05-3 多自由度系统的受迫振动

5.3

多自由度系统的受迫振动

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5.3.1 无阻尼系统的受迫振动 无阻尼系统受迫振动运动方程： M K x Q(t ) x 式中: m11 m M 21 mn1 m12 m22 mn 2 m1n m2 n mnn K11 K K 21 K n1 K12 K 22 K n2 K1n K 2n K nn

激励力{Q(t)}种类：简谐力、周期力、非周期力等。 只讨论简谐激励力。 Q1 Q2 Q(t ) sin t Q sin t Qn

多自由度系统简谐激励的受迫振动

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系统受简谐力激振时运动微分方程：采用正则坐标{x}=[N]{ψ}进行变换：

K x Q sin t M x

K N M N Q sin t左乘[N]T解耦：T T N M N N K N N Q sin t T

2 n N Q sin t Q sin t T

正则激振力幅值列阵： {Qψ}=[N]T{Q}

正则坐标下的稳态响应2 n N T

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Q sin t Q sin t

将系统运动微分 方程展开

2 1 n 1 Q 1 sin t 1 2 2 n 2 Q 2 sin t 2 2 n Q n sin t nn n

这是n个相互独立的单自由度 系统无阻尼受迫振动的运动微 分方程，运动微分方程组完全 解耦，每个方程都可以单独求 解！

对于单自由度系统的无阻尼受迫振动：

kx F0 sin t mxx

F0 x x sin t m2 n

F0 ζ=0 k sin( t ) 2 2 2 (1 ) (2 )

F0 x 2 m 2 sin t n

正则坐标下的稳态响应2 1 n 1 Q 1 sin t 1 2 2 n 2 Q 2 sin t 2 2 n Q n sin t nn n

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F0 x x sin t m2 n

F0 x 2 m 2 sin t n

系统正则响应方程：Q 1 1 2 2 sin t n1 Q 2 sin t 2 2 2 n 2 Q n sin t n 2 2 nn

正则坐标响应的矩阵形式：

Q 2 sin t 2 n

几何坐标下的稳态响应

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用{x}=[N]{ψ}进行坐标反变换，求得几何坐标的响应矩阵： Q 1 ( 2 2 ) n1 n A1( n ) Q 2 (n

) n A2 2 2 ( n 2 ) sin t (n) n An Q n 2 2 ( nn )

x1 1 A1(1) x (1) 2 1 A2 (1) A xn 1 n

2 A1(2) (2) 2 A2 (2) 2 An

当激振力频率ω接近固有频率ωn1、ωn2、…中任何一个值时，

系统振幅将达到最大值，这就是共振现象。 n个自由度系统具有n个共振频率。

多自由度系统受迫振动实例

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例 图中设系统受到简谐力的作用，Ql=1sinωt,Q2 = Q3=0,试求 系统对激振力的响应。 解：(1)系统运动微分方程 3自由度系统，取x1、x2、x3为 广义坐标，运动微分方程为：

1 3Kx1 2 Kx2 sin t mx 2 2 Kx1 3Kx2 Kx3 0 mx 2mx 3 Kx2 Kx3 0矩阵形式: m M 0 0 0 m 0

K x Q M x0 0 2m 3K K 2 K 0 2 K 3K K 0 K K 1 sin t 0 Q 0

(2)固有频率 特征方程：B [ K ] 2 [M ] 3K 2 m 2K 0 2K 3K 2 m K2

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0 K K 2 2 m3

0

展开并整理得：

K 4 K 2 K 6.5 7.5 0 m m m 6

用数值解法得：2 n 1 0.1532 K / m, n1 0.3914 K / m 2 n 2 1.2912 K / m, n 2 1.1363 K / m 2 n 3 5.0556 K / m, n 3 2.2485 K / m

(3)振型向量、振型矩阵与正则振型矩阵 振型方程：3K 2 m 2 K 0 A1 3K 2 m K A2 0 K K 2 2 m A 3 0 2 K

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2 n 1 0.1532 K / m 2 n 2 1.2912 K / m 2 n 3 5.0556 K / m

振型向量：

1.0000 (1) A 1.4235 2.0523

1.0000 (2) A 0.8544 0.5399

1.0000 (3) A 1.0279 0.1128

1 振型矩阵： P 1.4235 2.0523

1 0.8544 0.5399

1.0279 0.1128 1

正则振型矩阵 主质量矩阵：

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1 1 1 1.4235 2.0523 m 0 0 1 T 0 m 0 1.4235 0.8544 1.0279 1 0.8544 0.5399 M P P M P 1 1.0279 0.1128 0 0 2m 2.0523 0.5399 0.1128 0 0 11.4502 m 0 2.3130 0 0 2.0820 0

正则因子β:

1 1 / 11.4502 m 2 1 / 2.3130 m 3 1 / 2.0

820 m

1 1 1 P 1 . 4235 0 . 8544 1 . 0279 2.0523 0.5399 0.1128 20.8544 2 1.0279 3 0.1128 3

正则振型矩阵[N]:

N 1.4235 1

1

3

2.0523 1

0.5399 2

(4)正则坐标下的响应方程 正则激振力: Q 1 1 T Q N 2 Q sin t 2 Q 3 3 1.4235 1 0.8544 2 1.0279 3

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2.0523 1 1 1 0.5399 2 0 sin t 2 sin t 0 0.1128 3 3

正则响应: 1 sin t 1 2 2 n1 2 sin t 2 2 2 n 2 3 sin t 3 2 2 n 3

(5)几何坐标下的响应方程 x1 1 x2 N 1.4235 1 x 2.0523 1 3

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20.8544 2 0.5399 2

2 2 1 /( n1 ) 2 2 1.0279 3 /( ) sin t n2 2 2 2 0.1128 3 /( ) 3 n 3

3

32 12 22 2 2 2 2 2 2 n1 n2 n3 2 2 2 1.4235 1 0.8544 2 1.0279 3 2 sin t 2 2 2 2 2 n2 n3 n1 2.0523 2 0.5399 2 0.1128 2 3 1 2 2 2 2 2 2 2 n 2 n 3 n1

将β值代入得

1 0.0873 0.4323 0.4803 x1 2 2 2 2 2 2 m n2 n3 n1 1 0.1243 0.3694 0.4937 x2 2 2 2 2 2 2 m n2 n3 n1 1 0.1791 0.2334 0.0542 x3 2 2 2 2 2 2 m n2 n3 n1

sin t sin t sin t

5.3.2 有阻尼系统的强迫振动当系统存在阻尼时，系统运动微分方程：

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C x K x Q M x即: m11 m12 m 21 m22 mn1 mn 2 K 11 K 12 K 21 K 22 K n1 K n 2

阻尼矩阵 1 C11 C12 C1n x 1 m1n x C x m2 n x C C 2 21 22 2n 2 n mnn x n C n1 C n 2 C nn x K 1n x1 Q1 x Q K 2n 2 2 K nn

xn Qn

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进行正则坐标变换：

x N

C N K N M N Q 上式两边左乘 [N]T:2 C n Q

讨论： (1) 和

的系数矩阵为对角阵;

(2)一般情况下， C 不是对角阵。 显然，上述微分方程组是经速度耦合的微分方程组。

阻尼矩阵[CΨ]的简化方法

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比例阻尼：假设阻尼矩阵[C]与质量矩[M]、刚度矩阵[K]成正比。即: [C]=a [M]+b[K] 式中：a ,b 为常数。 正则阻尼矩阵： C N C N N a M b K N a N M N b N K N T T T T

0 n21 0 a b n21 0 1 1 2 2 a b n2 n2 b a 2 2 0 1 nn a b nn 0 0

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一般粘性阻尼：阻尼矩阵与质量矩阵、刚度矩阵不成正比。

在对于一般粘性阻尼，经正则化处理后，一般不能解耦，正 则阻尼矩阵仍为非对角线矩阵： C 11 C 12 C 1n C C C 21 22 2n N T C N C C C n2 nn n1 为便于求解，常假设非对角线元素为零： C 11 C 0 C 22 0 C nn

正则阻 尼矩阵

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正则坐标下运动微分方程：2 C n Q sin t

将上式展开后得：2 1 C 11 1 n 1 Q 1 sin t 1

2 C 22 2 2 Q 2 sin t 2 n C nn n nn n Q n sin t 2 n2

运动微分方程组 完全解耦

或写作：2 1 2 1 n1 1 n 1 Q 1 sin t 1

2 2 2 n 2 2 2 Q 2 sin t 2 n 2 n nn n nn n Q n sin t 2 n2

简化为n个相互 独立的单自由 度系统的有阻 尼受迫振动问 题，每个方程 均可以单独求 解！

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根据单自由度系统受迫振动理论，可求解： 1 2 Z1 sin( t 1 ) n1 Q 2 2 2 Z 2 sin( t 2 ) n 2 Q n

n 2 Z n sin( t n ) nn Q 1

原几何坐标所表示的稳态响应： {x}=[N]{ψ} x1 1 A1(1) x (1) 2 1 A2 (1) A xn 1 n

2 A1( 2) n A1( n ) 1 ( 2) (n) 2 A2 n A2 2 ( 2) 2 An

式中，Z和φ为： Zi (1 i2 ) 2 (2 i i ) 2 2 i i i arctan 1 2 i 1

(n) n An n

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例

图中，m1= m2= m3= m,K1= K2= K3=K,各振型阻尼比 ζ1=ζ2=ζ3=0.01,求在简谐力Ql=Q2=Q3=Qsinωt 作用下，当

1.25 K / m 时，系统的响应。 解：(1) 系统运动微分方程 3自由度系统，取x1、x2、x3为 广义坐标，运动微分方程为： K x Q(t ) x C x M m 0 0 0 m 0 M 0 0 m C1 C 2 C C2 0 C2 C 2 C3 C3

0 2K K 0 K1 K 2 K 2 K 2 K K K K K K K 2 2 3 3 K3 K3 0 0 K K 0 C3 C3

Q Q ( t ) Q sin t Q

1.25 K / m

(2)固有频率ωn、主振型{A}和振型矩阵[P]

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特征方程为B K 2 m 2 K m 2 K K 2 K m 2 K K K m 2 0

固有频率为:

2 3

K 2 2 K K 5 6 2 0 m m m

2

3

2 n 1 0.198 K / m

2 n 2 1.555K / m

2 n 3 3.247 K / m

n1 0.445 K / m

n 2 1.247 K / m

n3 1.802 K / m

主振型{A}和振型矩阵[P]

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振型方程为

2 K m 2 K

K 2 K m 2 K

A1 K A2 0 K m 2 A 3

K 2 n1 0.198 m K 2 n 2 1.555 m K 2 3.247 n3 m

主振型：

1.000 (1) A 1.802 2.247

1.000 (2) A 0.445 0.802 1.000 0.445 0.802 1.000 1.247 0.555

1.000 (3) A 1.247 0.555

振型矩阵：

1.000 P 1.802 2.247

(3)正则因子β和正则振型矩阵[N] 主质量矩阵： 1 1.802 T M P P M P 1 0.445 1 1.247 2.247 m 0 0.802 0.555 0 0 m 0 0 1 1.802 0 m 2.247 1

0.445 0.802

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1.247 0.555 1

2951 0 0 9. m 0 1.8410 0 0 2.8630 0

正则因子： 1 2 3 1 0.328 M P1 m 1 M P2 0.737 m

1.000 P 1.802 2.247

1.000 0.445 0.802

1.000 1.247 0.555

正则振型矩阵：

1 0.591 M P2 m

0.591 0.328 0.737 1 N 0.591 0.328 0.737 m 0.737 0.591 0.328

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k961.html