初中数学：最短路径问题专题学习

初中数学：最短路径问题专题学习

【基本问题】

【问题1】 AlB作法 图形 原理 连AB，与l交点即为P． 两点之间线段最短． PA+PB最小值为AB． 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 【问题2】“将军饮马” ABl作法 作B关于l的对称点B＇连A B＇，与l交点即为P． 图形 原理 两点之间线段最短． PA+PB最小值为A B＇． 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 【问题3】 l1作法 图形 原理 Pl2分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N． 两点之间线段最短． PM+MN+PN的最小值为 线段P＇P＇＇的长． 在直线l1、l2上分别求点M、N，使△PMN的周长最小． 【问题4】 l1QPl2作法 分别作点Q 、P关于直线l1、l2的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N． 图形 原理 两点之间线段最短． 四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长． 在直线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小． 【问题5】“造桥选址”

AMNBmn作法 将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交n于点N，过N作NM⊥m于M． 图形 原理 两点之间线段最短． AM+MN+BN的最小值为 A＇B+MN． 1

直线m∥n，在m、n，上分别求点M、N，使MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小． 【问题6】 AB作法 将点A向右平移a个长度l图形 原理 MaN单位得A＇，作A＇关于l的对称点A＇＇，连A＇ ＇B，交直线两点之间线段最短． AM+MN+BN的最小值为 A＇＇B+MN． 在直线l上求两点M、N（M在左），使MN?a，并使AM+MN+NB的值最小． l于点N，将N点向左平移a个单位得M． 【问题7】 l1Pl2作法 图形 原理 作点P关于l1的对称点P＇，作P＇B⊥l2于B，交l2于A． 点到直线，垂线段最短． PA+AB的最小值为线段P＇B的长． 在l1上求点A，在l2上求点B，使PA+AB值最小． 【问题8】 l1NAMBl2作法 图形 原理 作点A关于l2的对称点A＇，作点B关于l1的对称点B＇，连A＇B＇交l2于M，交l1于N． 两点之间线段最短． AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长． A为l1上一定点，B为l2上一定点，在l2上求点M，在l1上求点N，使AM+MN+NB的值最小． 【问题9】 ABl作法 图形 原理 垂直平分上的点到线段两连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P． 端点的距离相等． 在直线l上求一点P，使PA?PB的值最小． PA?PB＝0． 【问题10】

AlB作法 作B关于l的对称点B＇作直线A B＇，与l交点即为P． 2

图形 原理 三角形任意两边之差小于第三边．PA?PB≤AB＇． 在直线l上求一点P，使PA?PB最大值＝AB＇． PA?PB的值最大．

【精品练习】

1．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）

A．23 B．26 C．3 D．6

2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（ ）

A．2

B．23

AA P E

D

C

C．2?3

D D．4

CADBMNEMCANBCDB第2题 第3题 第4题 第5题

3．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小

时，∠AMN+∠ANM的度数为（ ）

A．120° B．130° C．110° D．140°

4．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD

和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．

5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，点E在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重

合），且ED＝AE，则线段AE的取值范围是 ．

3

6．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别

在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________．

第6题 第7题

7．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B(63，0)．

OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA＋MN的最小值是______．

8．已知A（2，4）、B（4，2）．C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为 ，

此时 C、D两点的坐标分别为 ．

9．已知A（1，1）、B（4，2）．

（1）P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；

（2）P为x轴上一动点，求PA?PB的值最大时P点的坐标；

yABOxyBAOxy B A

O

（3）CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；

y

B

A

OCDxx 4

10．点C为∠AOB内一点．

（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；

（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE5

ACOB的度数．

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