2011年浙江高考数学文科试卷带详解

2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数 学 （文科）

一、选择题：每小题5分，共50分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若P?{xx?1},Q={xx?1}，则 ( ) A.P?Q B.Q?P C.eRP?Q D.Q?eRP 【测量目标】集合间的基本关系.

【考查方式】集合的表示（描述法），求集合的包含关系. 【参考答案】D

【试题解析】P?{xx?1} ∴eRP??x|x≥1?，又∵Q={xx?1}，∴Q?eRP，故选D 2.若复数z?1?i，i为虚数单位，则(1?z)z? （ ） A.1?3i B.3?3i C.3?i D.3 【测量目标】复数代数形式的四则运算.

【考查方式】给出复数乘法形式，考查复数的四则运算. 【参考答案】A

【试题解析】∵z?1?i，∴(1?z)?z?(2?i)(1?i)?1?3i

?x?2y?5≥0?3.若实数x,y满足不等式组?2x?y?7≥0 ,则3x?4y的最小值是 ( )

?x≥0,y≥0? A.13 B.15 C.20 D.28 【测量目标】线性规划求最值.

【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最小值.

【参考答案】A

【试题解析】可行域如图所示

?x?2y?5?0?x?3联立?，解之得?，∴当z?3x?4y过点（3，1）时，有最小值13.

y?12x?y?7?0??4.若直线l不平行于平面?，且l??，则 （ ） A.?内存在直线与异面 B. C.?内存在唯一的直线与l平行 D. 【测量目标】直线与平面的位置关系.

【考查方式】本题主要考查线线，线面平行关系的转化，考查空间想象能力能力以及推理论证能力. 【参考答案】B

【试题解析】在?内存在直线与l相交，所以A不正确；若?存在直线与l平行，又∵l??， 则有l??，与题设相矛盾，∴B正确C不正确；在?内不过l与?交点的直线与l异面，D不正确.

2（）5.在△ABC中，角A,B,C所对的边分a,b,c.若acosA?bsinB，则sinAcosA?cosB?

?内不存在与l平行的直线 ?内的直线与l都相交

A.?11 B. C. ?1 D. 1

2 2【测量目标】正弦定理.

【考查方式】根据正弦定理把边关系转化为正弦关系，再根据sinB?cosB?1转化求出结果. 【参考答案】D

2【试题解析】∵acosA?bsinB，∴sinAcosA?sinB，

22222∴sinAcosA?cosB?sinB?cosB?1.

6.若a,b为实数，则“0?ab?1”是“b?1”的 （ ） aA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充分必要条件.

【考查方式】主要考查了命题的基本关系、充分必要条件的判断，考查了学生的推理论证能力. 【参考答案】D

【试题解析】当0?ab?1，a?0,b?0时，有b?∴“0?ab?1”是“b?11，反过来b?，当a?0时，则有ab?1， aa1”的既不充分也不必要条件. a7.几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 （ ）

A B C D

【测量目标】空间几何体的三视图.

【考查方式】通过由几何体的三视图还原直观图，采用排除法排除选项，考查学生的空间想象能力. 【参考答案】B

【试题解析】由正视图可排除A，C；由侧视图可判断该该几何体的直观图是B.

8.从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 （ ）

A．

3139 B. C. D.

5101010

【测量目标】古典概型的基本计算.

【考查方式】考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用. 【参考答案】D

C393【试题解析】由古典概型的概率公式得：P=1?3?.

C510x2y2y22?1有公共的焦点，C2的一条渐近9.已知椭圆C1:2?2?1（a?b?0）与双曲线C2:x?ab4线与C1C2的长度为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分，则 ( )

A.a=

2113222 B.a=13 C.b= D.b=2

22【测量目标】椭圆、双曲线的标准方程、直线与椭圆相交方程. 【考查方式】根据直线与椭圆关系列出方程求解. 【参考答案】C

y2?1知渐近线方程为y=?2x (步骤1) 【试题解析】由双曲线C2:x?42又∵椭圆与双曲线有公共焦点

∴椭圆方程可化为b2x2?(b2?5)y2=（b2+5）b2 (步骤2)

(b2?5)b2联立直线与椭圆方程消y得：x? 2 (步骤3)5b?202(b2?5)b22a又∵C1将线段AB三等分，∴1?2?2 (步骤4) ?25b?2032解之得b?21. (步骤5) 22x10.设函数f?x??ax?bx?c?a,b,c?R?，若x??1为函数f?x?e的一个极值点，则下列图象不可能为y?f?x?的图象是 （ ）

A B C D

【测量目标】二次函数图象、函数极值.

【考查方式】本题主要根据学生对函数解析式的理解来考查二次函数图象的变化，以函数解析式为

载体考查学生的识图能力、抽象概括能力以及应用知识.

【参考答案】D

【试题解析】设F(x)?f(x)e，

∴F?(x)?ef?(x)?ef(x)?e(2ax?b?ax?bx?c) .(步骤1)

xxx2x又∵x??1为f(x)ex的一个极值点，∴ F?(?1)?e2(?a?c)?0，即a?c. (步骤2) ∴??b?4ac?b?4a. (步骤3)

当?=0时，b=?2a，即对称轴所在直线方程为x=?1； 当?＞0时，

222b?1，即对称轴所在直线方程应大于1或小于－1. (步骤4) 2a二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11.设函数f(x)?4 ,若f(a)?2,则实数a=________________________. 1?x【测量目标】函数求值.

【考查方式】把2带入解析式求出对应a的值. 【参考答案】1 【试题解析】∵f(a)?4?2，∴a?1. 1?a?12.若直线与直线x?2y?50?6?0与直线2x?my互相垂直，则实数

m=_____________________

【测量目标】直线与直线的位置关系.

【考查方式】根据两条直线垂直关系，利用平面坐标列出式子求出m值. 【参考答案】1

【试题解析】∵直线x?2y?5?0与直线2x?my?6?0垂直，∴1?2?2m?0，即m?1. 13.某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某此数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）.根据频率分布直方图3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_____________________.

【测量目标】频率分布直方图.

【考查方式】根据每个分段频率=每个柱形体积求出频率，然后求出学生数. 【参考答案】600

【试题解析】该次数学考试中成绩小于60分的学生的频率 是(0.002+0.006+0.012)?10=0.2，0.2?3000=600

14．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是 .

【测量目标】选择结构、循环结构的程序框图. 【考查方式】根据程序框图的逻辑结构求出k值. 【参考答案】5

34【试题解析】k?3时，a?4＝64，b?3＝84，a?b；

44 k?4时，a?4＝256，b?4＝256，a?b；

54 k?5时，a?4＝256?4，b?5＝625，a?b.

15．若平面向量?、? 满足??1，?≤1，且以向量?、?为邻边的平行四边形的面积为

1，则2?和?的夹角?的取值范围是____________________________.

【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.

【考查方式】根据向量数量积几何意义、??1，?≤1列出不等式求解.

【参考答案】?,?π5?π? ?66?【试题解析】 由题意得：??sin??∴sin??1，∵??1，?≤1 2π5π1≥，又∵???0,π?，∴??[,].

652?2116．若实数x,y满足x2?y2?xy?1，则x?y的最大值是______________. 【测量目标】基本不等式.

【考查方式】根据二元一次不等式逐步推导求出最值，考查了考生的逻辑推导能力. 【参考答案】

23 322【试题解析】 ∵x?y?xy?1

423?x?y?2(x?y)≤∴(x?y)2?xy?1，即(x?y)2??， ∴，. x?y≤≤1?332??17．若数列?n(n?4)()?中的最大项是第k项，则k=_______________. 【测量目标】二项式定理.

【考查方式】根据最大项大于前一项、后一项列出不等式组求出k值. 【参考答案】4

2??2n?3?2k2k?1?k(k?4)()≥(k?1)(k?5)()??33【试题解析】 设最大项为第k项，则有?，

22?k(k?4)()k≥(k?1)(k?3)()k?1?33??k2≥10?k2≥10??k=4. ??∴?2?k?2k?9≤0??1?10≤k≤1?10三、解答题：本大题共5小题，共72分. 18．（本题满分14分）已知函数f(x)?Asin(ππx??)，x?R，A?0，0???.y?f(x)的32部分图象，如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1,A).

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及?的值； （Ⅱ）若点R的坐标为(1,0)，?PRQ?2π，求A的值. 3【测量目标】三角函数的图象及性质、余弦定理.

【考查方式】根据三角函数基本定义求出周期，把P点坐标带入解析式得到?的值； 根据余弦定理列出关于A的方程式求出A值. 【试题解析】（Ⅰ）解：由题意得，T?2π?6 (步骤1) π3因为P(1,A)在y?Asin(πx??)的图象上. 3所以sin(π??)?1. (步骤2) 3π， 2又因为0＜?＜所以??π. (步骤3) 6（Ⅱ）解：设点Q的坐标为. （x0,?A） 由题意可知

ππ3πx0??，得x0?4，所以Q(4,?A). (步骤4) 362 连接PQ,在△PRQ中，?PRQ=2π.(步骤5)3

RP2?RQ2?PQ2A2?9?A2?(9?A2)1由余弦定理得cos?PRG????

2RP?RQ223?9?A2解得A=3. 又A＞0，所以A=3. (步骤6)

19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a(a?R),且（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）对n?N+，试比较

2111,,成等比数列. a1a2a411111?2?3???n,与的大小.

a1a2a2a2a2【测量目标】等差数列的通项、等比数列的前n项和.

【考查方式】根据等比数列基本性质，把等差数列中3项均转化为a1?kd形式代入求出d； 化简为等比数列前n项和比较大小. 【试题解析】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d,由(1211)?? a2a1a4 得(a1?d)2?a1(a1?3d).从而a1d?d2. (步骤1)

因为d?0,所以d?a1?a 故通项公式an?na. (步骤2) （Ⅱ）解：记Tn?11111?2??n,因为a2?2a，=. a2a2a2a1a11(1?())n111112?1[1?(1)n]. (步骤3) ∴Tn?(?2???n)??21a222aa21?2所以，当a＞0时，Tn＜11；当a＜0时，Tn＞. (步骤4) a1a1PO⊥平面ABC，20．（本题满分14分）如图，在三棱锥P?ABC中，AB?AC，D为BC的中点，

垂足O落在线段AD上.

（Ⅰ）证明：AP⊥BC；

（Ⅱ）已知BC?8，PO?4，AO?3，OD?2.求二面角B?AP?C的大小. 【测量目标】空间立体中点、线、面的之间的位置关系，二面角. 【考查方式】先证明线面垂直，由线面垂直得到线线垂直；

根据勾股定理，证明所求二面角为直角.

【试题解析】（Ⅰ）证明：由AB?AC,D为BC的中点，得AD?BC. 又PO⊥平面ABC,得PO?BC. (步骤1)

因为PO?AD?O，所以BC⊥平面PAD

故BC?PA. (步骤2)

（Ⅱ）解：如图，在平面PAB内作BM?PA于M,连CM. 因为BC?PA.得AP⊥平面BMC.所以AP?CM. 故∠BMC为二面角B?AP?C的平面角. (步骤3) 在Rt△ADB中，AB?AD?BD=41，得 AB=41. 在Rt△POD中, PD?PO?OD. 在Rt△PDB中, PB?PD?BD.

2222所以PB?PO?OD?BD?36，得PB?6. (步骤4)

222222222在Rt△POA中, PA?AO?OP=25,得PA?5. (步骤5)

222PA2?PB2?AB21?, 又cos?BPA?2PA?PB3从而sin?BPA?22,所以BM?PBsin?BPA?42. 3同理CM?42 (步骤6) 因为BM?MC?BC?222

所以?BMC?90即二面角B?AP?C的小为90. (步骤7)

?

21.（本题满分15分）设函数f(x)?a2lnx?x2?ax,a＞0 （I）求f(x)的单调区间

，e?恒成立. （II）求所有实数a，使e?1≤f(x)≤e2对x??1注：e为自然对数的底数.

【测量目标】函数的单调性、导函数的基本概念.

【考查方式】根据导函数求出单调区间；根据e?1≤f(x)≤e2列出不等式组求出a. 【试题解析】（Ⅰ）解：因为f(x)?a2lnx?x2?ax，其中x＞0，

a2(x?a)(2x?a)?2x?a??所以f?(x)?. (步骤1) xx由于a＞0，所以f(x)的增区间为(0，a),

+?) (步骤2) 减区间为(a，≥c?1，即a≥c. (步骤3) （Ⅱ）证明：由题意得， f(1)?a?1，e?恒成立，要使e?1≤f(x)≤e2对x??1，e?恒成立， 由（Ⅰ）知f(x)在x??1?f(1)?a?1≥e?1 只要?，解得a?e. (步骤4) 222?f(e)?a?e?ae≤e

22．（本大题满分15分）如图，设P为抛物线C1：x?y上的动点.过点P做圆C2:x?(y?3)?1的两条切线，交直线l：y??3于A,B两点. （Ⅰ）求C2的圆心M到抛物线 C1准线的距离.

（Ⅱ）是否存在点P，使线段AB被抛物线C1在点P处得切线平分，若存在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由.

【测量目标】点、直线、抛物线、圆的位置关系与标准方程.

【考查方式】根据抛物线标准方程列出准线方程，然后求出C2到准线距离； 根据题意列出方程，把各点坐标代入证明结果是否成立. 【试题解析】

222

（Ⅰ）解：由题意可知，抛物线C1的准线方程为：y??1. 4111所以圆心M到抛物线C1准线的距离为|??(?3)|?. (步骤1)

44 （Ⅱ）解：设点P的坐标为，抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D. （x0，x02）再设A,B,D的横坐标分别为xA,xB,xD. 过点P(x0,x02)的抛物线C1的切线方程为：

y?x02?2x0(x?x0). （1） (步骤2)

当x0?1时，过点P（1,1）与圆C2的切线PA为：y?1?可得xA??1,xB?15(x?1). 817,xD??1,xA?xB?2xD. 15所以x02?1?0. (步骤3)

设切线PA、PB的斜率为k1,k2，则

PA:y?x02?k1(x?x0), （2）

PB:y?x02?k2(x?x0), （3） (步骤4)

将y??3分别代入（1），（2），（3），得

x02?3x02?3x02?3xD?(x0?0),xA?x0?,xB?x0?(k1,k2?0)

2x0k1k2从而xA?xB?2x0?(x0?3)(211?). (步骤5) k1k2又|?x0k1?x02?3|k1?12?1

即(x02?1)k12?2(x02?3)x0k1?(x02?3)2?1?0.

同理(x02?1)k22?2(x02?3)x0k2?(x02?3)2?1?0 . (步骤6)

所以k1,k2是方程(x02?1)k2?2(x02?3)x0k?(x02?3)2?1?0的两个不相等的根，从而

2x0(x02?3)(x02?3)2?1, k1?. (步骤7) k1?k2?k2?x02?1x02?1因为xA?xB?2x0

x02?311111所以2x0?(3?x0)(?)?,即??. (步骤8)

k1k2x0k1k2x022(3?x02)x01从而?. 22(3?x0)x0进而得x04?8,x0??48. 综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为(?48,22). (步骤9)

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