江苏省宿迁市2015-2016学年高二下学期期末考试数学（文）试题

宿迁市2015-2016学年高二下学期期末考试

数学（文科）

（考试时间120分钟，试卷满分160分)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题．．卡相应位置上． ．．．．．．

1．若集合A???3,0,1,2?，B???1,0,2?，则A?B= ▲ ．

2．写出命题“?x?R，使得x2?0”的否定： ▲ ．

3．设复数z满足z?i??1?5i（i为虚数单位），则复数z在复平面内所表示的点位于

第 ▲ 象限．

2)，则函数f(x)的解析式为 ▲ ． 4．已知幂函数f(x)的图象过点(2,25．“x?1”是“x?x”成立的 ▲ 条件． (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

x≥4,?x?3,6．已知函数f(x)??，则f(?1)的值为 ▲ ．

f(x?2),x?4?7．已知函数f(x)?log3x?x?5的零点x0?(a,a?1)，则整数a的值为 ▲ ．

8．已知函数y?f(x)是定义在R上的奇函数，当x?(0,2)时，f(x)?lnx?x2?1，则当x?(?2,0)时，

函数f(x)的表达式为 ▲ ．

9．已知曲线C：y?x?2x?1，则曲线C在x?1处的切线方程为 ▲ ． 10．函数y?xx?3的单调减区间为 ▲ ． 11．计算eln3322?log525?(0.125)?23的结果为 ▲ ．

，

1?2m)?f(m)12．已知函数f(x)是定义在??3,3?上的偶函数，且在区间??3,0?上是单调增函数，若f(则实数m的取值范围是 ▲ ．

13．已知函数f(x)的导函数为f?(x)?ax(x?2)(x?a)(a?0)，若函数f(x)在x??2处取到极小值，则实

数a的取值范围是 ▲ ． 14．观察下列等式：

12?132?2?3?4 52?3?4?5?6?772?4?5?6?7?8?9?1092?5?6?7?8?9?10?11?12?13

?

以上等式右侧中，1出现1次，2出现1次，3出现2次，4出现3次，?，则2016出现的次数为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，15-17题每小题14分，18-20题每小题16分，共计90分．请在答题卡指．．．．定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．．

15．已知z是复数，若z?i为实数，z?2为纯虚数． （1）求复数z；

z2?z

（2）求．

1?i

216．已知命题p：函数f(x)??x在区间???,1?上是单调增函数；命题q：函数?4ax?32g(x)?lgx(?范围．

R，如果命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值2ax?的定义域为a)

17．设等差数列?an?前n项和为Sn，公差d?0． （1）若a1?1，且数列??Sn??是等差数列，求数列?an?的通项公式； ?an? （2）证明：1,3,2不可能是等差数列?an?中的三项．

18．某工厂生产A,B两种产品所得利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与投入资金t41332t?t，Q?t，今将50万元资金投入经营A,B两30001005种产品，其中对A种产品投资为x（单位：万元），设经营A,B两种产品的利润和为总利润y（单位：万元）．

（1）试建立y关于x的函数关系式，并指出函数的定义域；

（单位：万元）的关系有经验公式P??

（2）当x为多少时，总利润最大，并求出最大利润．

19．已知函数f(x)?x2?ax?1，g(x)?4x?4?2x?a，其中a?R． （1）当a?0时，求函数g(x)的值域；

（2）若对任意x?[0,2]，均有f(x)≤2，求a的取值范围；

?f(x),x?a,7（3）当a?0时，设h(x)??，若h(x)的最小值为?，求实数a的值．

2?g(x),x≤a

20．已知函数f(x)?ax2?xlnx?1，a?R，其中e是自然对数的底数． （1）当a?0时，求函数f(x)的极值；

（2）若f(x)在区间[1,5]上为单调函数，求a的取值范围； （3）当a??e时，试判断方程f(x)?1?lnx?3x是否有实数解，并说明理由． 2

宿迁市2015~2016学年度第二学期高二年级期末调研测试

文科数学参考答案及评分标准

一、填空题：

1．?0,2?； 2．?x?R，x2≥0； 3．一 ； 4．f(x)?x?2

1

5．充分不必要 6．2 7．3 8． f(x)??ln(?x)?x2?1

3?1?9．7x?y?3?0 10．(,3) 11．11 12．??1,???1,2?

3?2?13．a??2或a?0 14． 1344 二、解答题：

15．(1)设z?x?yi(x,y?R) ??????????1分

因为z?i?x?(y?1)i为实数，所以y?1?0，所以y??1， ??????3分 又因为z?2?(x?2)?i为纯虚数，所以x?2?0，所以x?2， ????? 6分 所以 z?2?i ， ????? 7分

z2?z(3?4i)?(2?i)(1?3i)(1?i)(2)因为????1?2i， ????? 11分

1?i1?i(1?i)(1?i)z2?z??1?2i?(?1)2?(?2)2?5． ????? 14分 所以

1?i16．因为函数f(x)??x2?4ax?3在区间???,1?上是单调增函数,

所以对称轴方程x??4a1≥1，所以a≥， ?????????3分

2?(?1)22又因为函数g(x)?lg(x?2ax?a)的定义域为R，

所以??(2a)2?4a?0，解得0?a?1， ???????????6分 又因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以命题p,q一真一假， ?????8分

?a≤0或a≥1?0?a?1??所以?或?1， ?????12分 1a?a≥???2?2所以a≥1或0?a?1， 2??1所以实数a的取值范围是?a0?a?,或a≥1?． ?????14分

2??17．（1）因为数列?所以

S2S1S3?Sn?2g??， ????2分 是等差数列，所以?aa1a32?an?2(2?d)3?3d2(2?d)4?5d?1??， 即， ????4分

1?d1?2d1?d1?2d化简得d2?d?0, 因为d?0，所以d?1． ????5分

所以an?1?(n?1)?1?n． ?????????????6分 （2）证明：假设1,3,2分别为等差数列?an?中第m,n,r项， ????7分

?1?a1?(m?1)d?则有 ?3?a1?(n?1)d? ????10分

????2?a?(r?1)d1?解得3?1?n?m， ????12分 r?m因为m,n,r为正整数，所以上式左端为无理数，右端为有理数，故等式不能成立， ??????????13分 因此，假设不成立，所以1,3,2不可能为等差数列?an?中的三项．?????14分 18．（1）由题意知，对A种产品投资为x时，B种产品投资为50?x，

1332A种产品所得利润P??x?x

30001004B种产品所得利润Q?(50?x) ?????????????????2分

513324x?x?(50?x) ???????????????5分 所以y?P?Q??30001005其中定义域是?x|0≤x≤50? ???????????????6分 （2）由（1）知y??13324x?x?(50?x)，?x|0≤x≤50? 3000100512641x?x???(x2?60x?800) ?????8分 100010051000令f?(x)?0，所以x?20或x?40 ???????????9分 令y?f(x)所以f?(x)??当x??0,20?时，f?(x)?0，函数y?f(x)在?0,20?上是减函数，???????10分 当x?(20,40)时，f?(x)?0，函数y?f(x)在(20,40)上是增函数，?????11分 当x??40,50?时，f?(x)?0，函数y?f(x)在?40,50?上是减函数，?????12分 所以当x?40时，函数y?f(x)取极大值又因为f(0)?40?

104 ????13分 3104

??????14分 3

13324x?x?(50?x)取最大值40 ????15分 30001005所以当x?0时，函数y??答：当x?0时，总利润最大，最大利润40万元． ???????????16分 19．（1）当a?0时，g(x)?(2x?2)2?4，?????????????????2分 因为2x?0，

所以g(x)≥g(2)??4，g(x)的值域为[?4,??) ??????????4分 （2）若x?0，a?R

若x?(0,2]时，f(x)≤2可化为?2≤x2?ax?1≤2 ??????????6分

13即x2?1≤ax≤x2?3，所以x?≤a≤x? ????7分

xx因为y?x?113在(0,2]为递增函数，所以函数y?x?的最大值为，????8分

2xx ????9分

333因为x?≥2x??23（当且仅当x?，即x?3取“=”）

xxx3所以a的取值范围是a?[,23]． ??????????10分

2?f(x),x?a, （3）因为h(x)??g(x),x≤a?当x≤a时，h(x)?4x?4?2x?a， ????11分 令t?2x，t?(0,2a]，则p(t)?t?a当x≤a时，即2≤24224t?(t?)?a， 2a2a42a ????12分 a，p(t)?[4?4,0)；22a2a2当x?a时，h(x)?x?ax?1，即h(x)?(x?)?1?，

24aa2因为a?0，所以?a， h(x)?[1?,??)． ????14分

4217a2157a??? ， 若4?4??，a??，此时1?4162227a27a?32?4??， ??，即a??32，此时4?4?4若1?242所以实数a??1． ????16分 220．（1）当a?0时，因为f(x)?xlnx?1,所以f?(x)?lnx?1,

令f?(x)?lnx?1?0，解得x0?1 ????2分 e当x?(0,)时，f?(x)?0，函数f(x)是单调递减函数， 当x?(,??)??，f?(x)?0，函数f(x)是单调递增函数， 所以当x?1e1e111f(x)f()???1．?????????3分 时，函数有极小值，即

eee 函数f(x)无极大值． ???????????????????????4分 （2）若函数在区间[1,5]上是单调函数，

则f?(x)?2ax?lnx?1≥0恒成立，或f?(x)?2ax?lnx?1≤0恒成立，???5分

当f?(x)?2ax?lnx?1≥0恒成立时，

lnx?1恒成立， xlnx?1lnx令h(x)??，h?(x)?2，

xx即2a≥?当x??1,5?? h?(x)?0，函数h(x)是单调递增函数，

ln5?1， ????7分 10lnx?1当f?(x)?2ax?lnx?1≤0恒成立时，即2a≤?，

x即a≥?1由上可知2a≤f(1)??1，即a≤?， ????9分

2综上，a????,??U??2??1???ln5?1?,??? ????10分 10??（3）因为f(x)??ex2?xlnx?1，

所以?ex?xlnx?lnx?23lnx3x，即?ex?lnx?? ????11分 2x211，令p?(x)?0，即x?，

ex令p(x)??ex?lnx，p?(x)??e?当x?(0,)??时，p?(x)?0，函数p(x)是单调递增函数， 当x?(,??)??时，p?(x)?0，函数p(x)是单调递减函数，

1e1e11时，p(x)取最大值，p()??1?1??2?0，所以p(x)?2．?13分 eelnx31?lnx?，q?(x)?令q(x)?，令q?(x)?0，即x?e， 2x2x所以当x?当x?(0,e)?时，q?(x)?0，函数q(x)是单调递增函数， 当x?(e,??)??时，q?(x)?0，函数q(x)单调递减函数， 所以当x?e时，q(x)取最大值，q(e)?所以方程f(x)?1?lnx?

13??2， ????15分 e23x无实根． ????16分 2

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