初三圆经典真题及答案详解

圆经典重难点真题

一．选择题（共10小题） 1．（2015?安顺）如右图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（ ）

A．2 B．4 C．4 D．8 2．（2015?酒泉）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ）

A．80° B．160° C．100° D．80°或100° 3．（2015?兰州）如右图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（ ）

A．80° B．90° C．100° D．无法确定 4．（2015?包头）如右图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为 A．

π B．π C．π D．

π

，则图中阴影部分的面积为（ ）

5．（2015?黄冈中学自主招生）如右图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的正弦值为（ ） A．

B．

C．

D．

沿弦BC折叠，交直径

6．（2015?黄冈中学自主招生）将

AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（ ）

A．3 B．8 C． D．2 7．（2015?齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，

小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）

A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5

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8．（2015?衢州）如右图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（ ） A．3

B．4

C．

D．

9．（2014?舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8 10．（2015?海南）如右图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧

上一点，则∠APB的度数为（ ）

A．45° B．30° C．75° D．60°

二．填空题（共5小题） 11．（2015?黔西南州）如右图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为 ．

12．（2015?宿迁）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD= °．

13．（2015?南昌）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为 ．

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14．（2015?青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°， ∠E=30°，则∠F= ．

15．（2015?甘南州）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，

OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是 ．

三．解答题（共5小题）

16．（2015?永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD． （1）求证：BE=CE；

（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由； （3）若BC=8，AD=10，求CD的长．

17．（2015?安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；

（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

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18．（2015?滨州）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D． （1）求

的长．

（2）求弦BD的长．

19．（2015?丹东）如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交

BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C． （1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM．

20．（2014?湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．

（1）求证：AC=BD；

（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．

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参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题） 1．（2015?安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（ ）

A．2 B．4 C．4 D．8

【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．

【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂

径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=CD=2CE进行计算．

【解答】解：∵∠A=22.5°， ∴∠BOC=2∠A=45°，

∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，

∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形， ∴CE=

OC=2

， ．

OC=2，然后利用

∴CD=2CE=4故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理． 2．（2015?酒泉）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ） A．80° B．160° C．100° D．80°或100° 【考点】圆周角定理．

【分析】首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC的度数． 【解答】解：如图，∵∠AOC=160°，

∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，

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，

∴△BED≌△CEF， ∴CF=BD，

∴四边形BFCD是平行四边形， ∵∠BAD=∠CAD， ∴BD=CD，

∴四边形BFCD是菱形；

（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，

2

∴CE=DE?AE， 设DE=x，

∵BC=8，AD=10， 2

∴4=x（10﹣x），

解得：x=2或x=8（舍去） 在Rt△CED中， CD=

=

=2

．

【点评】本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键． 17．（2015?安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；

（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

【考点】圆周角定理；勾股定理；解直角三角形． 【专题】计算题． 【分析】（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=；

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（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ=，则当OP的长

最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP=OB=，所以PQ长的最大值=

．

【解答】解：（1）连结OQ，如图1， ∵PQ∥AB，OP⊥PQ， ∴OP⊥AB，

在Rt△OBP中，∵tan∠B=∴OP=3tan30°=， 在Rt△OPQ中，∵OP=∴PQ=

=

，

，OQ=3， ；

（2）连结OQ，如图2， 在Rt△OPQ中，PQ=

=

，

当OP的长最小时，PQ的长最大， 此时OP⊥BC，则OP=OB=， ∴PQ长的最大值为

=

．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和解直角三角形． 18．（2015?滨州）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D． （1）求

的长．

（2）求弦BD的长．

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【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧长的计算． 【分析】（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，

求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出的长即可．

（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根据圆周角定理，可得

∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．

【解答】解：（1）如图，连接OC，OD，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， 在Rt△ABC中， ∵

，

，

∴∠BAC=60°，

∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°， ∴

的长=

．

（2）∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴∠AOD=∠BOD， ∴AD=BD，

∴∠ABD=∠BAD=45°， 在Rt△ABD中， BD=AB×sin45°=10×

．

【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．

（2）此题还考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．

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（3）此题还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①弧长公式：l=

（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．②在弧长的计算公式中，n是表示1°

的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．

19．（2015?丹东）如图，AB是⊙O的直径，

=

，连接ED、BD，延长AE交BD的延

长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C． （1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM．

【考点】切线的性质；扇形面积的计算． 【专题】证明题． 【分析】（1）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，得到

∠DOC=45°，根据S阴影=S△OCD﹣S扇OBD计算即可；

（2）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB=DE，证明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案． 【解答】（1）解：如图，连接OD， ∵CD是⊙O切线， ∴OD⊥CD，

∵OA=CD=2，OA=OD， ∴OD=CD=2，

∴△OCD为等腰直角三角形， ∴∠DOC=∠C=45°， ∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=（2）证明：如图，连接AD， ∵AB是⊙O直径，

∴∠ADB=∠ADM=90°， 又∵

=

，

﹣

=4﹣π；

∴ED=BD，∠MAD=∠BAD， 在△AMD和△ABD中，

，

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∴△AMD≌△ABD， ∴DM=BD， ∴DE=DM．

【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法． 20．（2014?湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．

（1）求证：AC=BD；

（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．

【考点】垂径定理；勾股定理． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD； （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论． 【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE，

∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；

（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA， ∴OE=6，

∴CE==

．

=2，AE===8，

∴AC=AE﹣CE=8﹣2

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

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