09概率论与数理统计作业题及参考答案(090510)

东北农业大学网络教育学院 概率论与数理统计作业题（一）

一、填空题

1．将A，A，C，C，E，F，G这7个字母随机地排成一行，恰好排成GAECFAC的概率为 。 2．用随机变量X来描述掷一枚硬币的试验结果. 则X的分布函数为 。

3．已知随机变量X和Y成一阶线性关系，则X和Y的相关系数?XY? 。 4．简单随机样本的两个特点为：

5．设X1,X2为来自总体X~N(?,?2)的样本，若CX1?1X2为?的一个无偏估计，则2004C= 。

二、选择题

1．关系（ ）成立，则事件A与B为互逆事件。

（A）AB??； （B）A?B??； （C）AB?? A?B??； （D）A与B为互逆事件。 2．若函数y?f(x)是一随机变量X的概率密度，则（ ）一定成立。

(A)y?f(x)的定义域为[0,1] (B)y?f(x)非负

(C)y?f(x)的值域为[0,1] (D)y?f(x)在(??,??)内连续

3．设X,Y分别表示甲乙两个人完成某项工作所需的时间,若EX?EY,DX?DY则 ( ) (A) 甲的工作效率较高,但稳定性较差 (B) 甲的工作效率较低,但稳定性较好 (C) 甲的工作效率及稳定性都比乙好 (D) 甲的工作效率及稳定性都不如乙

4．样本X1,X2,X3,X4取自正态分布总体X，EX??为已知，而DX??2未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是（ ）

141(A.).X??Xi (B).X1?X4?2? (C).k?4i?1?214?(Xi?X) (D).S?3?(Xi?X)2 i?1i?1224?)??，则??是?的（ ）5．设?是总体X的一个参数，??是?的一个估计量，且E(?。

（A）一致估计 （B）有效估计 （C）无偏估计 （D）一致和无偏估计

三、计算题

1．两封信随机地投向标号1，2，3，4的四个空邮筒，问：（1）第二个邮筒中恰好投入一封信的概率是多少；（2）两封信都投入第二个邮筒的概率是多少？

1

2．一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求（1）这4个中的次品数X的分布列；（2）p(X?1)

?3．已知随机变量X的分布密度函数为 f(x)??x,0?x?1?2?x,1?x?2，求EX,DX.

??0,其他

4．设随机变量X与Y的联合分布律为 X Y －2 －1 1 －1 1/4 1/16 1/8 0 1/8 0 1/4 1 1/16 1/8 0 （1）求X与Y的边缘分布列 （2）X与Y是否独立？

5．总体X服从参数为?的泊松分布p(?)，?未知，设X1，X2，?，Xn为来自总体X的一个样本：（1）写出(X1，X2，?，Xn)的联合概率分布； （2）max{X2n2i}，X1?X21?i?n2，Xn?X1，5，

?(Xi－?)中哪些是统计量？

i?1

2

6．某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为??0.04，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对??0.05，求出滚珠平均直径的区间估计

2(Z0.05?1.645,Z0.025?1.96)

概率论与数理统计作业题（二）

一、填空题

1．将A，A，C，C，E，F，G这7个字母随机地排成一行，恰好排成GAECFAC的概率为 。 2．设X~N(3,22)，若p(X?c)?p(X?c)，则c? 。

3．设随机变量X和Y是相互独立的随机变量且都服从正态分布，X~N(3,4)，Y~N(2,9)，求

D(3X?4Y)? 4．设X~N(0,1)，且X1,X2是从X中抽取的样本，则统计量X1?2X2服从的分 布为（ ）。

(A)N(0,1) (B)N(0,2) (C)N(0,5) (D)没法确定

5．设X1,X2,?,X16 是来自总体X~N(4,?2116) 的简单随机样本，?已知，令X??Xi，则

16i?12统计量

4X?16服从的概率密度函数为 ?二、选择题

1．以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（ ） (A )甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B )甲乙产品均畅销

(C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或乙种产品畅销 2．设X~N(3，，且Y?3X?4，则DY等于（ ）。 42）(A)27 (B)25 (C)144 (D)43

3．如果随机变量X,Y的方差均存在且不为零，E(XY)?EX?EY，则（ ） (A) X,Y一定不相关 (B) X,Y一定独立

3

(C) D(X?Y)?DX?DY (D) D(X?Y)?DX?DY

4．设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，且EX??,DX??2，则（ ）是?的无偏估计。

1n?11n1n?11n（A.）?Xi （B）?Xi （C）n?1?Xi （D）n?Xi

ni?1n?1i?1i?1i?25．某人打靶击中的概率为

53，如果直到射中靶为止，则射击次数为5的概率为（ ） 444?3??3??1??3??1?1?3??1?(A)?? (B)C54???? (C)C5???? (D)????

?4??4??4??4??4??4??4?三、计算题

1．一批产品共有10件，其中有两件是不合格品，随机抽取3件，求（1）其中至少有1件不合格品的概率；（2）三件都是合格品的概率。

2．一家工厂的雇员中，有70％具有本科文凭，有8％是管理人员，有7％既是管理人员又具有本科文凭。求：（1）已知一名雇员有本科文凭，那么他是管理人员的概率是多少？（2）已知某雇员不具有本科文凭，那么他是管理人员的概率是多少？

3．一个盒子中有4个球，球上分别标有号码0，1，1，2，从盒子中有放回的任意取出2个球，设X为取出的球上的号码的乘积，（1）求X的分布列；（2）p(X?1)。

4．甲、乙两人独立的进行两次射击，每次射击甲命中概率为0.2，乙命中概率为0.5，X与Y分别表示甲、乙命中的次数，求X与Y的联合分布列。

4

4

5．设X1,X2,?,X18和Y1,Y2,?,Y18是分别为来自总体X和Y的简单随机样本，X与Y独立同分布，且

样本均值分别记为X和Y，求p{|X?Y|??}。（?(3)?078.99X~N(?,?2)，

6．某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为??0.04，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对??0.05，求出滚珠平均直径的区间估计(Z0.05?1.645,Z0.025?1.96)

2,?(2)?05.2779）

概率论与数理统计作业题（三）

一、填空题

1．设A,B,C构成一完备事件组，且p(A)?0.5,p(B)?0.7，则p(C)? 。

2．随机变量X服从参数为?的泊松分布，则X的分布列为 ；若E(X?1)(X?2)?1，则

?? 。

3．设随机变量X和Y相互独立，且X~N(2,42)，Y~N(3,92)，则D(X?Y)?

4．某商场出售电器设备，以事件A表示“出售74Cm长虹电视机”，以事件B表示“出售74Cm康佳电视机”，则只出售一种品牌的电视机可以表示为 ；至少只出售一种品牌的电视机可以表示为 。

二、选择题

1．设p(AB)=0 , 则（ ）

（A）A和B互不相容 （B）A和B相互独立 (C) p(A)?0或p(B)?0 （D）p(A?B)?p(A)

2．每次试验成功率为p(0?p?1)，进行重复试验直至第十次试验才取得四次成功的概率为（ ）

3343444 （A）C10p(1?p)6p4(1?p) （B）C9p(1?p)6 （C）C9p(1?p)5 （D）C9

3．设X~U[1,5]，当x1?1?x2?5时，p(x1?X?x2)?（ ）。

5

5?x2x?1x?1x?x1 (B) 2 (C) 2 (D) 2 5454?01??01???4．设两个随机变量X和Y相互独立且同分布，X~12,Y~?12? 则下列 ?????33??33? （A

各式成立的是（ ）

(A) X?Y (B) p(X?Y)?5 (C) p(X?Y)?1 (D) p(X?Y)?0 95．设X~N(0,1)，Y~N(0,1)，且X与Y相互独立，则X?Y服从的分布为（ ）

(A)X?Y服从N(0,1) (B)X?Y不服从正态分布 (C)X?Y~?2(2) (D)X?Y也服从正态分布

三、计算题

1．一箱产品中有a件正品和b件次品，若随机地将产品一个接一个的摸取出来，（1）不放回抽取；（2）有放回抽取。求第k次摸到的是正品的概率。

2．三个箱子，第一个箱子中有4 个黑球2 个白球，第二个箱子中有3 个黑球5个白球，第三个箱子中有3 个黑球2 个白球。试求：随机地取一个箱子，再从这个箱子中任取 出一球，这个球为白球的概率是多少？

3．一批产品包括10件正品, 3件次品（1）不放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数X的概率分布列.（2）每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数X的概率分布列.

4．将3封信随机投入到编号为1、2、3、4的四个邮筒内，用X表示有信邮筒的最小号码，Y表示第1号邮筒中信的个数，求(X,Y)的联合分布列。.

6

5．设总体X~N(10,42)，X1,X2,???,X100是来自该总体的简单随机样本，求p(X?11)。

?(2.5)?0.9938

6．设随机变量X的分布列为

X p 2 1 0 ?1 1111 2666求：EX,DX

概率论与数理统计作业题（四）

一、填空题

1．设A，B，C表示三个随机事件，试通过A，B，C表示随机事件A发生而B，C都不发生为 。 2．随机变量X服从参数为?的泊松分布，且D(X)?2，则p?X?1?? 。

3．两独立随机变量X和Y都服从正态分布，且X~N(3,4)，Y~N(2,9)，求D(X?Y)? 。 4．设平面区域D由曲线y?1/x及直线y?0,x?1,x?e2所围成，二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)的联合密度函数为 。

5．设随机变量X和Y相互独立，且都服从标准正态分布，则：P(X?Y?0)? 。 二、选择题

1．设随机变量X~B(1,0.8)，则X的分布函数为（ ）。 x?0x?0?0?0?(A) F(x)???0.80?x?1 (B) F(x)??0.20?x?1

?1?1x?1x?1?? 7

(C) F(x)???0x?0?0x?0 (D) F(x)???0.8x?0?0.2x?0

2．设随机变量X~N(?,?2)，且p(X?c)?p(X?c)，则c= ( )。 （A）0 (B) ? (C) ?? (D) ?

3．相互独立的随机变量X和Y都服从正态分布N(1,1)，则（ ）

11 (B) p(X?Y?0)? 2211 (C) p(X?Y?1)? (D) p(X?Y?1)?

22 (A) p(X?Y?0)?4．已知随机变量X服从二项分布，且E(X)?2.4,D(X)?1.44，则二项分布的参数 。 n,p的值为（ ）

（A）n?4,p?0.6 (B) n?6,p?0.4

(C) n?8,p?0.3 (D) n?24,p?0.1 5．X1,X2,X3是总体X的样本，E(X)??,D(X)??2,?1,?2是未知参数，取?的以 下无偏估计?，其中（ ）最有效。 （A）??X2 （B）??（C）??????11X1?X2 22?111111X1?X2?X3 （D）??X1?X2?X3 244333三、计算题

1．袋中有球12个，2白10黑，今从中取4个，试求（1）恰有一个白球的概率（2）至少有一个白球的概率。

2．假设一张考卷有10道选择题，每道题有4个选择答案，其中只有一个是正确的。某考生靠猜测至少能答对6题的概率是多少？

?1?3．已知随机变量X的分布密度函数为f(x)??2x?0?

0?x?1其他 ，求X的分布函数F(x).

8

4．设随机变量X与Y的联合分布律为 X －2 Y －1 0 1 1/4 1/8 1/16 －1 1/16 0 1/8 1 1/8 1/4 0 （1）求X与Y的边缘分布列 （2）X与Y是否独立？

?(??1)x?,0?x?15．设总体X的密度函数为f(x,?)??，其中??0，（1）求来自总体的简单随机样

0,其他?本X1,X2,???,Xn的联合密度函数；（2）求EX。

6．抽样调查表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩72分，已知90分以上的考生占2.3%，试求考生成绩在63至81分之间的概率。??1??0.841，??2??0.977

概率论与数理统计作业题（五）

一、填空题

1．设A,B为两事件，p(A)?0.5,p(A?B)?0.2，则p(AB)? 2．设事件A，B及A?B的概率分别是p，q，r，则p(AB)= 。 3．设X服从[2，7]上的均匀分布，当x1?2?x2?7时，P(x1?X?x2)= 。

4．随机变量X和Y相互独立，分别服从参数为2和4的泊松分布，则 E(X?Y)2?

9

5．两独立随机变量X和Y都服从正态分布，且X~N(3,4)，Y~N(2,9)，求D(X?Y)? 。 二、选择题

1．袋中有5个球，3个新2个旧，每次取一个，无放回地取两次，则第二次取到新球的概率是（ ） （A）3 (B) 3 (C) 1 (D) 3

542102．设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(?x)?f(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a，有（ ）。 （A）F(?a)?1??a0f(x)dx (B) F(?a)?1?2?f(x)dx

0a(C) F(?a)?F(a) (D) F(?a)?2F(a)?1

3．设随机变量X~N(?,?2)，且p(X?c)?p(X?c)，则c= ( )。

（A）0 ； (B) ? ； (C) ??； (D) ?

4．设随机变量X和Y相互独立，且X∽N(a1,?12)，则随机变量Z?X?Y的方差为( ) Y～N(a2,?2)，

(A)

2?12??22222 (B) ?1?2 (C) ?12?2 (D) ?12??2

5．设X1,X2是来自N(?,1)的样本，则（ ）是总体均值?的无偏估计。

?1?（A）??3?（C）?1281?2?X1?X2 X1?X2 （B）?45772537?4?X1?X2 X1?X2 （D）?5688三、计算题

1．设随机事件A在某试验中发生的概率为0.6，进行三次独立的试验，求至少有两次事件A发生的概率。

2．对圆的直径做近似测量，设其值均匀分布在[a,b]内，求圆面积的数学期望。

3．已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为 常数c

10

1357, 确定 ,,,2c4c8c16c

?x,0?x?14．已知随机变量X的分布密度函数为 f(x)???2?x,1?x?2，求EX,DX.

??0,其他

5 ．X与Y相互独立，其概率分布分别为

X -2 -1 0 12 Y -2 1 3 p 11 4 13 1112 3

p 2 14 14

求（1）X与Y的联合分布；（2）p(X?Y?1)；（3）p(X?Y?1).

6．已知总体X服从参数为?的指数分布，设x1,x2,?,xn是子样观察值，求?的极大似然估计。

11

东北农业大学网络教育学院 概率论与数理统计作业题参考答案

第一套作业题参考答案 一、填空题

1． 1/1260。

?2.F(x)??0,x?0?1,0?x?1

?2?1,x?13．?1。

4．每个Xi与总体X具有相同的分布；个体之间相互独立。 5.

20032004 二、选择题 1． C 2． B

3． A 4． C 5． C

三、计算题 1. 解：（1）设A＝{第二个邮筒中恰好投入一封信}

p(A)?3C12342?8

（2）设B＝{两封信都投入第二个邮筒中} p(B)?1142?16 2． 解：（1）p(X?k)?Ck4?k5C15C4，k?0,1,2,3,4

20（2）p(X?1)?p(X?0)?C415C4?9120323 3．解： EX????122??xf(x)dx??0xdx??1x(2?x)dx?1

EX2??????x2f(x)dx??1x3dx??201x2(2?x)dx?7/6

DX?EX2?(EX)2?76?1?1/6 4.解

X -2 -1 1

12

（1）

p 7/16 3/16 3/8 Y p -1 7/16 0 3/8 1 3/16 （2）由于p?X??2,Y??1??14 ，p?X??2??716 ，p?Y??1??716 有p?X??2 Y??1??p?X??1??p?Y??1?, 故随机变量X与Y不是相互独立的。

5． 解（1）Xi与总体独立同分布，有p?Xi?x?xi?i??xi!e?，xi?1,2,?,（??0）则(X1，X2，?，Xn)的联合概率分布为： np{X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn}??p{Xi?xi}

i?1n?nxi?1???xi??e?n??in （xi?1,2,?.）

i?1x!e?i?xi!i?1（2）统计量有max1{X}，X22?i?ni1?X2，Xn?X1

6． 解：由题意得：x?15?2?0.04??0.05n?9

滚珠平均直径的95％区间估计为

[x???nZ?2,x?nZ?2]＝[14.869,15.131]

第二套作业题参考答案 一、填空题 1． 1/1260

2． 3 。 3． 180 。 x24．f(x)?122?e?

5． 1n?1?n(XX)2i? i?1二、选择题

13

1． D 2． C 3． A 4． D 5． D 三、计算题

1．解：设A事件为至少有1件不合格品，B事件为三件都是合格品，则

p(A)?C1C221328?C2C8C3 p(B)?C83 10C102．解：设A??具有本科文凭?，B??管理人员?，且p?A??0.7，p?B??0.08，p?AB??0.07 (1)p?BA??p?AB?0.071p?A??0.7?10 (2)p?BA??p?Bp?B??p?AB??0.08?0.07p?AA???1?p?A?1?0.7?130． 3． 解：（1） X 0 1 2 4 P 7/16 1/4 1/4 1/16 （2）p(X?1)?p(X?0)?716 4．解：X~B(2,0.2)，p{X?x}?Cx2(0.2)x(0.8)2?x,x?0,1,2

Y~B(2,0.5)，p{Y?y}?Cy2(0.5)y(0.5)2?y,y?0,1,2

因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合分布列为

p{X?x,Y?y}?Cx2(0.2)x(0.8)2?xCyy2(0.5)(0.5)2?y,x?0,1,2,y?0,1,2

或者表示为表格形式，如下表： Y 0 1 2 X 0 0.16 0.32 0.16 1 0.08 0.16 0.08 2 0.01 0.02 0.01

5．解：?X~N(?,?2218),Y~N(?,?218)?X?Y~N(0,?9)

????p?|X?Y|????p?|X?Y|???3???(3)??(?3) ????3???2?(3)?1?2?0.9987?1?0.9974

14

6．

解：由题意得：x?15?2?0.04??0.05n?9

滚珠平均直径的95％区间估计为

[x??nZ??2,x?nZ?2]＝[14.869,15.131]

第三套作业题参考答案 一、填空题

1． 0.2 2．P(X?k)?e???kk!,k?0,1,2,?；

3． 97 。

4．AB?AB；A?B。 二、选择题

1． C 2． D 3． B 4． B 5． D

三、计算题 1． 解：（1）设A事件为第k次摸到的是正品，则

p(A)?A1a(a?b?1)!a(a?b)!?a?b （2设B事件为第k次摸到的是正品，则

1p(B)?CaaC1?a?b a?b2． 解：设Ai={取到第i个箱子}，i?1,2,3，B事件为取到一个白球，

3p(B)??p?A1152163i?p?BAi??i?13(3?8?5)?360 3．解：（1）

X 1 2 3 4 P 10

13 526 51143 286 （2）

X 1 2 3 4 15

P 10 13 337278132 133 134

4．解：

X 1 2 3 4 Y 0 0 19/64 7/64 1/64 1 27/64 0 0 0 2 9/64 0 0 0 3 1/64 0 0 0 5．解：X~N(10,0.16)

因此所求概率为 p(X?11)?1?p(X?11)?1????11?10??0.4???1?0.9938?0.00626． 解：EX?2?112?1?6?0?16?(?1)?16?1 EX2?4?12?1?16?0?16?1?176?3

DX?EX2?(EX)2?743?1?3

第四套作业题参考答案 一、填空题

1．ABC 2． 2e?2。 3． 13 。

4．f(x,y)???1/2,(X,Y)?D?0,其它。

5． 0.5 。

二、选择题 1． B 2． B 3． B 4． B 5． D 三、计算题

1． 解：设A事件为恰有一个白球，B事件为至少有一个白球

16

131322C2C10C2C10?C2C10 p(A)?p(B)?44C12C122． 解 设X为学生答对题的个数，Ai为第i题答对?i?1,2,?,10?，

则有p?Ai??1?1?，X~B?10,?，

4?4?k10?kk10?1??3?则p10?k??C?????4??4?5 k?0,1,?,10．

k10?kk?1??3?所求为p?X?6??1??C10?????4??4?k?0

?0，x?0?0,x?0???x1dx，0?x?1=?x,0?x?1 3．解：F(x)???0?1,x?1?2x???1,x?14、解

（1）

Y p -1 7/16 0 3/8 1 3/16 X p -2 7/16 -1 3/16 1 3/8 （2）由于p?X??2,Y??1??177 ，p?X??2??，p?Y??1?? 41616有p?X??2 Y??1??p?X??1??p?Y??1?, 故随机变量X与Y不是相互独立的。

5． 解：（1）来自总体的简单随机样本X1,X2,???,Xn的联合密度函数为

?(??1)n(x1x2?xn)?,0?xi?1 f(x1,x2,?,xn)?f(x1)(x2)?f(xn)??

0,其他?（2）EX??????xf(x,?)dx??(??1)x??1dx?01??1 ??2 EX?EX???1 ??26．解：设X为考生的外语成绩，则??72

P(X?90)?1?P(X?90)?1??(得??9

90?72?)?0.023

17

P(63?X?81)??(81?729)??(63?729)?2??1??1?2?0.841?1?0.682

第五套作业题参考答案 一、填空题

1． 0.3 2．1?(p?q?r)

3．x

2?25。 4． 42 。 5． 13 二、选择题 1． A 2． B 3． B

4. D 5． B

三、计算题

1．解：设事件A发生的次数为k

p(k?2)?p(k?2)?p(k?3)?C233(0.6)2(0.4)?C3(0.6)3=0.648

a??b?a?22．解：由EX?b2,DX?12，可得 EX2?DX??EX?2?a2?b2?ab3， 则EY?E???2??2?a2?b2?ab???4X???4EX?12

3．解：

12c?34c?58c?716c?1 ?c?3716

4．解： EX????122??xf(x)dx??0xdx??1x(2?x)dx?1

EX2??????x2f(x)dx??1x3dx??201x2(2?x)dx?7/6

DX?EX2?(EX)2?76?1?1/6 5．解：（1）

Y X -2 1 3 －2 1/8 1/16 1/16 －1 1/6 1/12 1/12 0 1/24 1/48 1/48 1/ 2 1/6 1/12 1/12 18

1)?(2) p(X?Y?1)＝p(X?－2，Y＝3)?p(X?0，Y＝111?? 164812(3)p(X?Y?1)＝1?p(X?Y?1)?1?p(X?－2，Y＝3)?p(X?0，Y＝1)

?1?1111?? 1648126．解：设X1,X2,?,Xn是子样观察值

L(?)???en??xi?????en?xii?1n

i?1 lnL(?)?n?ln????nxi i?1 ?lnL(?)???nn???xi?0 i?1

所以??1x

19

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