2017年第22届华杯赛初赛模拟试题(2)（小高组）（雷红灯）-T版

名师堂学校“阶梯数学”出品 2017年第22届华罗庚金杯少年数学邀请赛

初赛模拟试题（2） （小学高年级组）

一、选择题。（每小题10分，四个选项仅有一个结论正确，请将正确答案的字母填在圆括号中）

1. 甲、乙两个小朋友，在一条环形路上跑步，同时从同地出发反向跑，已知甲小朋友的速度是每秒5米，

乙小朋友的速度是每秒7米，在14分钟内，他们相遇了21次，则环形路长（）米。 A．480B．510C．450D．620 【考点】行程问题 【难度】★★ 【答案】A

【解析】设环形路长为M米，则甲、乙相遇1次所需时间是：此,M=480.

2. 有一种计时方法，将一天分为十二个时辰。在1729人中，至少有（）人出生在同一个月、同一个时辰，

且有相同的生肖。 A．4B．3C．2D．5 【考点】抽屉原理 【难度】★★ 【答案】C

【解析】因为1729=12×12×12+1，所以，至少2人出生在同一个月、同一个时辰，且有相同的生肖。

C

3. 图FI－10中，AB=5厘米，

D A．4B．3C．2D．5 【考点】几何 【难度】★★ 【答案】D

【解析】因为∠ABC=85°，∠ACB=45°，∠DBC=20°，所以，∠ABD=85°-20°=65°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=20°+45°=65°。得到AD=AB=5（厘米）。

4. 甲、乙、丙，三只蚂蚁同时从点A出发，沿着三角形ABC的三条边，AB，BC，CA行进，甲在AB，BC CA

1

MMM=（秒），所以14×60÷=21，因5?71212A B

依次每分钟分别走36厘米，30厘米，45厘米，乙依次每分钟分别走45厘米，45厘米，30厘米，丙依次每分钟分别走30厘米，60厘米，36厘米，如果三者同时回到点A，那么

【解析】设三边长分别为c，a，b则

cabcabcab????????， 363045454530306036整理得a:b:c=3:4:5,所以∠ABC的度数是90度。

5. 如图，ABCD是一个边长为30厘米的正方形，E为CD的中点，AE和BD的交点为F，AC和BE的交点为G，

AC和BD的交点为O，则阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 A.125 B.90 C.75 D.60 【考点】几何 【难度】★★★ 【答案】C

【解析】在四边形ABED中，由共边定理，可知

F D E

A O G C B

S?ABFS?BEF ?S?ADFS?DEF因为E是CD的中点，因此，

11?302?S?ADF?302?S?DEF2?4，

S?ADFS?DEF可以得到：

EFS?DEF1??。又有DE：AB=1：2，所以，三角形DEF的面积是三角形ADE面积的三分之一。AFS?ADF2三角形ADE的面积=30×30÷4=225（平方厘米），三角形DEF的面积=225÷3=75（平方厘米）。同理，三角形 ECG的面积也是75平方厘米，阴影部分的面积是正方形面积的四分之一减去三角形DEF与三角形ECG的面积和为，即为：30×30÷4－（75+75）=75（平方厘米）。 6. 养鸡场购进一批种蛋，若能全部孵化成小鸡，则有2

种蛋的孵化率是（）%（百分数分子保留一位小数） A．64.3 B．63.3 C．50 D．70

2

11倍的收益，但是实际所得收益仅为1倍。这批24【考点】百分数应用题 【难度】★★★ 【答案】A

【解析】解法一：这一批鸡蛋的孵化收益损失2所以这批种蛋的孵化率是：

11111?1?1；若是全部孵化失败，则要损失2?1?3，2442211?9??1?1?3??100%??100%?64.3%。

42?14?解法二：假设每个种蛋的成本价为1元，100个种蛋总成本价100元。又设100个种蛋有S个孵化出来，则孵化出后可卖S?2 二、填空题

7. 将一个五边形沿一条直线切成两部分，其中之一再沿一条直线切成两部分，然后再沿一条直线将三部分

之一切成两部分，??如此下去，要得到20个五边形，最少要切（ ）次。 【考点】最值问题 【难度】★★★ 【答案】38

【解析】一个多边形被分成两部分，其内角和增加360°，切k次共增加的度数为k×360°，所以这（k+1）个多边形的度数和是k×360°+540°。另一方面，20个五边形的度数和为20×540°，剩余的（k－19）×180°+20×540°≤k×360°+540°，整理得k≥38。当k=38时，可以先将五边形切成一个五边形和一个四边形，然后用18次讲四边形分成19个四边形，再用19次将每个四边形切成五边形，这样就用38次将其切成了20个五边形。

8. 计算281

91?1??1?因此这批种蛋的孵化率是×100%=64.3%。 ?1?元。于是S?2?1??100?1?1，14224????111294155＋365＋704－184－160－553=（）

20304261256【考点】计算问题 【难度】★★ 【答案】450.375

111111????? 61220304256111111????? =450+ 2?33?44?55?66?77?8【解析】原式=281+365+704-185－161－554+

3

=450+??11??11??11??11??11??11??????????????????????? 23??34??45??56??67??78?? =450+0.375 =450.375

9. 某人沿公路从甲地到乙地，三分之一路程骑自行车，三分之二路程跑步，从乙地返回甲地时，三分之二

路程骑车，三分之一路程跑步，骑自行车的速度是每小时18千米，步行速度是每小时8千米，而且从甲地去乙地比乙地返回甲地多用4.5小时，甲地到乙地的距离是（ ）千米。 【考点】行程问题 【难度】★★★ 【答案】194.4

【解析】设甲地和乙地之间的距离为S千米，于是，

S2S2SS3?3?3?3?4.5， 188188S2S2SS????4.5， 化简得：

54245424SS??4.5， 2454 S=194.4 10. 已知整数ab满足等式【考点】数论 【难度】★★★ 【答案】48

【解析】解法一：因数分解2016=14×12.因此，只要考虑满足

2

111＋=，则a=（）。 2b2016a111的正整数a1，b1就可以了。为??2b114a此，考虑恒等式：

n?11?mn?1?m????????，

?m?nm?n?14m?n?1414?14可以任取m，n为14的因数，且（m，n）=1，即可得解。因此正整数对（m,n）可取（1，2），（1，7），（1，14），（2，7）这4组，其中只有（1，7）对应我们要求的解。因为

11?17?1?11?1111 ????????????2141?7?1414?8?142?161124112从而原来的方程的解就是：

4

a=4×12=48，即a=48.

解法二：设a=dm，b=dn，这里（m，n）=1.则有：

2

2222

11n?m1??? dmdndmn2016因为（m,m+n）=1，（n,m+n）=1，可再设d=k（m+n），则有： a=k（m+n）m，b=k（m+n）n，kmn=2016.

2

?m?n?5252a=k（m+n）m=km+2016=??×2×3×7，这里m,n丨2×3×7。

?n?2

2

2上述式子表示要寻找m，n，使??m?n?52

?×2×3×7是完全平方数。

?n?（1）当n=1时，??m?n?5252

?×2×3×7=（m+1）×2×3×7，m无解；

?n??m?n?525222

?×2×3×7=（m+7）×2×3，m=1，此时，a=48；

?n??m?n?52k52-k

?×2×3×7=（m+7×3）×2×3，

?n?p

k

（2）当n=7时，?（3）当n=7×3（k=1，2）时，?p

k

m=2（p=0，1，2，3，4，5），显然，（2+7×3）无因子2，m无解； （4）当n=7×2（p=1，2，3，4，5）时，?无解；

（5）当n=2×3（k=0，1，2；p=0，1，2，3，4，5；p+k≠0）时，

p

kp

?m?n?52kp5-p2

?×2×3×7=（3+7×2）×2×3不是完全平方数，即m

?n??m?n?52kp5-p2-kk??×2×3×7=（7+3×2）×2×3×7，7+3无因子7，m无解； ?n?（6）当n=7×2×3（k=1，2；p=1，2，3，4，5）时，m=1

p

k

?m?n?52kp5-p2-k5-p2-kkp

（1+7×3×2）×2×3，当2×3是完全平方数时，1+7×3×2不是完全平方数，??×2×3×7=

?n?当2×3不是完全平方数时，1+7×3×2无因子2和3.

5-p

2-k

k

p

献题老师简介

5

雷红灯

名师堂小学数学教师，6年教龄

◆“三杯赛”优秀教练,名师堂竞赛项目组副组长 ◆《竞赛培优教程》教材编写核心成员 ◆教学宗旨：细心 耐心 恒心 ◆授课校区：新都

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