线性代数习题及解答
更新时间:2023-03-16 02:29:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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线性代数习题一
说明:本卷中,A-1表示方阵A的逆矩阵,r(A)表示矩阵A的秩,||?||表示向量?的长度,?T表示向量?的转置,
E表示单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式.
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
a11a12a133a113a123a131.设行列式a21a22a23=2,则?a31?a32?a33=( )
a31a32a33a21?a31a22?a32a23?a33A.-6 B.-3 C.3
D.6
2.设矩阵A,X为同阶方阵,且A可逆,若A(X-E)=E,则矩阵X=( ) A.E+A-1
B.E-A C.E+A
D.E-A-1
3.设矩阵A,B均为可逆方阵,则以下结论正确的是( )
A.??A?A-1??B?可逆,且其逆为????B-1? B.????A?B?不可逆 ?C.??A??B-1?D.??B?可逆,且其逆为???A-1? ??A??A-1??B?可逆,且其逆为???B-1? ?4.设?1,?2,…,?k是n维列向量,则?1,?2,…,?k线性无关的充分必要条件是A.向量组?1,?2,…,?k中任意两个向量线性无关
B.存在一组不全为0的数l1,l2,…,lk,使得l1?1+l2?2+…+lk?k≠0 C.向量组?1,?2,…,?k中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D.向量组?1,?2,…,?k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
5.已知向量2????(1,?2,?2,?1)T,3??2??(1,?4,?3,0)T,则???=( ) A.(0,-2,-1,1)T B.(-2,0,-1,1)T C.(1,-1,-2,0)T
D.(2,-6,-5,-1)T
6.实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是( ) A.1
B.2
)
(C.3 D.4
7.设?是非齐次线性方程组Ax=b的解,?是其导出组Ax=0的解,则以下结论正确的是
( )
A.?+?是Ax=0的解 C.?-?是Ax=b的解 8.设三阶方阵A的特征值分别为A.2,4,C.
B.?+?是Ax=b的解 D.?-?是Ax=0的解
11,,3,则A-1的特征值为( ) 24B.
1 3111,, 24311,,3 241D.2,4,3
9.设矩阵A=
2?1,则与矩阵A相似的矩阵是( )
1A.?1?123
01B.102
?2C.
111
D.
?21
10.以下关于正定矩阵叙述正确的是( ) A.正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 C.正定矩阵的行列式一定大于零
二、填空题(本大题共10小题,每空2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案,错填、不填均无分。
11.设det (A)=-1,det (B)=2,且A,B为同阶方阵,则det ((AB))=__________.
3
B.正定矩阵的行列式一定小于零 D.正定矩阵的差一定是正定矩阵
112.设3阶矩阵A=42t?23,B为3阶非零矩阵,且AB=0,则t=__________. 1-1
3?1k13.设方阵A满足A=E,这里k为正整数,则矩阵A的逆A=__________. 14.实向量空间R的维数是__________.
15.设A是m×n矩阵,r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________. 16.非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________.
n17.设?是齐次线性方程组Ax=0的解,而?是非齐次线性方程组Ax=b的解,则A(3??2?)=__________. 18.设方阵A有一个特征值为8,则det(-8E+A)=__________.
19.设P为n阶正交矩阵,x是n维单位长的列向量,则||Px||=__________.
20.二次型f(x1,x2,x3)?x1?5x2?6x3?4x1x2?2x1x3?2x2x3的正惯性指数是__________. 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
222121.计算行列式
142?12?6142.
?1?1?4121222.设矩阵A=
35,且矩阵B满足ABA=4A+BA,求矩阵B.
-1-1-1
23.设向量组?1?(3,1,2,0),?2?(0,7,1,3),?3?(?1,2,0,1),?4?(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组,并
将其余向量通过极大线性无关组表示出来.
?124.设三阶矩阵A=?24533,求矩阵A的特征值和特征向量.
2
?4?225.求下列齐次线性方程组的通解.
?x1?x3?5x4?0? ?2x1?x2?3x4?0?x?x?x?2x?0234?12?24?2026.求矩阵A=
3010360?110110的秩.
?12四、证明题(本大题共1小题,6分)
a1127.设三阶矩阵A=a21a12a22a32a13a23的行列式不等于0,证明: a33a31?a13??a11??a12????????1??a21?,?2??a22?,?3??a23?线性无关.
?a??a??a??31??32??33?
线性代数习题二
说明:在本卷中,A表示矩阵A的转置矩阵,A表示矩阵A的伴随矩阵,E表示单位矩阵。
的行列式,r(A)表示矩阵A的秩。
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或T
*
A表示方阵A未选均无分。
1.设3阶方阵A的行列式为2,则
?12A?( ) A.-1 B.?14 C.
14 D.1
x?2x?1x?22.设
f(x)?2x?22x?12x?2,则方程f(x)?0的根的个数为( )
3x?23x?23x?5A.0 B.1 C.2
D.3
3.设A为n阶方阵,将A的第1列与第2列交换得到方阵B,若A?B,则必有( A.A?0 B. A?B?0 C.
A?0
D.
A?B?0
4.设A,B是任意的n阶方阵,下列命题中正确的是( ) A.(A?B)2?A2?2AB?B2
B.(A?B)(A?B)?A2?B2
C.(A?E)(A?E)?(A?E)(A?E) D.(AB)2?A2B2
?a1ba1b2a1b3?5.设A??1?a2b1aa?0,b?2b22b3?,其中ai?i?0,i?1,2,3,则矩阵A的秩为(?a3b1a3b2a3b3??A.0 B.1 C.2
D.3
6.设6阶方阵A的秩为4,则A的伴随矩阵A*的秩为( ) A.0
B.2
) ) C.3 D.4
7.设向量α=(1,-2,3)与β=(2,k,6)正交,则数k为( ) A.-10 C.3
B.-4 D.10
?x1?x2?x3?4?8.已知线性方程组?x1?ax2?x3?3无解,则数a=( )
?2x?2ax?42?1A.?C.
1 2B.0 D.1
1 29.设3阶方阵A的特征多项式为A.-18 C.6
?E?A?(??2)(??3)2,则A?( )
B.-6 D.18
10.若3阶实对称矩阵A?(aij)是正定矩阵,则A的3个特征值可能为( ) A.-1,-2,-3 C.-1,2,3
B.-1,-2,3 D.1,2,3
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
3011.设行列式D42,其第3行各元素的代数余子式之和为__________.
?2253?212.设A??a??a?b?b?,B????,则AB?__________.
?a?a?bb?????103???2013.设A是4×3矩阵且r(A)?2,B?0??,则r(AB)?__________.
??103???14.向量组(1,2),(2,3)(3,4)的秩为__________.
15.设线性无关的向量组α1,α2,…,αr可由向量组β1,β2,…,βs线性表示,则r与s的关系为__________.
?x1??x2?x3?0?16.设方程组??x1?x2?x3?0有非零解,且数??0,则??__________.
?x?x??x?03?1217.设4元线性方程组Ax?b的三个解α1,α2,α3,已知
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