处置一电量为q的点电荷，球心O点的电势（ ）。

ao

6、在金属球壳外距球心O为d处置一点电荷q，球心O处电势（ ）。

14??0?qqQ?q?????b? ?rabq7、演示用的范德格喇夫静电起电机，它的铝球半径为10cm，该起电机能达到的最高的电势（ ）(设空气的击穿场强为3×103×10V

8、一球形电容器内外两壳的半径分别为R1和R

454q4??0d

Vcm)

（如图），

今在壳之间放一个内外半径分别为R2和R3的同心导体球壳 当给内壳（R1）以电量Q时，半径分别为R1和R4两壳的电势差

( )及电容（ ）

R1R44??0R1R2R3R4Q1111（???）（R4?R3）R1R2。 4??0R1R2R3R4 （R1?R2）R3R4?

（1）a、b间电容（ ）; 9、如图所示，电容C1?10uF，C2?C3?5.0uF，C3上的电量（ ）(2)a、b间加上电压100V，C2上的电量（ ）; (3)若C1被击穿，

C1

15uF4 250uF 250uF

10、如图所示电路C1?C2?C3?C4?C5?2?10?12C3C2端电压U0?1000V，F，

C1C3abC1所带电量（ ）

U0C2C4C5

?? E1?Eq?0由此得 ???y?1qqaij? r ? 2 E 1 ? ? 2 e 2 3 2

4??0r4??0(a?y)图4-2

2）若P2是x>0空间内的一点，其坐标为（δ，y），δ→0 ，因P1和P2无限接近，在这两

??'E1E点，点电荷q的电场强度是相等的，但感应电荷在P1处的场强和P2处的场强是不同

??'EqE的，根据导体表面附近一点的场强垂直于导体表面知，和大小相等，方向不同，如图

4-3。

??y??'q?aij E1?4??0(a2?y2)32

???'q2ai ?E?Eq?E1?? 4??(a2?y2)320?Eqy?E?E1'q

aq?)?(?i223210(a?y)2??E??o?x图a4-3 aq

??5、 电量为q的点电荷绝缘地放在导体球壳的中心，球壳的内半径为R1，外半径为R2，求2?(a2?y2)32球壳的电势

解：点电荷位于球壳的中心，球壳内表面将均匀带有总电量-q，球壳外表面均匀带有总电量q，电场的分布具有球对称性，此时可用两种方法求球壳的电势。 1）积分法

???qR2q ??E?dr?dr?12R24??r R14??0R202）叠加法

?q

q?qqq ?q????? 4??0R14??0R14??0R24??0R26、两导体球，半径分别为R和r，相距甚远，分别带有电量Q和q，今用一细导线连接两球，求达到静电平衡时，两导体球上的电荷面密度之比值。

解：当导体球相距甚远时，每一导体球都可以看作为孤立导体处理。导体球的电势分别为

?0??当用导线连结时，两导体球上的电荷重新分布，电量变为 Q和 q但导线很细，分布在导线上的电荷忽略不计。这是两导体球的电势相等，即

''

Qq ?Rr而

''

Q?q?Q?q

由此可求得 RQ'?(Q?q)

1Q4??0R 1q ?? 4??0r??''R?rrq'?(Q?q)R?r

面电荷密度 Q'q?Q1?R?? 24?R4?(R?r)R

q'q?Q1?r??

4?r24?(R?r)r所以

?Rr ??rR

7、 一导体球通过与一带电金属板反复接触而获得电荷，每当导体球与金属板接触并分后,又重新使金属板带有电量Q，若q1是导体球与金属板第一次接触后所带的电量，求导体球可获得的最大电量。

解：导体球与金属板接触时，两者达到电势相等。设经过第一次接触，导体球的电量为q1金属板的电量为Q1，它们的比值为 q1 ?kQ1

导体球和金属板接触达到静电平衡时电势相等，K值不变。

根据电荷守恒定律q1?Q1?Q，故有 q1q1k?k?金属板第二次被充电到Q后再与导体球接触，设导体球和金属板的电量分别为q2和Q2，则

Q?q1Qk?1 q2 ?k Q2根据电荷守恒定律， ，故有

q?Q2?q1?Q q22?k

Q?q1?q2

kqq2?(Q?q1)?q1(1?1)

k?1Q同理，经过第n次接触，导体球的电量为

2n?1 q1q1q1 qn?q1(1??2????n?1) QQQ当n→∞时 1Qq1= qmax?q1q Q?q11?1 Q8、 一球形电容器内外薄壳的半径分别为R1和R4，今在两壳之间放一个内外半径分别为R2和R3的同心导体壳，求半径为R1和R4两球面间的电容。 解：因静电感应，各球面带电情况如图所示，导体内部无电场。

?Q R1QR2?Q QR3

??R2R4R4QQ

?1??4??E?dr??R14??0r2dr??R34??0r2dr Q?1111??????? ?4??0?R1R2R3R4??

4??0R1R2R3R4 QC??

?1??4R2R3R4?R1R3R4?R1R2R4?R1?R2R39、在图示的电路中C1=C3=2μF ， C2=C4=C5=1μF，=600v 试求各个电容器上 的电势差？

解：此电容组合并非简单的电容串、并联，对闭合回路AC1C2B?A、

??AC4C5B?A及AC1C3C4A分别应用环路定理 得

E?dl?0

C1C2

U1?U2???0AB

C3 U?U???045

C5C4 U1?U3?U4?0? 把高斯定理应用于图中电容器C1、C2、C3各一极板的闭合曲面（虚

? q线）注意到各电容器原来未带电，故由 ? 得 E?ds? ?0 111?1ds??2ds??3ds?0 ??0?0?0

Q1?Q2?Q3 U1C1?U2C2?U3C3同理 Q5?Q3?Q4

注意到 Q ? UC ，联立以上五式得

U1?240VU2?360VU4?360V

U3?120VU5?240V10、试从电场的能量密度出发计算一均匀带电薄球壳的固有能，设球壳半径为R，带电量为q。

解：带电球壳的场分布在球外，离球心为r处的场强为

1q

E?(r?R) 24??r电场的能量密度为 0

121q2 ?E??0E?2 32?2?0r42 球壳的固有能为 能量分布具有球对称性，取体积元 dV ? 4 r ?dr 2?1q W??EdV??4?r2dr24R32??r 0

1q2 ?????????0??11、如图所示，两块厚度都是δ的无限大平行平板均匀带电，电荷体密度分别为??试求电

8??R场对每一平板单位面积的作用力，设A板带正电，B板带负电。

解：A板处在B板的电荷所产生的电场中，B板上的电荷在A板处所产生的场是均匀电场，其场强为

?1?1 ?E??i???iB 2?02?0因此，A板每单位面积所受到的力为 ??? F?dqEB??????SEB

?? 122?12?f???E???i??iB

2?02?0式中是带电板单位面积所带来的电量。

12、一半径为R带电量为q的球形导体，被切为两半，如图如示，求两半球的相互排斥力。 解：导体表面单位面积所受的力等于电场能量密度。任选一面元dS，其受力大小为

?1

dF??0E2dS 2?方向垂直球面向外，即沿径向。将dF分解，由于球对称，可知

dFY?0

而

1? dFx??0E2cos?dS 2dSdF其中 ?x dS?2?R2sin?d?

q

E? 4??0R2所以两半球相互排斥力为

?2 q2F?F?dF?cos?sin?d?XX 2016??0R

1q2

? 32??0R213、三块平等的金属平板A、B和C，面积都是200cm2,A、B两极板相距4.0mm,A、C两板

?7相距2.0mm，B、C两板都接地（如附图所示），如果A板带3.0?10C的正电，边缘效应忽略不计，试求：（1）B、C两板上的感应电荷升是多少？（2）以地为零电势，A板的电势是多少？

解：因B、C两极都接地，故知B、C两板上只有向着A的那一面有感应电荷,设电荷量的面

???密度分别为?B和?C,A板向着B和C的两面上的电荷量的面密度分别为?AB和?AC又因导体板面积很大，每个面可看作无限大的带电平面，根据静电平衡条件，每一金属板内的场强为零，有

?C?AC?AB?B????02?02?02?02?0

?C??AC??AB??B?0??①

2.0mm4.0mm?C?AC?AB?B????02?02?02?02?0

?C??AC??AD??B?0??②

根据电荷守恒定律有

QA???AB??AC??S??③

由① ②式得

?C??AC?0????④ ?B??AB?0????⑤

由④ ⑤式可得三块板上电荷量间的关系为

QB?QC??QA???⑥

由高斯定理得A、B间，A、C间的电场强度为

???EAB?ABe?0??⑦

??????Ce?EAC?AC??e?0?0??⑧

?为垂直板面的单位矢量，从A指向B，设A、B间距离为dAB，A、C间距离为dAC，式中e则由UB?UC得

??C??dAC?ABdAB??BdAB?0?0?0??⑨

所以

dAB?BdAC??⑩

dQC?ABQBdAC??? ?C?由⑥ ?式联立解得

dAC2QB??QA???3.0?10?7??1.0?10?7?C?dAB?dAC4?2 4QC????1.0?10?7???2.0?10?7?C?2

A板的电势为

UA?EABdAB???BQdAB??BdAB?0?0S

1.0?10?7?4.0?10?3??2.3?103?V???12?48.854?10?200?10

?2214、面积为S?10m的三块导体薄板A、B、C平行排列如图14-1所示，间距d1?1mm，d2?2mm,今在A、C两板接地情况下，将B以充电至3000V, 然后拆去所有接线，再抽出B板，计算：（1）A、C两板上的电荷qA、qC；（2）A、C两板间的电势差?A??C

所以

??Q?11????Qh?01?2?2h?22R?h????

3h2?R2

R?3h

（2）当y=0时

'??0???Eo?i'?0??Q2?h2

Q2??0h2

（3）在导体板上找电荷元?'dS如图32-3所示，由库 仑定律知，元电荷与点电荷Q之间相互作用力为

?0?ix?dF?h?'dSdF?y由于感应电荷分布的轴对称知 y 图32-3 Fy?0

点电荷Q所受引力为

Q??`dS?224??0y?hh2q??`dS4??0y2?h2

??oF??dFx??dFcos?????????y?h122?

Q2h24??0y2?h?322???y?32?h322??2?ydy?2?

Q2h2??4??0??y0?ydy2?h2

??Q233、如图33-1所示，两平行导体平板用细导线连接起来，保持相同的电势。设一板与Oxz平面重合，另一板与平面y=s重合，两板的间距s远小于导体板的尺寸。有一点电荷Q放在两板之间y=b处，求：（1）两导体板内表面上的总电荷是多少？（2）每一导体板内表面上的总电荷是多少？ 解：（1）因为S远小于导体板的尺寸，两板视为无限大平面，当两板用细导线接起来后，又可视为无限大的导体腔。根据静电平衡条件，空腔导体内表面的感应电荷与腔内的点电荷等量异号，所以，导体板内表面上的总电荷是-Q

（2）在y=b的平面上的任一处加上另一点电荷Q，每一板内表面上的电荷都将加倍，与这个点电荷Q在平面上的位置无关。设想在y=b平面上有N个点电荷q，使Nq?Q，这样N个点电荷q在两板内表面上感应电荷与点电荷Q在两板内表面上感应电荷相等。由此，我们用带电为Q的导体板C代替点电荷Q，如图33-2所示，设A、B、C两板表面电荷面密度分别为?1、?2、?3、?4，所带电量分别为Q1、Q2、Q3、Q4作如图33-2虚线所示的高斯面，根据高斯定理有

z16??0h2（负号表示引力） ?Q2?F??i216??0h

xobQs?1??2?0,?2???1,Q2??Q1 ?3??4?0,?3???4,Q3??Q4

?1??4???2??3 图33-1

所以

根据AC之间与CB之间电势差相等的条件，有 ? 1 ? 2?3?4Q1?Q4???Q2?Q3???Q

??2?b?3?S?b??0?0 ACB?2b??3?S?b? Q1Q2QQ34Q2b?Q3?S?b? b 图33-2 Q2b??Q?Q2??S?b??QS?Q2S?Qb?Q2b SQ2S?Q?S?b?

?b?Q2?Q?1???S?

?b?Q1??Q2?Q??1??S?

QbbS?bbQ3?2??Q?QS?bS?bSS

bQ4??Q3??QS

34、在接地的无限大导体平板的一侧附近，有一电偶极矩p?ql的偶极子，其方向与导体平板垂直，如图34-1所示。设偶极子的中心到平板的距离为a，试求导体板表面上感应电荷的

分布。

?Erp?ne?E?A?Sa?E'r??解：在板面上取一个包含A点的面元?S，在板内极近A点外取一点B，其场强EB可以看

作由如下三部分迭加而成：

（1）面元?S上的电荷?'?S激发的场强

a 图34-1 图34-2 ?E?B?，虽然?S是一个面元，但只要所取的B点与

A点的距离足够小，则?S对B点而言仍可看作无限大带电平面，故

??'?nE'?B??e2?0

'En?B??其法向分量

?'2?0??①

?E'（2）板面上除?S处的全部电荷激发的场强?B?，由于A、B两点极近有

??E''?B??E''?A?

又因为板面上除?S外所有电荷在A点激发的场强只有沿板面的切向 所以

''En?B??0??②

（3）电偶极子在B点激发的场强

Pco?s22??r0 Pcos?Ern?B??cos?22??r0 ??③ E1?B??Psin?4??0r2

Psin????E?n?B??cos????224??r????④ 0

E??B??由静电平衡条件知

'???B??Ern?B??E?n?B??0??⑤ EB?Enn

将①、③、④式代入⑤式得

?'Pcos?Psin???cos??cos(??)?02?02??0r324??0r3 P(sin?2?2cos?2)P(1?3cos?2)????332?r2?r'3a2P(1?2)2a?y2?(a?y)2232??(2a2?y2)P2?(a?y)

2252

35、有三个半径为a的相同导体球，其中心位于一个边长为r的等边三角形的三个顶点上（r<

所以

q12q??04??0a4??0r

2qar

q2q1??r3r1设2球接地，带电为q2，如图35-2所示，该球的电势为 q 图35-1 rq1q2所以

4??0a4??0r4??0r q22qaq???04??0a4??0r?r4??0r

?q1?q?02q2 q 图35-2 设3球接地，带电为q3，如图35-3所示，该球电势为

a?2qa?rq??r?2a?qq2??a???22r?r?

r3r1rq1所以

?04??0a4??0r4??0r q3a2aq???r?2aq??04??0a4??0r?r24??0r?r

q3?q2?q12q2rq33r1a?r?2a??2arq3??q?arr3 图35-3

q1a2?3?3r?2a?qr

36、一半径为R0的肥皂泡，带上电荷q后，半径增大为R。设肥皂水的表面张力系数为，肥皂泡增大过程中，外面大气的压强p不变，且泡的最后温度与原来的温度相等，求q与R0、R、

??和p等量的关系。

Pi?P?4?R0??①

解：当把皂泡不带电时，设肥皂泡内压强为Pi，则泡内外压强差为

?2f?'P2?0，该力使 当肥皂泡带电后，设泡内压强为i，单位面积由于电荷而受的力为

肥皂泡膨胀，故带电后，肥皂泡内外的压强差为

4??2Pi?P??R02?0???②

' 因为

?? 所以

q4?R2??③

4?q2Pi?P??R032?2?0R4??④

' 当温度不变时泡内气体有

'P iV'?PiV??⑤

Pi' 所以

4343?R?Pi?R033

3Pi'R3?PiR0??⑥

'PP 由①、④、⑥式消除i和i便得

q22233?4?R?R?PR?R0032?2?0R

????

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