北京市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列

北京市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练

数 列

1、（2015年北京高考）设?an?是等差数列. 下列结论中正确的是

A.若a1?a2?0，则a2?a3?0 C.若0?a1?a2，则a2?

2、（14北京）若等差数列?an?满足a7?a8?a9?0，a7?a10?0，则当n?______时，?an?的前n项和最大.

3、（13北京）若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝__________；前n项和Sn＝__________.

4、（朝阳15届一模）设S n为等差数列

5、（东城15届二模）已知{an}为各项都是正数的等比数列，若a4?a8?4，则a5?a6?a7?

（A）4 （B）8 （C）16 （D）64

6、（丰台15届一模）在等比数列{an}中，a3?a4?4，a2?2，则公比q等于

(A) -2

2227、（海淀15届二模）若等比数列{an}满足a2a6?64，a3a4?32，则公比q?_____；a1?a2???an? ．

B.若a1?a3?0，则a1?a2?0 D.若a1?0，则(a2?a1)?a2?a3??0

a1a3

的前n 项和。若，则通项公式＝＿＿＿＿。

(B) 1或-2 (C) 1 (D)1或2

8、（石景山15届一模）等差数列?an?中，am?11,ak?(m?k)，则该数列前mk项之和为（ ） kmA．

mkmk?1mkmk?1 B．?1 C． D．22229、（西城015届一模）若数列an满足a1 ??－2，且对于任意的m, n?N，都有am?n?am?an?, 则a3?? ；

＊

数列?? an??? 前10 项的和S10 ?? .

10、（大兴15届期末）已知数列?an?为等差数列，若a1?a3?4，a2?a4?10，则?an?的前n项和Sn?_____．

11、（丰台15届期末）等差数列{an}的前n项和为Sn，如果a1?2，a3?a5?22，那么S3等于_____

12、（北京四中15届期中）在等差数列{an}中，已知a4?a8?16，则该数列前11项和S11＝ .

13、（东城示范校15届综合能力测试）数列?an?的前n项和记为Sn，若a1?则数列?an?的通项公式为an?_______________

14、（东城15届4月综合练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2?8，S4?12，则{an}的公差d? ．

15、已知m,4,n是等差数列，那么(2)m?(2)n=______；mn的最大值为______

二、解答题

1,2an?1?Sn?0，n?1,2,...， 2a1?N*，1、（15北京）已知数列?an?满足：且an?1?? a1?36，

（Ⅰ）若a1?6，写出集合M的所有元素；

?2an,an?18??n?1,2??．记集合M?ann?N．

?2an?36,an.?18??（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．

2、（14北京）对于数对序列P(a1,b1),(a2,b2),?,(an,bn)，记T1(P)?a1?b1，

Tk(P)?bk?max{Tk?1(P),a1?a2???ak}(2?k?n)，其中max{Tk?1(P),a1?a2???ak}表示Tk?1(P)和a1?a2???ak两个数中最大的数，

（1）对于数对序列P(2,5),P(4,1)，求T1(P),T2(P)的值. （2）记

m为a,b,c,d四个数中最小值，对于由两个数对

(a,b),(c,d)组成的数对序列P(a,b),(c,d)和

P'(a,b),(c,d)，试分别对m?a和m?d的两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小.

（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值.（只需写出结论）.

3、（13北京）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，?的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.

(1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3，?，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值； (2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1,2,3，?)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列； (3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1,2,3，?)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.

4、（朝阳15届一模）若数列称相应的函数 f (m)是（1）若数列（2）若数列

生成

中不超过 f (m)的项数恰为b m (m∈N * )，则称数列

的控制函数。设 f (m) = m2。

是数列

的生成数列，

单调递增，且所有项都是自然数， b1 =1，求a1； 单调递增，且所有项都是自然数， a 1= b1 ，求a1 ；

生成

的控制函数 g(n) = pn2 + qn + r （其中常数p，q，r∈Z），

2 ，3 ) ，（3）若an = 2 n (n =1 ，是否存在使得数列

也是数列{ } m b 的生成数列？若存在，求出 g (n)；若不存在，说明理

5、（东城区2015届高三二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1?a(a?3)，an?1?Sn?3n，设bn?Sn?3n，

n?N?．

(Ⅰ)求证：数列{bn}是等比数列；

(Ⅱ)若an?1?an，n?N?，求实数a的最小值； （Ⅲ）当a?4时，给出一个新数列{en}，其中en???3,n?1,设这个新数列的前n 项和为Cn，若Cn可以写成tp

?bn,n?2.(t,p?N?且t?1,p?1)的形式，则称Cn为“指数型和”．问{Cn}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．

6、（房山15届一模）下表给出一个“等差数阵”： 4 7 （ ） （ ） ? 7 12 （ ） （ ） ? （ ） （ ） （ ） （ ） ? （ ） （ ） （ ） （ ） ? （ ） （ ） （ ） （ ） ? ? ? ? ? ? ? ? a1j a2j ? ? ? ? ? ? ? a3j a4j ? ai1 ? ai2 ? ai3 ? ai4 ? ai5 ? aij ? 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数. （I）写出a45的值； （II）写出aij的计算公式；

（III）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N?1可以分解成两个不是1的正整数之积..

7、（丰台15届一模）如果数列A：a1，a2，?，am(m?Z，且m?3)，满足：①ai?Z，?②a1?a2???am?1，那么称数列A为“Ω”数列．

mm ?ai?(i?1,2,?,m)；

22（Ⅰ）已知数列M：-2，1，3，-1；数列N：0，1，0，-1，1．试判断数列M，N是否为“Ω”数列； （Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；

（Ⅲ）如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．

8、（海淀15届二模）对于数列A:a1,a2,L,an，经过变换T:交换A中某相邻两段的位置（数列A中的一项或连续的几项称为一段），得到数列T(A).例如，数列A:

a1,???,ai,ai?1,???,ai?p,ai?p?1,???,ai?p?q,ai?p?q?1,L,an（p?1，q?1）

144442444431444442444443MN经交换M,N两段位置，变换为数列T(A):

a1,???,ai,ai?p?1,???,ai?p?q,ai?1,???,ai?p,ai?p?q?1,L,an. 144444244444314444244443NM设A0是有穷数列，令Ak?1?T(Ak)(k?0,1,2,L).

（Ⅰ）如果数列A0为3,2,1，且A2为1,2,3. 写出数列A1；（写出一个即可）

（Ⅱ）如果数列A0为9,8,7,6,5,4,3,2,1，AA2为5,6,3,4,9,8,7,2,1，A5为1,2,3,4,5,6,7,8,9.1为5,4,9,8,7,6,3,2,1，写出数列A3,A4；（写出一组即可）

（Ⅲ）如果数列A0为等差数列：2015,2014,L,1，An为等差数列：1,2,L,2015，求n的最小值.

又因为an≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1. 于是，An＝an，Bn＝an＋1，

因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d， 即{an}是公差为d的等差数列． (3)因为a1＝2，d1＝1，

所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1. 故对任意n≥1，an≥B1＝1.

假设{an}(n≥2)中存在大于2的项． 设m为满足am＞2的最小正整数， 则m≥2，并且对任意1≤k＜m，ak≤2.

又因为a1＝2，所以Am－1＝2，且Am＝am＞2.

于是，Bm＝Am－dm＞2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}≥2. 故dm－1＝Am－1－Bm－1≤2－2＝0，与dm－1＝1矛盾．

所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各项只能为1或2. 因为对任意n≥1，an≤2＝a1， 所以An＝2.

故Bn＝An－dn＝2－1＝1.

因此对于任意正整数n，存在m满足m＞n，且am＝1，即数列{an}有无穷多项为1. 4、

5、解：(Ⅰ) 因为bn?1?Sn?1?3n?1?2Sn?3n?3n?1?2bn，n?N?，且a?3，

所以{bn}是首项为a?3，公比为2等比数列．

所以bn?(a?3)?2n?1． ???4分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)可得Sn?3n?(a?3)?2n?1，

an?Sn?Sn?1,n?2,n?N?．

a,n?1? an??n?1n?22?3?(a?3)?2,n?2?因为an?1?an， 所以a??9，且a?3．

所以a的最小值为?9． ???9分 （Ⅲ）由(Ⅰ)当a?4时，bn?2n?1

n当n?2时，Cn?3?2?4???2n?1?2?1，C1?3，

所以对正整数n都有Cn?2n?1．

由tp?2n?1，tp?1?2n，(t,p?N?且t?1,p?1)，t只能是不小于3的奇数． ① 当p为偶数时，t?1?(t因为tp2p2pp2?1)(t?1)?2n，

p2?1和t?1都是大于1的正整数，

p2所以存在正整数g,h，使得t?1?2，t?1?2h，

gp22g?2h?2,2h(2g?h?1)?2，所以2h?2且2g?h?1?1?h?1,g?2，

相应的n?3，即有C3?32，C3为“指数型和”； ② 当p为奇数时，tp?1?(t?1)(1?t?t2???tp?1)，

由于1?t?t2???tp?1是p 个奇数之和，仍为奇数，又t?1为正偶数， 所以(t?1)(1?t?t2???tp?1)?2n 不成立，

此时没有“指数型和”． ???14分

6、（I）解：a45=49. ??????3分

（II）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j－1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j－1），

??

第i行是首项为4+3（i－1），公差为2i+1的等差数列，

因此aij=4+3（i－1）+（2i+1）（j－1）=2ij+i+j=i（2j+1）+j. ??????7分 （III）证明：必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j使得N=i（2j+1）+j， 从而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1）， 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.

充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k、l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1），

从而N=k（2l+1）+l=akl， 可见N在该等差数阵中.

综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积 ??????13分 7、解：（Ⅰ）数列M不是“Ω”数列；数列N是“Ω”数列． ????????2分 （Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列． 证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，

则由a1?a2???am?1 得a1?am?2?Z，与ai?Z矛盾， m所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列． ????????7分

（Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：

设Sn为重新排列后所得数列的前n项和（n?Z且1?n?m），

mm?1?S1?， 22mm假设当2?n?m,n?N时，??1?Sn?1?

22mm若Sn?1?0，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证??1?Sn?，

22任取大于0的一项作为第一项，则满足?若Sn?1?0，则剩下的项必有0或与Sn?1异号的一项，否则总和不是1， 所以取0或与Sn?1异号的一项作为第n项，可以保证?如果按上述排列后存在Sn?0成立，那么命题得证； 否则S1，S2，?，Sm这m个整数只能取值区间[?因为区间[?mm?1?Sn?． 22mm?1,]内的非0整数， 22mm?1,]内的非0整数至多m-1个，所以必存在Si?Sj(1?i?j?m)， 22那么从第i?1项到第j项之和为Si?Sj?0，命题得证．

综上所述，数列A中必存在若干项之和为0． ????????13分

8、解：（Ⅰ）A1:2,1,3或A1:1,3,2. ??????2分

.

（Ⅱ）A3:5,6,7,2,3,4,9,8,1； ??????4分

A4:5,6,7,8,1,2,3,4,9. ??????6分

（Ⅲ）考虑数列A:a1,a2,L,an，满足ai?ai?1的数对ai,ai?1的个数，我们称之为“顺序数”．则等差数列A0：

2015,2004,L,1的顺序数为0，等差数列An：1,2,L,2015的顺序数为2014．

首先，证明对于一个数列，经过变换T，数列的顺序数至多增加2．实际上，考虑对数列

L,p,a,L,b,c,L,d,q,L，交换其相邻两段a,L,b和c,L,d的位置，变换为数列L,p,c,L,d,a,L,b,q,L.

显然至多有三个数对位置变化．假设三个数对的元素都改变顺序，使得相应的顺序数增加，即由p?a,b?c,d?q变为p?c,d?a,b?q．

分别将三个不等式相加得p?b?d?a?c?q与p?b?d?a?c?q，矛盾． 所以 经过变换T，数列的顺序数至多增加2．

其次，第一次和最后一次变换，顺序数均改变1．设n的最小值为x，则

2?2?x?2??2014，即x?1008． ??????10分

最后，说明可以按下列步骤，使得数列A1008为1,2,L,2015． 对数列A0:2015,2014,L,1，

第1次交换1,2,L,1007和1008,1009位置上的两段，得到数列A1：

1008,1007,2015,2014,L,1010,1009,1006,1005,L,2,1；

第2次交换2,3,L,1008和1009,1010位置上的两段，得到数列A2：

1008,1009,1006,1007,2015,2014,L,1011,1010,1005,1004,L,2,1；

第3次交换3,4,L,1009和1010,1011位置上的两段，得到数列A3：

1008,1009,1010,1005,1006,1007,2015,2014,L,1012,1011,1004,1003,L,2,1；

LL，以此类推

第1007次交换1007,1008,L,2013和2014,2015位置上的两段，得到数列A1007：

1008,1009,L,2013,2014,1,2,L,1006,1007,2015；

最终再交换1,2,L,1007和1008,1009,L,2014位置上的两段，即得A1008：1,2,L,2015． 所以 n的最小值为1008. ??????13分 9、（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由an?3n?1?m，得n?1?log3m(m?N*)

……………………4分 ……………………5分 ……………………6分

当1?m?2,m?N*时，b1?b2?1当3?m?8,m?N*时，b3?b4?????b8?2当9?m?26,m?N?时，b9?b10?????b26?3当27?m?30,m?N?时，b27?b28?b29?b30?4

……………………7分

∴b1?b2?????b30?1?2?2?6?3?18?4?4?84……………………8分

（III）∵a1?S1?1?c?1 ∴c?0 当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?1

∴ an?2n?1(n?N ) ……………………9分 *由a1n?2n?1?m得：n?m?2(m?N*) 因为使得an?m成立的n的最大值为bm，

所以b1?b2?1,b3?b4?2,???,b2t?1?b2t?t(t?N*)

当m?2t?1(t?N*)时：

T(t?1)m?2?1??(t?1)?t?t2?1(m?1)224 当m?2t(t?N*)时：

Ttm?2?1?2?t?t2?t?14m(m?2) ?(m?1)2(m?2t?1,t?N*)所以T??m??4?m(m?2)??4(m?2t,t?N*) 10、

……………………11分

……………………12分 ……………………13分

11、（Ⅰ）依题意，b13?1,b14?2，…，b25?b13?212?212.

则b1?b25?212，b2?b24?211，…，b12?b14?2.

1??212?1?()12?2??则S?2?b1?b2?...?b12??1?2??1?214?3 ……………..6分 11?2（Ⅱ）依题意，c50?c26?24?2?49，因为{cn}是50项的“对称数列”，所以

c1?c50?49,c2?c49?47,…， c25?c26?1.

所以当1?n?25时，Sn??n2?50n； 当26?n?50时，Sn?S25?(n?25)?1?(n?25)(n?26)?2， 2Sn?n2?50n?1250.

2???n?50n综上，Sn??2??n?50n?12501?n?25，n?N?，26?n?50,n?N.? ……………..13分

12、

13、解: （Ⅰ）由2an?1?2an?1得an?1?an?

11,n?N?，又a1?1，所以数列{an}是以1为首项，为公22差的等差数列，于是an?a1?(n?1)d?n?1，n?N?. 2?1?当n?1时，b1?S1?9????3??1?当n?2时，Sn?1?9????3?1?2?6,

n?3，

??1?n?2???1?n?3?2bn?Sn?Sn?1??9??????9?????n?2，

???3??????3???3又n?1时

23n?2?6?b1，所以bn?23n?2，n?N?.

n?2n?12?1?（Ⅱ）由（Ⅰ）知an?，bn?n?2，n?N?，所以cn?an?bn?(n?1)??23?3?,n?N?.

?1??1??1??1?所以Tn?2????3????4??????(n?1)????3??3??3??3?1等式两边同乘以得

3?101n?2 ???(1)

1?1??1??1??1?Tn?2????3????4??????(n?1)???3?3??3??3??3?(1)-(2)得

012n?1???(2)

2?1??1??1??1?Tn?2??????????????3?3??3??3??3??1?1???3=6+??11?3n?1?101n?2?1??(n+1)???3?n?1?1??(n+1)???3?n?1

452n?5?1?所以Tn????44?3?n?2,n?N?.

14、解：（I）E（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；（3分）

（II）若数列?an?：a1，a2，…，an的位差和E（a1，a2，?，an）=4，有如下两种情况：

情况一：当ai?i?1，ai?1?i，aj?j?1，aj?1?j，且?ai,ai?1??aj,aj?1??，其他项ak?k（其中

??k??i,i?1,j,j?1?）时，有?n?3???n?4????2?1?

?n?2??n?3?种可能；（5分）

2情况二：当ai,ai?1,ai?2分别等于i?2，i?1，i或i?1，i?2，i或i?2，i?1，其他项ak?k（其中

k??i,i?1,i?2?）时，有3?n?2?种可能；（7分）

综上，满足条件的数列?an?：a1,a2,...,an的个数为

?n?2??n?3??3?n?2???n?2??n?3?。（8分）

22例如：n?5时，

情况一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3种：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4；

情况二：形如3，2，1，4，5，共有5-2=3种：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3； 形如2，3，1，4，5，共有5-2=3种：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3； 形如3，1，2，4，5，共有5-2=3种：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4。

（III）将|a1?1|?|a2?2|?...?|an?n|去绝对值符号后，所得结果为

?1?1?2?2?3?3?…?n?n

的形式，其中恰好有n个数前面为减号，这表明

E?a1,a2,?,an???|ai?i|

i?1n

n?3?n?1n?1?n?1???2?n??n?1??????2????2?1? ??2?22??2?2??n?1??n?3??n?3??n?1?2???n?2???n?1?2?????2?1????2，（10分）

????????

此不等式成立是因为前面为减号的n个数最小为：2个1，2个2，…，2个

n?1n?1和1个。（11分） 22上面的讨论表明，题中所求的数列?an?:a1,a2,?,an是使得E（a1,a2,?,an）最大的数列，这样的数列

在n?2k?1时，要求从1，2，…，n中任选一个数作为ak?1，将剩余数中较大的k个数的排列作为a1,a2,…，ak的对应值，较小的k个数的排列作为ak?2，ak?3，…，a2k?1的对应值，于是所求数列的个数为?2k?1??k!?。

2

??n?1??综上，满足条件的数列的个数为n???2?!??（14分）

????例如：n?5时，

E（a1,a2,a3,a4,a5）?2?|ai?15i?i|。

?2?5?4??3?3?2?2?1? ?2??5?2???4?1??

5?1??5?1???2??5?????

2????????2????每组之差组数

?5?1??5?1??2???? ?2??2?52?1??12

2此不等式成立是因为前面为减号的5个数最小为：2个1，2个2和1个3。

若E（a1,a2,a3,a4,a5）=12，n?2k?1?5，此时k?2时，要求从1，2，3，4，5中任选一个数作为a3，

将剩余数中较大的2个数的排列作为a1，a2的对应值，较小的2个数的排列作为a4,a5的对应值，于是所求数列的

个数为5??2!??20。

24，5，1，2，3；4，5，1，3，2；5，4，1，2，3；5，4，1，3，2； 4，5，2，1，3；4，5，2，3，1；5，4，2，1，3；5，4，2，3，1； 4，5，3，1，2；4，5，3，2，1；5，4，3，1，2；5，4，3，2，1； 3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；5，3，4，1，2；5，3，4，2，1； 3，4，5，1，2；3，4，5，2，1；4，3，5，1，2；4，3，5，2，1。

题目背景：假设现在有n种物品，已经按照某种标准排列，并依次确定编号为1，2，…，n，鉴别师事先不知道

物品的标准排列编号，而是根据自己的判断，对这n种物品进行排列依次编号为a1,a2,?,an，其中a1,a2,?,an是1，2，…，n的一个排列，那么可以用数列?an?：a1,a2,?,an的位差和

E（a1,a2,?,an）=|a1?1|?|a2?2|???|an?n|， 来评判鉴别师的能力。

当E（a1,a2,?,an）越小，说明鉴别师能力越强；反之越大，说明鉴别师能力越弱； 当E（a1,a2,?,an）=0，说明鉴别师给出的排列编号与标准排列编号一致，判断完全正确； 第二问，位差和E（a1,a2,?,an）=4时，给出数列?an?：a1,a2,?,an的情况；

n2?1

第三问，说明位差和E（a1,a2,?,an）最大值为，且给出取得最大值时，数列?an?：a1,a2,?,an2

的情况。

15、解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：（Ⅱ）由（1）知数列

得数列

，

显然满足

满足或，

．

，把各项分别加后，所得各数依次排在后，因为

，即得

数列

的

数列

为：

，所．其中

．如此下去即可得到一个满足

（其中）

（写出此通项也可以（其中））

（Ⅲ）由题意知，，且．

有解：

①②③④若若④若若⑤若若

，

，

，则

，这与

是矛盾的．

时，与①类似可得不成立． 时，时， 或或时，

同号，则

或时，

异号，则同号，则

，不行；

，同样由前面的讨论可知与，且（2）中的数列是

矛盾．

，

，由上面的讨论可知不可能；

，则

或；

，则，则

或

．

，则

不可能成立．

，类似于③可知不成立．

综上，只能为或

所以为或．

的情形，将（2）中的数列倒过来就是

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