电路教案第14章 线性动态电路的复频域分析

本章重点：

(1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质

(2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念

(4) 网络函数的极点和零点

14.1 拉普拉斯变换的定义

1. 拉氏变换法

拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。 2. 拉氏变换的定义

定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：

F(s) 0 f(t)e stdt 正变换

1c j st

反变换 f(t) c j F(s)eds

2πj

简写 F(s) L f(t) ， f(t) L-1 F(s) S: 复频率，s j

注意：

积分域：0 ：积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 0+：积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。 今后讨论的均为0 拉氏变换。

F(s) 0 f(t)e stdt 0 f(t)e stdt 0 f(t)e stdt

（[0 ,0＋]区间f (t) = (t) 时，此项 0）

象函数F(s) 存在的条件： 0 f(t)e stdt

如果存在有限常数M和 c 使函数 f(t) 满足：f(t) Mect t [0, )，即：

M

s c

则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。

象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)；原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。

3.典型函数的拉氏变换

st (s c)t

dt 0 f(t)dt 0 Me

变换公式：F(s) 0 f(t)edt

st

(1)单位阶跃函数f(t) (t)的象函数

1 st 1

F(s) L[ (t)] (t)edt edt e

0 ss

0

st

0

st

(2)单位冲激函数f(t) (t)的象函数

F(s) L[ (t)] 0 (t) e stdt 0 (t)e stdt e s0 1

(3)指数函数f(t) eat的象函数

F(s) Leat 0 eate stdt

1 (s a)t 1

e

0 s as a

14.2 拉普拉斯变换的基本性质

1.线性性质

若 L[f1(t)] F1(s) , L[f2(t)] F2(s) ，

则 L A1f1(t) A2f2(t) A1L f1(t) A2L f2(t) A1F1(s) A2F2(s) 证明： L A1f1(t) A2f2(t) 0 A1f1(t) A2f2(t) e stdt

0 A1f1(t)e stdt 0 A2f2(t)e stdt A1F1(s) A2F2(s)

结论：

根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。

例： 求: f(t) K(1 e at)的象函数 解：F(s) L[K]- LKe at

KKaK-

ss as(s a)

例： 求: f(t) sin( t)的象函数

1 1 11

解：F(s) L sin(ωt) L (ej t e j t) 22

2j 2j s j s j s 2. 微分性质

df(t)

若： L f(t) F(s),则： L sF(s) f(0 ) dt

df(t) df(t) st st st

L 0 dt 0 edf(t) ef(t) 0 f(t)( se st)dt 0 dt证明： dt

f(0 ) sF(s) 若 足够大，则无穷大时，趋于零。

例：利用导数性质求下列函数的象函数

(1) f(t) cos( t)的象函数 解：

dsin( t)dt cos( t)，cos( t) 1d(sin t)

dt

L[cos t] L 1d 1

s dt(sin( t) ss2 2 0

s2 2

(2) f(t) δ( t)的象函数

解： (t)

d (t)dt，L[ (t)] 1s L (t) L[d (t)dt] s1

s

0 1 推广：L[d2f(t)

dt2

] s[sF(s) f(0 )] f'(0 ) s2F(s) sf(0 ) f'(0 ) L[dnf(t)dt

n

] snF(s) sn 1f(0 ) fn 1

(0 ) 3.积分性质

若： L[f(t)] F(s)，则：

L[ t

] 10 f( )d s

F(s) 证明：令 L[ t

dt 0 f(t)dt] (s)，则：L[f(t)] L dt 0 f(t)dt

F(s) s (s) t

0 f(t)dtt 0 （由于f(t)有界，则第二项为零） (s)

F(s)

s

例： 求: f(t) t ( t)和f(t) t2 (t)的象函数

解：L t (t) L[ dt] 1112s s 2t

0 (t)s2，L[t (t)] L[2 0tdt] s

3

4.延迟性质

若： L[f(t)] F(s)，则： L[f(t t0) (t t st0)] e0F(s) 证明：L f(t t

0) (t t0) 0 f(t t0) (t t0)e stdt

t0f(t t0)e stdt 令 t t0

( t0)

s 0 f( )e

sd e st0

0 f( )ed

e st0F(s) （e st0 延迟因子）

例：求矩形脉冲的象函数

解：矩形脉冲的原函数为f(t) (t) (t T)

11

根据延迟性质：F(s) e sT

ss

例：求三角波的象函数

解：三角波的原函数为：f(t) t[ (t) (t T)]

对原函数进行变换：f(t) t (t) (t T) (t T) T (t T)

11 sTT sT

2e e 2

sss

例：求周期函数的拉氏变换

则：F(s)

解：设f1(t)为一个周期的函数(单周期函数)，且L[f1(t)] F1(s)

f(t) f1(t) f1(t T) (t T) f1(t 2T) (t 2T)

L[f(t)] F1(s) e sTF1(s) e 2sTF1(s)

F1(s)[1 e sT e 2sT e 3sT ]

1

F1(s) sT

1 e

5.拉普拉斯的卷积定理

1

F1(s)

1 e sT

即： L[f(t)]

若： L[f1(t)] F1(s) L[f2(t)] F2(s)

则： L[f1(t) f2(t)] L 0f1(t )f2( )d F1(s)F2(s)

stt证明：L[f1(t) f2(t)] 0e 0f1(t )f2( ) d dt

t

0e st

f(t ) (t )f( ) d dt 令 x t ，得：

01

2

0 0f1(x) (x)f2( )e s e sx d dx

0f1(x) (x)e sxdx 0f2( )e s d F1(s)F2(s)

14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开

用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。

由象函数求原函数的方法：

(1)利用公式f(t)

1c j st

c j F(s)eds

2πj

(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合（部分分式展开法）

F(s) F1(s) F2(s) Fn(s) → f(t) f1(t) f2(t) fn(t)

设象函数的一般形式为：F(s) N(s)a0sm am 11s am

D(s) b1(n m)

0sn b1sn bn(1) 若D(s) 0有n个单根分别为p1 pn，利用部分分式可将F(s)分解为：

F(s)

K1K2Kns p

→ f(t) Kptptpt

1e1 K2e2 Knen 1s p2s pn

待定常数Ki的确定：

方法1：Ki F(s)(s pi)s pi i 1

、2、3 、n 原因：(s pK K2Kn

1)F(s) 1 (s p1) （注意：s-p

s p i=0） 2s pn 方法2：求极限的方法K limN(s)(s pi)N'(s)(s pi) N(s)

is p lim

iD(s)s piD'(s)例：求 F(s)

4s 5

s2

5s 6

的原函数 解法1：F(s) 4s 5s2

5s 6 K1s 2 K

2s 3 K4s 51 s 3S 2 3，K4s 5

2 s 2

s 3 7

解法2：KN(p1)4s 5

(p2)1

D'(p

2

N 3

7

1)2s 5

s 2

3，KD'(p

4s 5

2)2s 5

s f(t) 3e 2t (t) 7e 3t (t)

(2) 若 D(s) 0 具有共轭复根

p1 j

p 2

j F(s)

N(s) N(s)(s j )(s j )D K1 K2 N1(s)

D(s) 1(s)s j s j D1(s)

KN(s)

1，2 F(s)(s j ) s j

D (s) （K1、K2也是一对共轭复数）s j

设：Kj 1 Ke K2 Ke-j

则：f(t) (K j )t1e( K( j )t2e) f1(t)

(Kej e( j )t Ke j e( j )t) f1(t) Ke t[ej( t ) e j( t )] f1(t) 2Ke tcos( t ) f1(t) 例：求 F(s)

s 3

的原函数f(t)

s2 2s 5

解：s2 2s 5 0 的根：p1,2 1 j2 K1

s

s ( 1 2j)s

s ( 1 2j)

0.5 j0.5 0.52 45

N(s)s

D'(s)2s 2

s 1 j2

K2

s 1 j2

0.52 45 或：K1

s 1 j2

0.52 45

f(t) 2e tcos(2t 45 )

a0sm a1sm 1 am

，即F(s) (3) 若 D(s) 0 具有重根 n

(s p1)

F(s)

K1n 1K1nK11K12

2n 1n

s p1(s p1)(s p1)(s p1)

K1n [(s p1)nF(s)]s p1

K1n 1 [

……

d

(s p1)nF(s)]s p1 ds

1 dn 1n

K11 (s p)F(s)1 s p1 n 1

(n 1)!ds 例：求：F(s)

s 4

的原函数 f(t)

s(s 1)2

解：F(s)

s 4K1K21K22

22

s(s 1)(s 1)s(s 1)

4，K22

s 4

s

3，

K1

K21

s 4(s 1)2

s 0s 1

dds 4[(s 1)2F(s)]s 1 []s 1 4 dsdss

f(t) 4 4e t 3te t

可见，由F(s)求f(t) 的步骤可归纳为：

1. n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和F(s) A 2. 求真分式分母的根，将真分式展开成部分分式：

F(s) A

KnK1K2

s p1s p2s pn

N0(s)

D(s)

3. 求各部分分式的系数

4. 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换

s2 9s 11

的原函数 例：求：F(s) 2

s 5s 6

4s 5 37s2 9s 11

1 2 1 解：F(s) 2

s 5s 6s 2s 3s 5s 6

f(t) (t) (7e 3t 3e 2t)

14.4 运算电路

1.基尔霍夫定律的运算形式

基尔霍夫定律的时域表示： i(t) 0， u(t) 0

根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运算形式： I(s) 0， U(s) 0 2.电路元件的运算形式

电阻R的运算形式。时域形式：u=Ri ；取拉氏变换：U(s) RI(s)或

I(s) GU(s)。元件特性：Z(s) R或Y(s) G

电感L的运算形式。时域形式：u L

di

；取拉氏变换：U(s) L(sI(s) i(0 )) dt

sLI(s) Li(0 )或I(s)

U(s)i(0 )

；元件特性：Z(s) sL或Y(s) sL（如上图） sLs

1t

0 i( ) d ；

取拉氏变换：C

电容C的运算形式。时域形式：u u(0 )

U(s)

u(0 )1

I(s) 或I(s) sCU(s) Cu(0 )；元件特性：Z(s) sC或Y(s) sC sCs

C的运算电路

di1di2 u L M1 1dtdt

耦合电感的运算形式. 时域形式： ；取拉氏变换：

didi u L2 M1

22 dtdt ZM(s) sM U1(s) sL1I1(s) L1i1(0 ) sMI2(s) Mi2(0 )；元件特性：

YM(s) sM U2(s) sL2I2(s) L2i2(0 ) sMI1(s) Mi1(0 )

耦合电感的运算电路

受控源的运算形式。时域形式：

受控源的运算电路

RLC串联电路的运算形式。

若：uc(0 ) 0 iL(0 ) 0

di1t

icdtdtC0

i1 u1/Ri2 i1

；取拉氏变换：

I1(s) U1(s)/RI2(s) I1(s)

；

时域形式：u iR L

拉氏变换电路：U(s) I(s)R sLI(s)

11I(s)

I(s)(R sL ) I(s)Z(s)；元件等sCsC

效：Z(s)

11

。 R sL

Y(s)sC

若：uc(0 ) 0 iL(0 ) 0

uC(0 )1

I(s) 有：U(s) I(s)R sLI(s) Li(0 ) sCs

整理：(R sL

uC(0 )1

)I(s) Z(s)I(s) U(s) Li(0 ) sCs

小结电路的运算形式：

1. 电压、电流用象函数形式；

2. 元件用运算阻抗或运算导纳表示；

3. 电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。 例：给出图示电路的运算电路模型。

解：t=0 时开关打开，uc(0-)=25V；iL(0-)=5A。

（注意附加50V电源支路）

14.5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路

1. 运算法的计算步骤

由换路前的电路计算uc(0-) , iL(0-) ；

画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用； 应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数； 反变换求原函数。

例：电路原处于稳态，t =0 时开关闭合，试用运算法求电流 i(t)。 解：(1) 计算初值：uc(0 ) 1V， iL(0 ) 0。 (2) 画运算电路：sL 1s， (3) 应用回路电流法：

111 sCs 1s

111u(0)

(1 s )I1(s) I2(s) C 0

ssss

u(0)111

-I1(s) (1 )I2(s) C ssss

I1(s) I(s)

1

s(s2 2s 2)

(4)反变换求原函数

D(s) 0有3个根: p1 0，p2 1 j，p3 1 j

I(s)

K3K1K2

ss 1 j(s 1 j)

11，K2 I(s)(s 1 j)s 1 j ， 22(1 j)

K1 I(s)s

s 0

K3 I(s)(s 1 j)s 1 j

1

2(1 j)

I(s)

122(1 j)2(1 j) 1 t t

； LI(s) i(t) (1 ecost esint)

2ss 1 j(s 1 j)

例2：图示电路，is (t),uc(0 ) 0，求uC(t)、iC(t)。 解：画运算电路

例3.t = 0时打开开关 ,求电感电流和电压。

解：计算初值：i1(0 ) 5A,i2(0 ) 0

10 1.5 画运算电路：I1(s)

5 0.4s

21.7510 1.5s25 3.75s

ss 12.5(5 0.4s)s(s 12.5)s

则：i1 2 1.75e 12.5t i2

注意：i1(0 ) i1(0 )，i2(0 ) i2(0 )

6.56

0.375，即：uL1(t) 0.375 (t) 6.56e 12.5t

s 12.52.19

，即：uL2(t) 0.375UL2(s) 0.1sI(s) 0.375 (t) 2.19e 12.5t

s 12.5

注意：

由于拉氏变换中用0- 初始条件，跃变情况自动包含在响应中，故不需先求 t =0+时的跃变值。

两个电感电压中的冲击部分大小相同而方向相反，故整个回路中无冲击电压。 满足磁链守恒。

0.3750.3 5 0.375

3.75A；i1(0 ) 3.75A L ，如上例，i2(0 ) i2(0 )

i0.10.3

UL1(s) 0.3sI1(s) 1.5

L1i1(0 ) L2i2(0 ) (L1 L2)i(0 )，0.3 5 0 0.4 3.75

14.6 网络函数的定义

1. 网络函数H（s）的定义

线性线性时不变网络在单一电源激励下，其零状态响应的像函数与激励的像函数之比定义为该电路的网络函数H(s)。

H(s)

def

L 零状态响应 L r(t) R(s)

E(s) L 激励函数 L e(t）

注意：

由于激励E(s)可以是电压源或电流源，响应R(s)可以是电压或电流，故 s 域网络函数可以是驱动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压转移函数或电流转移函数。

若E(s)=1，响应R(s)=H(s)，即网络函数是该响应的像函数。网络函数的原函数是电路的冲激响应 h(t)。

2.网络函数的应用

由网络函数求取任意激励的零状态响应

H(s)

R(s)

→ R(s) H(s)E(s) E(s)

例：图示电路，is(t) (t)，响应为u1、u2，求阶跃响应S1(t)、S2(t) 解：画运算电路

U(s)14s 4

H1(s) 1 2

IS(s)s 5s 6 1 s2 2s

H2(s)

U1(s)2sU1(s)4s

2

IS(s)2 2ss 5s 6

4s 4

2

s(s 5s 6)

U1(s) H1(s)IS(s) S1(t)

28

2e 2t e 3t 33

U2(s) H2(s)IS(s)

4s

s(s2 5s 6)

S2(t) 4e 2t 4e 3t

3. 应用卷积定理求电路响应

R(s) H(s)E(s)

r(t) L 1 E(s)H(s) e(t)*h(t) e(t )h( )d e( )h(t )d

t

t

可以通过求网络函数H(s)

与任意激励的象函数

E

(s)之积的拉氏反变换求得该网络在任何激励下的零状态响应 。

14.7 网络函数的极点和零点

1. 极点和零点

(s zi)N(s)H0(s z1)(s z2) (s zm) 1

H0in H(s)

D(s)(s p1)(s p2) (s pn) (s zj)

j 1m

当 s =zi 时，H(s)=0，称 zi为零点，zi为重根，称为重零点；

当 s =pj 时，H(s)→∞，称 pj为极点，pj为重根，称为重极点； 2. 复平面（或s 平面）

由于s j ，则zi ，Pj为复数，在复平面上把 H(s) 的极点用‘ ’表示 ，零点用‘ o ’表示。

2s2 12s 16

例：H(s) 3，绘出其极零点图。

s 4s2 6s 3

解：N(s) 2s2 12s 16 2(s 2)(s 4) H(s)的零点为： z1 2，z2 4

D(s) s 4s 6s 3 (s 1)(s

3

2

3333

j)(s j) 2222

3 p1 1，p2,3 j H(s)的极点为：

22

14.8 极点、零点与冲激响应

1. 网络函数与冲击响应

R(s) H(s)E(s)

当 e(t) (t) 时，E(s) 1

R(s) H(s) r(t) h(t) L 1H(s)，h(t)称为冲击响应。 可见：H(s) 和冲激响应构成一对拉氏变换对。

2. 极点、零点与冲激响应

若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络的冲激响应为：

nKi

] Kiepit h(t) L[H(s)] L[

i 1s pii 1

1 1

n

注意：极点位置不同，响应性质不同，极点反映网络响应动态过程中自由分量的变

化规律。

当pi为负实根时，h(t)为衰减的指数函数，当pi为正实根时，h(t)为增长的指数函数；

当pi为共轭复数时，h(t)为衰减或增长的正弦函数；

当pi为虚根时，h(t)为纯正弦函数，当Pi为零时，h(t)为实数；

注意：一个实际的线性电路是稳定电路，其网络函数的极点一定位于左半平面。根据极点分布情况和激励变化规律可以预见时域响应的全部特点。

14.9 极点、零点与频率响应

令网络函数H(s)中复频率s =j ，分析H(j )随 变化的特性，根据网络函数零、极点的分布可以确定正弦输入时的频率响应。

对于某一固定的角频率 ，H(j ) H0

m

(j zi) (j pj)

j 1i 1n

m

H(j )ej

幅频特性：H(j ) H0

(j zi) (j pj)

j 1

m

i 1n

n

相频特性： arg H(j ) arg(j zi) arg(j pj)

i 1

j 1

例：定性分析RC串联电路以电压uC为输出时电路的频率响应。 解：H(s)

UC(s)

US(s)

1 H(s)

R s

sCRC

11

, s j 一个极点：s ，设 H0

RCRC

H(j ) H(j )

1H0H0

j 1/RCj p1H0

（如右图） j

Me

H(j )

H0

H(j ) (j )

j 1/RC

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k8qi.html