题型三 由数列的前n项和Sn与通项an的关系求通项an

题型三 由数列的前n项和Sn与通项an的关系求通项an

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1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0 (n≥2)，a1＝. 2

?1?

(1)求证：?S?为等差数列；

?n?(2)求an的表达式．

2．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足：10Sn＝a2n＋5an＋6，且a1，a3，a15成等比数列．

(1)证明：数列{an}是等差数列，并求出其通项an；

2m

(2)设bn＝，Mn是数列{bn}的前n项和，求使得Mn<对所有的n∈N*都成立的实

20an·an＋1

数m的取值范围．

1

答案

1．(1)证明 ∵an＝Sn－Sn－1 (n≥2)， an＋2Sn·Sn－1＝0 (n≥2)，

∴Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0.

11

∵Sn≠0，∴－＝2 (n≥2)．

SnSn－1

?1?11

由等差数列的定义，可知?S?是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．

S1a1?n?

11

(2)解 方法一 由(1)，知＝＋(n－1)d

SnS1

1

＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝. 2n

1

当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－；

2n(n－1)

1

当n＝1，a1＝，不满足上式，

21

(n＝1)，2

故an＝

1－ (n≥2).2n(n－1)

11

方法二 由(1)，知＝＋(n－1)d

SnS1

1

＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝. 2n111

当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝－＝－，

2n2(n－1)2n(n－1)

1

当n＝1时，a1＝，不满足上式，

2

1

(n＝1)，2

故an＝

1－ (n≥2).2n(n－1)

???

???

2．(1)证明 ∵10Sn＝a2n＋5an＋6，① ∴10a1＝a21＋5a1＋6，解之得a1＝2或a1＝3. 又10Sn－1＝a2n－1＋5an－1＋6 (n≥2)②

2由①－②得10an＝(a2n－an－1)＋5(an－an－1)，

即(an＋an－1)(an－an－1－5)＝0. ∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝5 (n≥2)， ∴数列{an}是等差数列．

当a1＝3时，a3＝13，a15＝73，a1，a3，a15不成等比数列， ∴a1≠3.

当a1＝2时，a3＝12，a15＝72，a1，a3，a15成等比数列， ∴a1＝2.∴an＝5n－3.

(2)由(1)，得an＝5n－3，所以有：

22bn＝＝

an·an＋1(5n－3)·[5(n＋1)－3]

2

2

(5n－3)·(5n＋2)

121

＝?5n－3－5n＋2? 5??＝

∴Mn＝b1＋b2＋…＋bn

11?211??11?

－－＋－＋…＋?＝[?5?27??712??5n－35n＋2?]

1211

＝?2－5n＋2?<. 5??5

mm1

为使Mn<对所有的n∈N*都成立，必须且只须≥，得m≥4，即实数m的取值范围

20205是m≥4.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k8k6.html