立体几何易做易错题汇编(解答题)
更新时间:2023-05-30 07:52:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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确实都是很容易错的题目,希望对你们有帮助~
立体几何易做易错题汇编(解答题)
湖南 周友良
1. 由平面 外一点P引平面的三条相等的斜线段,斜足分别为ABC,O为⊿ABC的外心,
求证:OP 。
错解:因为O为⊿ABC的外心,所以OA=OB=OC,又因为PA=PB=PC,PO公用,所以⊿POA,⊿POB,⊿POC都全等,所以 POA= POB= POC=RT ,所以OP 。 错解分析:上述解法中 POA= POB= POC=RT ,是对的,但它们为什么是直角呢?这里缺少必要的证明。 正
解
:
取
BC
的
中
点
D
,
连
PD
,
OD
,
PB PC,OB OC, BC PD,BC OD, BC 面POD, BC PO,同理AB PO, PO .
2. 一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球,无论怎样摇动盒子,求小球在盒子不能到达的空间的体积。
错解:认为是正方体的内切球。用正方体的体积减去内切球的体积。 错误原因是空间想像力不够。
正解:在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内,小球不能到达的空间为:
14 433
8[1 ( 1)] 8 ,除此之外,
8
3
3
在以正方体的棱为一条棱的12个1 1 4的正四棱柱空间内,小球不能到达的空间共为
[1 1 4
14
( 1) 4] 48 12 。其他空间小球均能到达。故小球不能到达的空间
2
体积为:
(8
43
) 48 12 56
403
(cm)。
3
3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点,且B1M=2,点N在线段A1D上,A1D⊥AN,求: (1) cos(A1D,AM);
(2) 直线AD与平面ANM所成的角的大小;
(3) 平面ANM与平面ABCD所成角(锐角)的大小.
解:(1) 以A为原点,AB、AD、AA1所在直线 为x轴,y轴,z轴. 则D(0,8,0),A1 (0,0,4),M(5,2,4)
A1D (0,8, 4) AM (5,2,4)
∵A1D AM 0 ∴cos A1D,AM 0
(2) 由(1)知A1D⊥AM,又由已知A1D⊥AN, A1D 平面AMN,垂足为N. 因此AD与平面所成的角即是 DAN. 易知 DAN AA1D arctan2
(3) ∵AA1 平面ABCD,A1N 平面AMN,
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∴AA1和NA1分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。 设平面AMN与平面ABCD所成的角(锐角)为 ,则
(AA1,NA1) AA1N AA1D arccos
55
4.点O是边长为4的正方形ABCD的中心,点E,F分别是AD,BC的中点.沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B. (Ⅰ)求 EOF的大小;
(Ⅱ)求二面角E OF A的大小.
解法一:(Ⅰ)如图,过点E作EG
⊥AC,垂足为G,过点F作FH⊥AC,垂足为
H,则EG FH
,GH .
D
因为二面角
EF GH EG FH 2EG FHcos90
0 12.
2
2
2
2222
又在 EOF中,OE OF 2,
cos EOF
OE OF EF
2OE OF
222
2 2 2 2 2
222
12
.
EOF 120.
(Ⅱ)过点G作GM垂直于FO的延长线于点M,连EM.
∵二面角D-AC-B为直二面角,∴平面DAC⊥平面BAC,交线为AC,又∵EG⊥AC,∴
EG⊥平面BAC.∵GM⊥OF,由三垂线定理,得EM⊥OF.
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∴ EMG就是二面角E OF
A的平面角. 在Rt EGM中, EGM 90 ,EG ∴
tan EMG
EGGM
,
GM
12
OE 1,
EM
G arctan
所以,二面角E OF
A的大小为arctan
则OE (1,
,OF (0,2,0).
.
解法二:(Ⅰ)建立如图所示的直角坐标系O-xyz,
OE OF1
. cos OE,OF 2|OE||OF|
EOF 120.
(Ⅱ)设平面OEF的法向量为n1 (1,y,z).
由n1 OE 0,n
1 OF 0,得
1 y 0,
解得y 0,
2y 0,
z
2
.
所以,n1 (1,0,
2
.
又因为平面AOF的法向量为n2 (0,0,1),
n1 n2
cos n1,n2 .∴ n1,n2
arccos.
33|n1||n2|
所以,二面角E OF A的大小为arccos
3
.
A1
B1
MA
B
C
C1
5.斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为a的正三角形,侧棱长等于b,一条侧棱AA1
与底面相邻两边AB、AC都成450角,求这个三棱柱的侧面积。
解:过点B作BM⊥AA1于M,连结CM,在△ABM和△ACM中,∵AB=AC,∠MAB=∠MAC=450,MA为公用边,∴△ABM≌△ACM,∴∠AMC=∠AMB=900,∴AA1⊥面BHC,即平面BMC为直截面,又BM=CM=ABsin45=
22
a,∴BMC周长为2x
22
a+a=(1+2)a,且棱长为b,∴S
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侧
=(1+2)ab
点评:本题易错点一是不给出任何证明,直接计算得结果;二是作直截面的方法不当,
即“过BC作平面与AA1垂直于M”;三是由条件“∠A1AB=∠A1AC ∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线”不给出论证。 6.如图在三棱柱ABC-A'B'C'中,已知底面ABC是底角等于30 ,底边AC=43的等腰三角形,且B'C AC,B'C 22,面B'AC与面ABC成45 ,A'B与AB'交于点E。
1) 求证:AC BA';
2) 求异面直线AC与BA'的距离; 3) 求三棱锥B' BEC的体积。 正解:①证:取AC中点D,连ED,
E是AB'的中点, ED B'C AC, DE AC
12B'C
2
又 ABC是底角等于30 的等腰 , BD AC,BN DE D AC 面BDE, AC BE,即AC BA'
②解:由①知 EDB是二面角B' AC B的一个平面角,
33
EDB=45,ED
2,BD ADtan30
23 2
在
DBE中:EB
2
ED
2
BD
2
2ED BDcos45 2 4 22
22
2
EB 2, BDE是等腰Rt ,ED BE,ED是异面直线AC与BA'的距离,
为2
③连A'D,ED EA' ED
2, A'D BD,又AC 面BED,
A'D 面BED, A'D AC, A'D 面ABC且A'D 2
VB' ABC
13
S ABC A'D
12
118 (BD AC) A'D 323
12
VB' ABC'
43
3
3
VB' BEC VC
BEB' VC ABB''
误解:求体积,不考虑用等积法,有时,硬算导致最后错解。
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7.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为29,设这条最短路线与C1C的交点为N。求
4) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长; 5) PC和NC的长;
6) 平面NMP和平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)
正解:①正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为9 4
②如图1,将侧面BC1旋转120使其
与侧面AC1在同一平面上,点P运动到点P1的位置,连接MP1,则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路线。 设PC=x,则P1C=x,
在Rt MAP1中,(3+x) 2 29,x 2 MCMA
P1CP1A
25
, NC
45
2
2
22
97
③连接PP(如图2),则PP1
就是
NMP与平面ABC的交线,作NH PP1于H,又CC1 1
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平面ABC,连结CH,由三垂线定理得,CH PP1。
NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角。在Rt PHC中, PCH
12
PCP1 60, CH 1 NCCH
45
在Rt NCH中,tan NHC
误解:①不会找29
的线段在哪里。 ②不知道利用侧面BCC1 B1展开图求解。 ③不会找二面角的平面角。
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