第9讲 数学

第9讲 §2.1.1 平面 ¤学习目标：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的\平面\；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理. ¤知识要点：

1. 点在直线上,记作；点在平面内,记作；直线在平面内,记作.

2. 平面基本性质即三条公理的\文字语言\、\符号语言\、\图形语言\列表如下：

公理1 公理2 公理3 图形语言 文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言 3.公理2的三条推论：

推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. ¤例题精讲：

【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？（P56 A组5题） 解：根据公理2的推论3，可知两条平行直线确定一个平面，又由公理1可知，与两条平行直线相交的第三条直线在这个平面内，所以一条直线与两条平行直线都相交时，这三条直线是共面的关系.

【例2】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点. （同P58 B组3题） 解：∵PEF，EF面ABC，∴P面ABC. 同理P面ADC. ∵ P在面ABC与面ADC的交线上， 又 ∵面ABC∩面ADC=AC， ∴PAC，即EF、HG、AC三线共点. 【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内. 已知：直线两两相交，交点分别为， 求证：直线共面.

证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α． 因为A∈α，B∈α，所以AB α． 同理BC α，AC α. 所以AB，BC，CA三直线共面． 点评：先依据公理2, 由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1, 证三条直线在平面内. 注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证. 常根据三条公理，进行\共面\问题的证明. 【例4】在正方体中，

（1）与是否在同一平面内？（2）点是否在同一平面内？ （3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线. 解：（1）在正方体中， ∵， ∴由公理2的推论可知，与可确定平面， ∴与在同一平面内. （2）∵点不共线，由公理3可知，点可确定平面， ∴ 点在同一平面内. （3）∵，， ∴点平面，平面， 又平面，平面， ∴ 平面平面，

同理平面平面．

点评：确定平面的依据有公理2（不在同一条直线上的三点）和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点）. 对几条公理的作用，我们必须十分熟练. 第9练 §2.1.1 平面 ※基础达标

1．两个平面若有三个公共点，则这两个平面（ ）. A．相交 B．重合 C．相交或重合 D．以上都不对

3．E、F、G、H是三棱锥A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P，则点P（ ）.

A. 一定在直线AC上 B. 一定在直线BD上 C. 只在平面BCD内 D. 只在平面ABD内

4．用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是（ ）. A. 三 B. 四 C. 六 D. 八 5．下列说法中正确的是（ ）. A. 空间不同的三点确定一个平面

B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面

C. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形

D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内 6．给出下列说法：① 梯形的四个顶点共面；② 三条平行直线共面；③ 有三个公共点的两个平面重合；④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面. 其中说法正确的序号依次是 .

7．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是 . ※能力提高

8．正方体中,E、F、G、H、K、L分别是 的中点. 求证：这六点共面． 9．（1）在平面α外，，，，求证：P，Q，R三点共线. （2）已知四边形ABCD中，AB∥CD，四条边AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面α相交于E，F，G，H四点，求证：四点E，F，G，H共线. ※探究创新

10．在一封闭的正方体容器内装满水，M，N分别是AA1与C1D1的中点，由于某种原因，在D，M，N三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问应将此容器如何放置？此时水的上表面的形状怎样？

第10讲 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 ¤学习目标：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直. ¤知识要点：

1. 空间两条直线的位置关系：

2. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.

¤例题精讲：

【例1】已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有（ ）. A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 解：过P作∥a，∥b，若P∈a，则取a为，若P∈b，则取b为．这时，相交于P点，它们的两组对顶角分别为50°和130°.

记，所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与，都成30°的直线． 过点P与，都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是，所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B.

【例2】如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点. （1）求证：D、B、F、E四点共面；

（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线. 证明：（1）∵ 正方体中，，∴. 又 ∵ 中，E、F为中点， ∴ . ∴ , 即D、B、F、E四点共面. （2）∵ ，，，， ∴ .

又 ， ∴ ，， ∴ . 即P、Q、R三点共线

【例3】已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.

证明：因为a//b，由公理2的推论，存在平面，使得.

又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，. 假设，则, 在平面内过点C作， 因为b//c，则，此与矛盾. 故直线. 综上述，a、b、c、d四线共面.

点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件. 此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.

【例4】如图中，正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点. （1）求直线AB1和CC1所成的角的大小； （2）求直线AB1和EF所成的角的大小. 解：（1）如图，连结DC1 ， ∵DC1∥AB1， ∴ DC1 和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角. ∵ ∠CC1D=45°， ∴ AB1 和CC1所成的角是45°. （2）如图，连结DA1、A1C1， ∵ EF∥A1D，AB1∥DC1，∴ ∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角. ∵ΔA1DC1是等边三角形， ∴ ∠A1DC1=60o，即直线AB1和EF所成的角是60o. 点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易. 解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路. 第10练 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 ※基础达标

1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）. A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上都有可能

2．教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ ）. A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．异面

3．两条直线a,b分别和异面直线c, d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ）. A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线

C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线，也可能是相交直线

4．把两条异面直线称作\一对\，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（ ）. A. 12 B. 24 C. 36 D. 48

5．正方体中，AB的中点为M，的中点为N，异面直线 与CN所成的角是（ ）. A．30° B．90° C．45° D．60°

6．如图，正方体中，直线与所成角为______度. 7．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中： ① BM与ED平行； ② CN与BE是异面直线； ③ CN与BM成60o角； ④ DM与BN垂直. 以上四个说法中，正确说法的序号依次是 . ※能力提高

8．已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB和CD所成的角的大小.

9．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点. ※探究创新

10．设异面直线a与b所成角为50°，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是θ的直线l有且仅有几条?

第11讲 §2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系 ¤学习目标：了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系. ¤知识要点：

1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：；；. 2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作；. ¤例题精讲：

【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小. 解：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN∥AB，PM∥CD，于是∠MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）. 连结MN、DN，设AB=2， ∴PM=PN=1. 而AN=DN=，由MN⊥AD，AM=1，得MN=，

∴MN2=MP2+NP2，∴∠MPN=90°. ∴异面直线AB、CD成90°角.

【例2】在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC + BD = a ，ACBD =b，求. 解：四边形EFGH是平行四边形， =2=.

【例3】已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且. 求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点. 证明：（1） 在△ABD和△CBD中， ∵ E、H分别是AB和CD的中点， ∴ EHBD. 又 ∵ ， ∴ FGBD. ∴ EH∥FG.

所以，E、F、G、H四点共面. （2）由（1）可知，EH∥FG ，且EHFG，即直线EF，GH是梯形的两腰， 所以它们的延长线必相交于一点P. ∵ AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点， ∴ 由公理3知PAC.

所以，三条直线EF、GH、AC交于一点.

点评：一般地，证明三线共点，可证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线又往往是两平面的交线.

【例4】如下图，设△ABC和△A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O，且=== .试求的值.

解：依题意，因为AA1、BB1、CC1相交于一点O，且==， 所以AB∥A1B1，AC∥A1C1，BC∥B1C1. 由平移角定理得∠BAC=∠B1A1C1，∠ABC=∠A1B1C1，△ABC∽△A1B1C1， 所以=（）2=.

点评：利用平移角定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题. 第11练 §2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系 ※基础达标

1．直线与平面不平行，则（ ）.

A. 与相交 B. C. 与相交或 D. 以上结论都不对 2．正方体各面所在平面将空间分成（ ）个部分. A. 7 B. 15 C. 21 D. 27

3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数（ ）.

A. 有限个 B. 无限个 C. 没有 D. 没有或无限个

4．E、F、G、H是棱锥A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P点，则点P（ ）.

A. 一定在直线AC上 B. 一定在直线BD上 C. 只在平面BCD内 D. 只在平面ABD内

5．一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 平行或垂合 D. 平行或相交

6．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是 .

7．一个平面把空间分成 部分，两个平面可以把空间分成 部分，三个平面可以把空间分成 部分． ※能力提高

8．A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点， （1）求证：直线EF与BD是异面直线； （2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角.

9．已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如右图），求证：（1）对角线AC、BD是异面直线； （2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上.

※探究创新

10．空间四边形ABCD中，P、Q、R、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

（1）求证：四边形PQRH是平行四边形； （2）若AC=BD，则四边形PQRH是什么四边形？

（3）若AC⊥BD，则四边形PQRH是什么四边形？

（4）空间四边形ABCD满足什么条件时，PQRH是正方形？ 第12讲 §2.2.1 直线与平面平行的判定 ¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定，掌握直线与平面平行判定定理，掌握转化思想\线线平行线面平行\ ¤知识要点：

1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.

2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示为：. 图形如右图所示. ¤例题精讲：

【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC

证明：设PC的中点为G，连接EG、FG. ∵ F为PD中点， ∴ GF∥CD且GF=CD. ∵ AB∥CD， AB=CD， E为AB中点， ∴ GF∥AE， GF=AE， 四边形AEGF为平行四边形. ∴ EG∥AF， 又∵ AF平面PEC， EG平面PEC， ∴ AF∥平面PEC.

【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：EF∥平面BB1D1D.

证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥DC， OE=DC. ∵ DC∥D1C1， DC=D1C1 ， F为D1C1的中点，

∴ OE∥D1F， OE=D1F， 四边形D1FEO为平行四边形. ∴ EF∥D1O. 又∵ EF平面BB1D1D， D1O平面BB1D1D， ∴ EF∥平面BB1D1D. 【例3】如图，已知、、、分别是四面体的棱、、、的中点，求证：∥平面. 证明：如右图，连结，交于点，连结， 在中，、分别是、中点， ∴， ∵为中点， ∴为中点， 在中，∵、为、中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴∥平面.

点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.

【例4】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点

（1）求证：MN//平面PAD； （2）若，，求异面直线PA与MN所成的角的大小. 解：（1）取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点， ∴ NH. 由M是AB的中点， ∴ NHAM， 即AMNH为平行四边形. ∴ . 由， ∴ .

（2） 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON， ∴ OMBC，ONPA，

所以就是异面直线PA与MN所成的角，且MO⊥NO. 由，, 得OM=2，ON=

所以，即异面直线PA与MN成30°的角

点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得. 第12练 §2.2.1 直线与平面平行的判定 ※基础达标

1．已知直线、, 平面α, ∥, ∥α, 那么与平面α的关系是（ ）. A. ∥α B. α C. ∥α或α D. 与α相交

2．以下说法（其中a，b表示直线，?表示平面） ①若a∥b，b??，则a∥? ②若a∥?，b∥?，则a∥b ③若a∥b，b∥?，则a∥? ④若a∥?，b??，则a∥b 其中正确说法的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3．已知a，b是两条相交直线，a∥?，则b与?的位置关系是（ ）. A. b∥? B. b与?相交 C. bα D. b∥?或b与?相交

4．如果平面?外有两点A、B，它们到平面?的距离都是a，则直线AB和平面?的位置关系一定是（ ）.

A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB??

5．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面（ ）. A. 只有一个 B. 恰有两个 C. 或没有，或只有一个 D. 有无数个

6．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的是 .

7．过三棱锥A-BCD的棱AB、BC、CD的中点M、N、P作平面MNP，三棱锥的六条棱中与平面MNP平行的是 ；若AC与BD成90°角，AC=6，BD=8，则截面四边形的面积是 . ※能力提高

8．平面?与△ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，求证：BC∥平面?. 9．P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点. （1）求证：EO‖平面PCD ； （2）图中EO还与哪个平面平行？ ※探究创新

10．三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，且到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍. 这一结论叫做三角形的重心定理.

在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，在四面体的四个面中，与MN平行的是哪几个面？试证明你的结论. 第13讲 §2.2.2 平面与平面平行的判定 ¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的判定，掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想. ¤知识要点：

面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：. ¤例题精讲：

【例1】如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD. 证明：连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴ PN∥B1D1. 又B1D1∥BD，∴PN∥BD. 又PN不在平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD. 同理，MN∥平面A1BD. 又PN∩MN=N， ∴平面PMN∥平面A1BD. 【例2】正方体ABCD-A1B1C1D1中．（1）求证：平面A1BD∥平面B1D1C； （2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 证明：（1）由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD， 又BD ?平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD． （2）由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G． 从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF． ∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．

【例3】已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求证：平面MNQ∥平面PBC.

证明： PM：MA=BN：ND=PQ：QD. ∴ MQ//AD，NQ//BP，

而BP平面PBC，NQ 平面PBC, ∴ NQ//平面PBC. 又ABCD为平行四边形，BC//AD， ∴ MQ//BC， 而BC平面PBC，MQ 平面PBC, ∴ MQ//平面PBC. 由MQNQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理， ∴ 平面MNQ∥平面PBC.

点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行. 一般证\面面平面\问题最终转化为证线与线的平行.

【例4】直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2,侧棱，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点. （1）求证：平面AMN∥平面EFDB；（2）求平面AMN与平面EFDB的距离. 证：（1）连接,分别交MN、EF于P、Q. 连接AC交BD于O，连接AP、OQ. 由已知可得， ∴ . 由已知可得，且. ∴ , ∴ . ∴平面AMN∥平面EFDB. 解：（2）过作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、H'，易得. 由, 根据, 则

，解得. 所以，平面AMN与平面EFDB的距离为.

点评：第（1）问证面面平行，转化途径为\线线平行→线面平行→面面平行\第（2）问求面面距离，巧妙将中间两个平面的距离，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，然后利用等体积法求距离. 等价转化的思想在本题中十分突出，我们可以用同样的转化思维，将此例中的两个平面的距离，转化为求点B到平面AB'C的距离. 第13练 §2.2.2 平面与平面平行的判定 ※基础达标

1．下列说法正确的是（ ）.

A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行 B. 平行于同一平面的两条直线平行

C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）. A. α、β都平行于直线l

B. α内存在不共线的三点到β的距离相等 C. l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥β D. l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β 3．下列说法正确的是（ ）.

A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 平行于同一个平面的两条直线平行 C. 平行于同一条直线的两个平面平行 D. 平行于同一个平面的两个平面平行 4．经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 0个或1个 D. 1个或2个

5．不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且Aα，则（ ）. A. α∥平面ABC B. △ABC中至少有一边平行于α

C. △ABC中至多有两边平行于α D. △ABC中只可能有一条边与α平行

6．已知直线a、b，平面α、β, 且a// b，a//α，α//β，则直线b与平面β的位置关系为 . 7．已知a、b、c是三条不重合直线，?、?、?是三个不重合的平面，下列说法中： ⑴ a∥c，b∥ca∥b； ⑵ a∥?，b∥?a∥b； ⑶ c∥?，c∥??∥?； ⑷ ?∥?，?∥??∥?； ⑸ a∥c，?∥ca∥?； ⑹ a∥?，?∥?a∥?. 其中正确的说法依次是 . ※能力提高

8．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q分别是棱A1A，A1B1，A1D1，CB，CC1，CD的中点，求证：平面EFG∥平面MNQ. 9．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，过M作MH⊥AB于H，求证：（1）平面MNH//平面BCE；（2）MN∥平面BCE. ※探究创新

10．P是所在平面外一点，分别是的重心， （1）求证：平面; (2)求. 第14讲 §2.2.3 直线与平面平行的性质 ¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握\线线\线面\平行的转化. ¤知识要点：

线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：. ¤例题精讲：

【例1】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1E∥B1B 证明：∵ ， ∴ . 又 ， ∴ . 则.

【例2】如图，，，，，求证：. 证明：连结， ∵， ∴直线和可以确定一个平面，记为， ∵，，∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴ 四边形为平行四边形， ∴.

【例3】如右图，平行四边形EFGH的分别在空间四边形ABCD各边上，求证：BD//平面EFGH.

证明：∵ ,平面，平面， ∴ . 又 ∵ ，, ∴ . 又 ∵ ,, ∴ .

点评：转化思维链是\由已知线线平行→线面平行→线线平行→线面平行\此题属于教材（必修②人教A版）中第64页的3题的演变, 同样还可证平面. 【例4】已知直线∥平面α，直线∥平面β，平面α平面β=，求证． 证明：经过作两个平面和，与平面α和β分别相交于直线和， ∵ ∥平面α，∥平面β， ∴∥，∥， ∴∥， 又 ∵平面β，平面β， ∴∥平面β，

又 平面α，平面α∩平面β=， ∴ ∥， ∵∥， ∴ ∥．

点评：利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到a∥b的目的，这里借用已知条件中的a∥α及a∥β来实现．证线线平行，可由公理4进行平行传递，也可以由线面平行的性质及后面的面面平行的性质得到线线平行. 这里采用作辅助平面，利用线面平行的性质得到线线平行. 第14练 §2.2.3 直线与平面平行的性质 ※基础达标

1．已知直线l//平面α，m为平面α内任一直线，则直线l与直线m的位置关系是（ ）. A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面

2．梯形ABCD中AB//CD，AB平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（ ）.

A. 平行 B. 平行和异面 C. 平行和相交 D. 异面和相交

3．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）.

A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 不能确定

4．若直线、b均平行于平面α，则与b的关系是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或相交或异面

5．已知l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是（ ）. A. D1B1∥l B. BD//平面AD1B1 C. l∥平面A1D1B1 D. l⊥B1 C1

6．已知正方体的棱长为1，点P是的面的中心，点Q是面的对角线上一点，且平面，则线段的长为 .

7．设不同的直线a,b和不同的平面α，β，γ，给出下列四个说法： ① a∥α，b∥α，则a∥b； ② a∥α, a∥β, 则α∥β； ③α∥γ，β∥γ，则α∥β；④ a∥b,bα,则a∥α. 其中说法正确的序号依次是 . ※能力提高

8．如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形. （1）求证：CD∥平面EFGH；（2）如果AB⊥CD，AB=a， CD=b是定值，求截面EFGH的面积.

9．如右图，直线和是异面直线，，，，，求证：. ※探究创新

10．如下图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N. （1）求证：EM∥平面A1B1C1D1； （2）设截面A1BMN把该正四棱柱截成两个几何体的体积分别为V1、V2（V1＜V2，求V1∶V2的值.

第15讲 §2.2.4 平面与平面平行的性质 ¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握\线线\线面\面面\平行的转化. ¤知识要点：

1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：. 2. 其它性质：①； ②； ③夹在平行平面间的平行线段相等. ¤例题精讲：

【例1】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β. 求证：MN∥α.

证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE， 则ME∥AC，∴ ME∥平面α， 又 NE∥BD， ∴ NE∥β， 又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面α， ∵ MN平面MEN，∴MN∥α.

【例2】如图，A，B，C，D四点都在平面?，?外，它们在?内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在?内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形． 证明：∵ A，B，C，D四点在?内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上， ∴A，B，C，D四点共面．

又A，B，C，D四点在?内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点， ∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1． ∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线． ∴AB∥CD． 同理AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形．

【例3】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F、G是侧面对角线上的点，且，求

证：平面EFG∥平面ABC.

证明：作于P，连接PF. 在正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面中，易知，又，所以. ∴ ，平面ABC. 又∵ ，， ∴ ，∴ ，则平面ABC. ∵ ，∴ 平面PEF//平面ABC. ∵ 平面PEF， ∴ EF//平面ABC. 同理，GF//平面ABC. ∵ ，∴ 平面EFG//平面ABC.

点评：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线，并抓住一些平面图形的几何性质，如比例线段等. 此题通过巧作垂线，得到所作平面与底面平行，由性质易得线面平行，进而转化出待证的面面平行，突出了平行问题中转化思想.

【例4】如图，已知正方体中，面对角线，上分别有两点E、F，且. 求证：EF∥平面ABCD.

证明：过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN. ∵ BB1⊥平面ABCD， ∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴ EM∥BB1，FN∥BB1， ∴EM∥FN， ∵ AB1=BC1，B1E=C1F，∴AE=BF， 又∠B1AB=∠C1BC=45°， ∴ Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM=FN. ∴ 四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN. 又MN平面ABCD，∴EF∥平面ABCD. 证法二：过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF， ∴，，，∴， ∴FG∥B1C1∥BC. 又∵EG=G，ABBC=B，∴平面EFG∥平面ABCD. b又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.

点评：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住\线线平行线面平行面面平行\之间的互相转化而完成证明. 第15练 §2.2.4 平面与平面平行的性质 ※基础达标

1．下列说法正确的是（ ）.

A. 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合

B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行 C. 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行 D. 如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行 2．已知∥， 则在内过点B的所有直线中（ ）.

A．不一定存在与平行的直线 B．只有两条与平行的直线 C．存在无数条与平行的直线 D．存在唯一一条与平行的直线 3．下列说法正确的是（ ）.

A. 直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行

B. 经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行 C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行 D. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行

4．在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ）. A. B. C. D.

5．已知平面平面，是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，，，则的长为（ ）.

A. B. 或 C. D. 6．已知平面α∥β，，有下列说法：① a与β内的所有直线平行；② a与β内无数条直线平行；③ a与β内的任意一条直线都不垂直. 其中正确的序号依次是 . 7．设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则SC=_ . ※能力提高

8．如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，且A、C∈α，B、D∈β，AC⊥BD，AC=6，BD=8. M是AB的中点，过点M作一个平面γ，交CD与N，且，求线段MN的长.

9．已知平面，且，，求证：． ※探究创新

10．如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH的面积不改变； ③棱A1D1始终与水面EFGH平行； ④当容器倾斜如图乙时，EF·BF是定值. 其中正确说法的序号是_____________.

第16讲 §2.3.1 直线与平面垂直的判定 ¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解. ¤知识要点：

1. 定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作. －平面的垂线，－直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足.（线线垂直线面垂直）

2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若⊥，⊥，∩＝B，?，?，则⊥

3. 斜线和平面所成的角，简称\线面角\，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为\作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）\通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键. ¤例题精讲：

【例1】四面体中，分别为的中点，且，，求证：平面. 证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴，. 又∴，∴在中，， ∴，∴，又，即，， ∴平面.

【例2】已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE

与平面ABC1D1所成的角的正弦值.

解：取CD的中点F，连接EF交平面于O，连AO. 由已知正方体，易知平面，所以为所求. 在中，，， .

所以直线AE与平面所成的角的正弦值为. 【例3】三棱锥中，，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的垂心. 证明：连接OA、OB、OC，∵ 平面ABC， ∴ . 又 ∵ ， ∴ ，得, ∴ O为底面△ABC的垂心.

点评：此例可以变式为\已知，求证\，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到后进行证明. 三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出.

【例4】已知，斜边BC//平面， AB，AC分别与平面成30°和45°的角，已知BC=6，求BC到平面的距离.

解：作于，于，则由，得 ，且就是BC到平面的距离， 设，连结，则， ∴， 在中，，∴，∴，即BC到平面的距离为．

点评：由直线与平面的平行，直接作平面的垂线段即为线面距离. 此题通过两条垂线段把所已知的线面角同时作出，利用解直角三角形的知识和方程思想容易解决问题. 第16练 §2.3.1 直线与平面垂直的判定 ※基础达标

1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（ ）. A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 2．若直线平面，直线，则（ ）.

A． B．l可能和m平行 C．l和m相交 D． l和m不相交

3．在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现沿SE、SF、 EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合为点G，则有（ ）. A. SG⊥面EFG B. EG⊥面SEF C. GF⊥面SEF D. SG⊥面SEF 4．直线a⊥直线b，b⊥平面，则a与β的关系是（ ）. A．a⊥ B. a∥β． C． D．a或a∥ 5．（04年湖南卷.理4文5）把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（ ）. A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 6．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件 时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形）. 7．设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下说法： ①若，，则是垂心； ②若两两互相垂直，则是垂心； ③若，是的中点，则； ④若，则是的外心. 其中正确说法的序号依次是 . ※能力提高

8．如图，在正方体中，E是的中点，F是AC,BD的交点，求证：．

9．如图，是矩形，平面，，是线段上的点，是线段上的点，且．求直线与平面所成角的正弦值. ※探究创新

10．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°, （1）证明：C1C⊥BD； （2）当的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？

第17讲 §2.3.2 平面与平面垂直的判定 ¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面垂直的判定，掌握二面角和两个平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系，会用所学知识求两平面所成的二面角的平面角的大小. ¤知识要点：

1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角. （简记）

2. 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. 范围：.

3. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作.

4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直面面垂直） ¤例题精讲：

【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P. （1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面APE⊥平面APF. 证明：（1）如右图，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P， ∴ PA⊥平面PEF. ∵EF平面PEF，∴PA⊥EF. （2）∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF. 又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.

【例2】如图, 在空间四边形ABCD中， 分别是的中点，求证：平面平面. 证明：为AC中点，所以. 同理可证 ∴ 面BGD.

又易知EF//AC，则面BGD. 又因为面BEF，所以平面平面.

【例3】如图，在正方体中，E是的中点，求证：． 证明：连接AC，交BD于F，连接，EF，，. 由正方体，易得，，F是BD的中点， 所以，得到是二面角的平面角. 设正方体的棱长为2，则 ，，

. ∴ ，即，所以. 点评：要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角，这也是证两平面垂直的常用方法. 此题由几何图形的特征，作出待证的两个垂直平面所成二面角的平面角是解决问题的关键. 【例4】正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，且EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比. 解：（1）延长ED交CB延长线于F， ， ∴ ，. ∵， ∴ 为截面与底面所成二面角的平面角. 在Rt△AEC中，EC=AC，故得∠EAC=45°. （2）设AB=a，则， . ∴ .

点评：截面问题的研究，需注意结合截面的性质. 如何作出截面，是解决问题的关键，然后把截面的看成一个平面图形. 求二面角时，抓住二面角的平面角定义（两线垂棱），找出其平面角，解直角三角形. 第17练 §2.3.2 平面与平面垂直的判定 ※基础达标

1．对于直线、和平面、，的一个条件是（ ）. A．，， B. C． D. ， ，

2．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP=AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是（ ）. A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在三棱锥A-BCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么（ ）. A. 平面ABD⊥平面ADC B. 平面ABD⊥平面ABC C. 平面BCD⊥平面ADC D. 平面ABC⊥平面BCD

4．在直二面角棱AB上取一点P，过P分别在平面内作与棱成45°角的斜线PC、PD，则∠CPD的大小是（ ）. A．45° B．60° C．120° D．60°或120° 5．下面四个说法：① 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直； ②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直. 其中正确的说法个数是（ ）. A.1 B. 2 C. 3 D. 4

6．E是正方形ABCD的AB边中点，将△ADE与△BCE沿DE、CE向上折起，使得A、B重合为点P，那么二面角D-PE-C的大小为 .

7．空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E是AC的中点，则平面BDE与平面ABC的位置关系是 . ※能力提高

8．如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、. 将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M. 试求二面角的大小.

9．如图，棱长为的正方体中，分别为棱和的中点，为棱的中点. 求证：（1）平面；（2）平面平面. ※探究创新

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点.（1）求证：CD⊥PD； （2）求证：EF∥平面PAD； （3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？ 第18讲 §2.3.3 线面、面面垂直的性质 ¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质，掌握两个性质定理及定理的应用. ¤知识要点：

1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直线线平行） 2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若，，，，则.（面面垂直线面垂直） ¤例题精讲：

【例1】把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？ 解：

注：若BC与a垂直，同理可得AB与a也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法： \线线垂直→线面垂直→线线垂直\ 【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC. （1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面. 解：（1）证明：∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径， ∴BC⊥AC. 又PA⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC. ∵ BC 平面PBC， ∴平面PAC⊥平面PBC. （2）平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD.

【例3】三棱锥中，,平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的外心. 证明：连接OA、OB、OC， ∵ 平面ABC， ∴ .

在△PAO、△PBO、△PCO中，, , PO边公共. ∴ . ∴ ,

所以，O为底面△ABC的外心.

点评：若已知三条侧棱与底面所成角相等时，即，按同样的方法\证全等\可以证出. 上述结论对一般棱锥也成立，即棱锥的侧棱均相等或侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

【例4】三棱锥中，三个侧面与底面所成的二面角相等，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的内心.

【证】作于D，于E，于F，连接OD、OE、OF. ∵ 平面ABC，∴ ， . 又 ∵ , ∴ . 得 , ∴ 为三个侧面与底面所成的二面角的平面角. 即得， ∵ PO边公共， ∴ ，得 ， 又 ∵ . ∴ O为底面△ABC的内心.

点评：这里用到了证明垂直问题的转化思想，即\线线垂直→线面垂直→线线垂直\上述结论对于一般棱锥也成立，即棱锥的各侧面与底面所成二面角均相等，或棱锥的顶点到底面各边的距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的内切圆的圆心. 第18练 §2.3.3 线面、面面垂直的性质 ※基础达标

1．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是（ ）. A. PA⊥BC B. BC⊥平面PAC C. AC⊥PB D. PC⊥BC 2．（1998上海卷）在下列说法中，错误的是（ ）.

A. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β B. 若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥β C. 若平面α⊥平面β，任取直线lα，则必有l⊥β D. 若平面α∥平面β，任取直线lα，则必有l∥β 3．给出下列说法：①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α； ④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等.

其中正确的两个说法是（ ）. A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 4．在中，，AB=8，，PC面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（ ）.

A. B. C. D. 5．（04年福建卷.理5）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列说法： ①若mα，n∥α，则m∥n； ②若m∥α，m∥β，则α∥β； ③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β； ④若m⊥α，m⊥β，则α∥β. 其中正确说法的个数是（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6．已知两个平面垂直，给出下列一些说法：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.

其中正确的说法的序号依次是 .

7．P是△ABC所在平面α外一点，O是P在平面α内的射影. 若P到△ABC的三个顶点距离相等，则O是△ABC的__________心；若P到△ABC的三边的距离相等，则O是△ABC的_______心；若PA,PB,PC两两垂直，则O是△ABC的_______心. ※能力提高

8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中. 求证：（1）B1D⊥平面A1C1B； （2）B1D与平面A1C1B的交点设为O，则点O是△A1C1B的垂心. 9．（1994全国文，23）如图，已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中点. （1）证明：AB1∥平面DBC1；（2）假设AB1⊥BC1，BC＝2，求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长. ※探究创新

10．在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.

（1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1； （2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C； （3）如果截面MBC1⊥平面BB1C1C，那么AM=MA1吗？请你叙述判断理由.

第19讲 第二章 点线面之间的位置关系 复习 ¤学习目标：借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中垂直与平行的判定与性质，能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的命题. ¤例题精讲：

【例1】如图，在棱长为1的正方体中，M、N分别在其面的对角线A1B、AC上运动，且A1M=AN，求MN的最小值. 解：设AN=，作NG⊥AB于G点，连MG. ∵BC⊥AB，∴NG∥BC， 又由A1M= AN可得MG⊥AB， ∴ MG∥B1B. 由等角定理知∠MGN=∠B1BC=90°, ∴ NG=NA=，MG=BM=. ∴ MN2=NG2+MG2=. ∴ 当=时，MN2有最小值，MN有最小值.

【例2】如图，在正方体中，E是的中点，F是AC,BD的交点，求证：． 证明：∵ ，∴ . 又∵，∴ , 得.

取BC中点G，连结， ∴ .

【第16练】 1～5 CAADC； 6. AC⊥BD； 7. ①②③④ 8. 证明：∵ ，∴ . 又∵，∴ , 得.

取BC中点G，连结， ∴ . ∵，∴ . 又∵正方形中，E,G分别为的中点， ∴， ∴ , 得. 又∵， ∴．

9. 解: 平面，过作于，则平面，连，则为直线与平面所成的角. .

在中，． ∴ ． 10. 解：（1）证明：连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD 又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D ∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O ∴BD⊥平面AC1，又C1C平面AC1，∴C1C⊥BD. （2）由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O平面AC1，∴BD⊥A1C，当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD.

第17练 §2.3.2 平面与平面垂直的判定

【第17练】 1～5 CBCDC； 6. 60°； 7. 垂直 8. 解：连接AG、GM、A1G. ∵ G是正ΔABC的中心，M是BC的中点， ∴ A、G、M三点共线，且AG:GM=2:1，AM⊥BC. ∵ , ∴,即, , ∴ 为二面角的的平面角. ∵ M是点在平面上的射影，即平面，∴ . 在中，由，得.即二面角的大小是60°. 9. 证明：（1） ∵底面为正方形，∴，又 ，∴. ∵，∴面， 又∵、分别为、的中点， ∴，∴平面. （2）∵为正方形，、分别为所在边的中点， ∴， ∴， ∴ ，又平面， ∴，又∵= ，∴平面. 又∵面，∴平面平面. 10. 解：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD. 又∵ CD⊥AD，CD⊥平面PAD. ∴CD⊥PD. （2）证明：取CD中点G，连EG、FG， ∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD. ∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD. （3）当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD. 证明：G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP. 由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE. 又F是PC的中点，∴EF⊥PC， 由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.

第18练 §2.3.3 线面、面面垂直的性质

【第18练】 1～5 CCDAB； 6. ②④ ；7. 外，内，垂 8. 证明：（1）连接B1D1，则A1C1⊥B1D1. 又有D D1⊥A1C1，∴ A1C1⊥平面B1 D D1，从而A1C1⊥B1D. 同理可证：A1B⊥B1D. ∴ B1D⊥平面A1C1B. （2）连接BO，A1O，C1O. 由B B1⊥A1C1，B1O⊥A1C1，得到A1C1⊥平面B B1O. ∴ A1C1⊥BO. 同理，A1B ⊥C1O，BC1⊥A1O. 故点O是△A1C1B的垂心. 9. 解：（1）证明：由A1B1C1-ABC是三棱柱，∴ 四边形B1BCC1是矩形. 连B1C与BC1交于E，则E为B1C的中点，连DE，D是AC的中点. ∴ ED∥AB1， 又ED平面BDC1，AB1平面BDC1， 所以AB1∥平面BDC1. （2）解：作AF⊥BC，垂足为F. ∵ 面ABC⊥面B1BCC1，∴ AF⊥面B1BCC1. 连B1F，则B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影. ∵ BC1⊥AB1 ， ∴BC1⊥B1F. ∵四边形B1BCC1是矩形， ∴∠B1BF＝∠BCC1＝90°， 又∠FB1B＝∠C1BC， ∴△B1BF∽△BCC1. ∴．

又F为正三角形ABC的BC边的中点. 因而B1B2＝BF·BC＝1×2＝2 ，于是B1F2＝B1B2＋BF2＝3 ∴B1F＝， 即线段AB1在平面B1BCC1内的射影长为. 10. 解：（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC. ∵ 底面ABC⊥平面BB1C1C， ∴AD⊥侧面BB1C1C, ∴AD⊥CC1. （2）证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N. ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1。 ∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1。 ∴C1N⊥C1B1. ∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C. ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C， ∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C. （3）过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C, ∴ME⊥侧面BB1C1C， 又∵AD⊥侧面BB1C1C, ∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面. ∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE. ∵CC1⊥AD，∴DE∥CC1. ∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点. ∴AM=DE=AA1，∴AM=MA1.

第19练 第二章 点线面之间的位置关系 复习

【第19练】 1～5 BDCCD； 6. ； 7. ②④

8. 解：在c上截PQ=1，确定平面α. 过Q作QH⊥α于H，过H作HA⊥a于A，HB⊥b于B，连QA、QB. .

易得△QPB≌△QPA△QHB≌△QHA为∠APB的角平分线. ∴ . 即c与a、b所确定的平面α所成角的余弦值为. 9. 解：（1）∵ PA⊥平面 ABCD， ∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又∵AB⊥AC，AC平面ABCD， ∴AC⊥PB. （2）连接BD，与 AC 相交于 O，连接 EO. ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点

又 E 是 PD 的中点，∴EO∥PB. 又 PB平面 AEC，EO平面 AEC， ∴PB∥平面 AEC. （3）. 10. 解：（1）过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1G⊥PQ，垂足为G. ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°，∴AB⊥PQ，AB⊥B1P. ∴∠B1PG为所求二面角的平面角.过C1作C1H⊥PQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形. ∴PG=（b－d）， 又B1G=h， ∴tan∠B1PG=（b＞d）， （2）证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD， 又CD是面ABCD与面CDEF的交线，∴AB∥面CDEF. ∵EF是面ABFE与面CDEF的交线， ∴AB∥EF. ∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外， ∴EF∥面ABCD. （Ⅲ）V估＜V. 证明：∵a＞c，b＞d， ∴V－V估==［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］ =（a－c）（b－d）＞0. ∴V估＜V.

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