沪科版八年级（下）期中试卷（附答案）

八年级（下）期中数学试卷（150分）

一、选择题（10小题，共40分） 1．（4分）（2011?福州）一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根 只有一个实数根 C．D． 没有实数根 2．（4分）（2011?安徽）设 A．1和2 B． 2和3 ，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） C． 3和4 D． 4和5 2

3．（4分）（2011?荆门）关于x的方程ax﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、

x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，则a的值是（ ） 1 2 A．B． ﹣1 C． 1或﹣1 D． 4．（4分）以下列各组线段的长为边，能够组成直角三角形的是（ ） 6 8 10 15 31 39 12 35 37 12 18 32 A．B． C． D． 5．（4分）实数a在数轴上的位置如图所示，则

化简后为（ ）

7 A．B． ﹣7 C． 2a﹣15 D． 无法确定 6．（4分）某种型号的手机由于连续两次降价，每只售价由1185元降到了580元．设每次降价的百分率为 x，则所列方程正确的是（ ） 2222 A．D． 580（1+x）=1185 B． 1185（1+x）=580 C． 1185（1﹣x）=580 580（1﹣x）=1185 7．（4分）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（ ） 84 24 A．B． C． 24或84 D． 42或84 8．（4分）（2005?菏泽）若x≤0，则化简|1﹣x|﹣ A．1﹣2x 2

的结果是（ ）

1 D． B． 2x﹣1 C． ﹣1 9．（4分）若方程ax+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，则方程必有一根为（ ） ±1 0 1 A．B． C． ﹣1 D． 10．（4分）方程

的方程是（ ） 22 A．B． y﹣7y+12=0 y+7y+12=0 二、填空题（4小题，共20分） 时，设

，则原方程化为关于y

2C． y+7y﹣12=0 2D． y﹣7y﹣12=0 11．（5分）（2011?德州）当时，= _________ ．

12．（5分）如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1=4，S2=8，则S3= _________ ．

（第12题）

2

13．（5分）一元二次方程3x+6x﹣7=0的两根为x1，x2，则x1+x2= _________ ，x1x2= _________ ． 14．（5分）x=1，y=2．

三、计算题（本大题共4小题，共30分） 15．（8分）（2011?烟台）先化简再计算：程x﹣2x﹣2=0的正数根．

2

= _______ ，其中x是一元二次方

（16）

16．（6分）如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．

17. （8分）（1）看图数数，图中共有多少条线段？

（2）你能根据数线段的方法解决下面的问题吗？

新同学见面，每两个人握一次手，则全班50个同学一共要握手多少次？

18．（8分）（1） （x+1）（x+3）=15． （2） （y﹣3）+3（y﹣3）+2=0

四、解答题（共6小题，满分60分）

2

19．（8分）在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一

条横向，纵向与横向垂直），剩下的部分建成面积为570m花坛，问小路的宽应是多

少？

20．（8分）（2012?鞍山一模）如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q

2

分别从A、B同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm？

2

21．（8分）（2009?鄂州）已知关于x的方程kx﹣2（k+1）x+k﹣1=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 22．（12分）（2011?日照）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率；

（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．

23．（10分）如图，细心观察图形，认真分析，然后回答下列问题： （1）OA1= ，OA2=，OA3=，…，OAn=；

2

（2）如果第一个三角形的面积用S1表示，其它依此类推．那么S1=，S2=，S3=，…，Sn=．

2222

（3）求S1+S2+S3+…S100的值．

24．（14分）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如们还可以将其进一步化简： ==

=

；（一） （二）

，

，

一样的式子，其实我

==（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：

=

（1）请用不同的方法化简①参照（三）式得②参照（四）式得（2）化简：

．

=（ ）； =（ ）

．

（四）

参考答案与试题解析

一、选择题（10小题，共40分） 1．（4分）（2011?福州）一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根 只有一个实数根 C．D． 没有实数根 考点： 根的判别式；解一元二次方程-因式分解法． 专题： 计算题． 2分析： 先把原方程变形为：x﹣2x=0，然后计算△，得到△=4＞0，根据△的含义即可判断方程根的情况． 2解答： 解：原方程变形为：x﹣2x=0， 2∵△=（﹣2）﹣4×1×0=4＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选A． 22点评： 本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0，（a≠0）根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，原方程有两个不相等的实数根；当△=0，原方程有两个相等的实数根；当△＜0，原方程没有实数根． 2．（4分）（2011?安徽）设，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A．1和2 B． 2和3 C． 3和4 D． 4和5 考点： 估算无理数的大小． 专题： 计算题． 分析： 先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后计算介于哪两个相邻的整数之间． 解答： 解：∵16＜19＜25， ∴4＜＜5， ∴3＜﹣1＜4， ∴3＜a＜4， ∴a在两个相邻整数3和4之间； 故选C． 点评： 此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 3．（4分）（2011?荆门）关于x的方程ax﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，则a的值是（ ） 1 2 A．B． ﹣1 C． 1或﹣1 D． 考点： 根与系数的关系；根的判别式． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣，x1x2=，整理原式即可得出关于a的方程求出2

即可．

2解答： 解：依题意△＞0，即（3a+1）﹣8a（a+1）＞0， 22即a﹣2a+1＞0，（a﹣1）＞0，a≠1， 2∵关于x的方程ax﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a， ∴x1﹣x1x2+x2=1﹣a， ∴x1+x2﹣x1x2=1﹣a， ∴﹣=1﹣a， 解得：a=±1，又a≠1， ∴a=﹣1． 故选：B． 点评： 此题主要考查了根与系数的关系，由x1﹣x1x2+x2=1﹣a，得出x1+x2﹣x1x2=1﹣a是解决问题的关键． 4．（4分）以下列各组线段的长为边，能够组成直角三角形的是（ ） 6 8 10 15 31 39 12 35 37 12 18 32 A．B． C． D． 考点： 勾股数． 分析： 判断两小边的平方和是否等于最长边的平方，若是则能够组成直角三角形，否则不能构成． 222解答： 解：A、6+8=10，三边是整数，同时能构成直角三角形，故选项正确； 222B、15+31≠39，则不能构成直角三角形，故选项错误； 222C、12+35≠37，则不能构成直角三角形，故选项错误； 222D、12+18≠32，则不能构成直角三角形，故选项错误； 故选A． 点评： 解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a+b=c，则△ABC是直角三角形． 5．（4分）实数a在数轴上的位置如图所示，则

化简后为（ ）

222 7 A． B． ﹣7 C． 2a﹣15 D． 无法确定 分析： 根据数轴上a的范围，分别开根号，在化简即可 解答： 解：由题意知5＜a＜10 ∴a﹣4＞0，a﹣11＜0 ∴=|a﹣4|+|a﹣11|=a﹣4+11﹣a=7 故选A 点评： 本题考查根式的化简，要注意变量的范围．属简单题 6．（4分）某种型号的手机由于连续两次降价，每只售价由1185元降到了580元．设每次降价的百分率为 x，则所列方程正确的是（ ） 2222 A．D． 580（1+x）=1185 B． 1185（1+x）=580 C． 1185（1﹣x）=580 580（1﹣x）=1185 考点： 一元二次方程的应用． 分析： 根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用x表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程． 解答： 解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意得出方程为：1185（1﹣x）=580． 故本题选C． 2点评： 本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率． 7．（4分）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（ ） 84 24 A．B． C． 24或84 D． 42或84 考点： 勾股定理． 专题： 分类讨论． 分析： 由于高的位置是不确定的，所以应分情况进行讨论． 解答： 2解：（1） =9，CD==5 △ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．BD=∴△ABC的面积为×（9+5）×12=84； （2） △ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD=9，CD=5 ∴△ABC的面积为×（9﹣5）×12=24． 故选C． 点评： 本题需注意当高的位置是不确定的时候，应分情况进行讨论． 8．（4分）（2005?菏泽）若x≤0，则化简|1﹣x|﹣ A．1﹣2x B． 2x﹣1 的结果是（ ）

1 D． C． ﹣1 考点： 二次根式的性质与化简． 分析： 利用二次根式的意义以及绝对值的意义化简． 解答： 解：∵x≤0， ∴1﹣x＞0，|1﹣x|=1﹣x，∴|1﹣x|﹣=﹣x， =1﹣x﹣（﹣x）=1． 故选D． 点评： 此题考查了绝对值的代数定义：①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零． 9．（4分）若方程ax+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，则方程必有一根为（ ） ±1 0 1 A．B． C． ﹣1 D． 考点： 一元二次方程的解． 专题： 计算题． 分析： 本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解． 2解答： 解：∵当x=1方程ax+bx+c=0可化为a+b+c=0； ∴方程必有一根为1； 故选B． 点评： 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义． 2

10．（4分）方程时，设，则原方程化为关于y

的方程是（ ） 222 A．B． C． y﹣7y+12=0 y+7y﹣12=0 y+7y+12=0 考点： 换元法解分式方程． 专题： 计算题． 分析： 根据设，则把原方程变形即可． 2D． y﹣7y﹣12=0 解答： 解：设，则原方程变形为y﹣7y+12=0， 2故选B． 点评： 本题考查了用换元法解分式方程，注意整体思想． 二、填空题（4小题，共20分） 11．（5分）（2011?德州）当

时，

= ．

考点： 分式的化简求值；二次根式的化简求值． 专题： 计算题． 分析： 先将分式的分子和分母分别分解因式，约分化简，然后将x的值代入化简后的代数式即可求值． 解答： 解：﹣1 ===﹣ ﹣1 =，将x=原式==故答案为：=代入上式中得， ． ． 点评： 本题主要考查分式求值方法之一：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 12．（5分）如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1=4，S2=8，则S3= 12 ．

考点： 勾股定理． 分析： 根据勾股定理的几何意义解答． 解答： 解：∵△ABC直角三角形， 222∴BC+AC=AB， 222∵S1=BC，S2=AC，S3=AB，S1=4，S2=8， ∴S3=S1+S2=12． 点评： 解决本题的关键是根据勾股定理得到三个面积之间的关系． 13．（5分）一元二次方程3x+6x﹣7=0的两根为x1，x2，则x1+x2= ﹣2 ，x1x2= ﹣ ． 考点： 根与系数的关系． 专题： 计算题． 2分析： 由于一元二次方程3x+6x﹣7=0的两根为x1，x2，直接利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 2解答： 解：∵3x+6x﹣7=0的两根为x1，x2， 2

∴x1+x2=﹣6÷3=﹣2， x1x2=﹣． 故答案为：﹣2，﹣． 点评： 此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，比较简单，直接利用关系即可解决问题． 14．（5分）如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，则第10个直角三角形的斜边长为 ．

考点： 勾股定理． 专题： 规律型． 分析： 分别求出图中所给直角三角形的斜边长，找出规律，即可解答． 解答： 解：根据图形，运用勾股定理知， 第一个直角三角形的斜边是， 第二个直角三角形的斜边是， 推而广之，则第n个直角三角形的斜边是， 所以第10个直角三角形的斜边长为． 点评： 熟练运用勾股定理，能够根据具体数据进行推广，发现规律． 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分

15．（8分）（2011?烟台）先化简再计算：

2

，其中x是一元二次方

程x﹣2x﹣2=0的正数根． 考点： 分式的化简求值；一元二次方程的解． 2分析： 先把原式化为最简形式，再利用公式法求出一元二次方程x﹣2x﹣2=0的根，把正根代入原式计算即可． 解答： 解：原式=÷ =? =． 2解方程得x﹣2x﹣2=0得，

x1=1+＞0，x2=1﹣=＜0， ． 所以原式=点评： 本题考查的是分式的化简求值及解一元二次方程，解答此题的关键是把原分式化为最简形式，再进行计算． 16．（8分）

，其中x=1，y=2．

考点： 二次根式的化简求值． 分析： 首先运用分配律，将二次根式化简，然后再代值计算． 解答： 解：=2y﹣x+1， 当x=1，y=2时， 原式=4﹣1+1=4． 点评： 此题主要考查了分配律在二次根式的运算中的作用，二次根式的性质等知识点． 四、解方程（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17．（8分）（x+1）（x+3）=15． 考点： 解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；解一元一次方程． 专题： 计算题． 分析： 展开整理后分解因式得到（x+6）（x﹣2）=0，推出方程x+6=0，x﹣2=0，求出方程的解即可． 解答： 解：（x+1）（x+3）=15， 2展开整理得：x+4x﹣12=0， 分解因式得：（x+6）（x﹣2）=0， ∴x+6=0，x﹣2=0， 解方程得：x1=﹣6，x2=2， ∴方程的解是x1=﹣6，x2=2． 点评： 本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 18．（8分）（y﹣3）+3（y﹣3）+2=0 考点： 换元法解一元二次方程． 分析： 将（y﹣3）看作一个整体，设y﹣3=t，利用因式分解法求得t的值，进而即可求得y． 2解答： 解：设y﹣3=t，则原方程即t+3t+2=0 解得t=﹣1或﹣2 所以y﹣2=0或y﹣1=0， 解得，y=2或y=1． 点评： 本题考查了解一元二次方程的方法，当利用y﹣3是依一个整体的形式出现的这个特点，利用换元法求解． 2

五、解答题（共5小题，满分58分） 19．（10分）如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．

考点： 勾股定理的逆定理． 分析： 根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，从而不难求得这块地的面积． 解答： 解：连接AC． ∵AD=4m，CD=3m，AD⊥DC ∴AC=5m ∵12+5=13 ∴△ACB为直角三角形 ∴S△ACB=×AC×BC=×5×12=30m， S△ACD=AD?CD=×4×3=6m， ∴这块地的面积=S△ACB﹣S△ACD=30﹣6=24m． 222222 点评： 此题主要考查学生对勾股定理及其逆定理的理解及运用能力． 20．（10分）在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，

2

一条横向，纵向与横向垂直），剩下的部分建成面积为570m花坛，问小路的宽应是多少？ 考点： 矩形的性质． 专题： 应用题． 分析： 本题要求小路的宽，所以应先设小路的宽为：x，两条纵向，一条横向、纵向与横向2垂直，所以长分别为：32m，20m，20m，即：小路的面积为：32x+20x+20x﹣2x，22又知花坛的面积为：570m，矩形总面积为：20×32cm，以小路的面积为等量关系列出方程求解即可求出小库的宽． 解答： 解：设小路的宽为：x m，则长分别是：32m，20m，20m由题意得： 222小路的面积为：32x+20x+20x﹣2x=72x﹣2xcm， 即：72x﹣2x=20×32﹣570， 解得，x1=1，x2=35（不合题意舍去）． 所以，小路的宽应为：1m． 点评： 本题主要考查矩形的性质，利用矩形的性质求出小路的面积的代数式和总面积，由题2意得出小路的面积为：20×32﹣570=70cm，代入该代数式即可求解． 21．（12分）（2012?鞍山一模）如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q

2

分别从A、B同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm？

2

考点： 一元二次方程的应用． 专题： 几何动点问题． 分析： 本题中根据直角三角形的面积公式和路程=速度×时间进行求解即可． 2解答： 解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于8cm，由题意可得： 2x（6﹣x）÷2=8 解得x1=2，x2=4． 经检验均是原方程的解． 2答：2或4秒钟后，△PBQ的面积等于8cm． 2点评： 找到关键描述语“△PBQ的面积等于8cm”，找到等量关系是解决问题的关键． 22．（12分）（2009?鄂州）已知关于x的方程kx﹣2（k+1）x+k﹣1=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 考点： 根与系数的关系；一元二次方程的定义；根的判别式． 2分析： （1）根据方程有两个不相等的实数根可知△=[﹣2（k+1）]﹣4k（k﹣1）＞0，求得k的取值范围； （2）可假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1，x2的倒数和为0，列出方程即可求得k的值，然后把求得的k值代入原式中看看与已知是否矛盾，如果矛盾则不存在，如果不矛盾则存在． 解答： 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， 2∴△=[﹣2（k+1）]﹣4k（k﹣1）=12k+4＞0，且k≠0， 2

解得k＞﹣，且k≠0， 即k的取值范围是k＞﹣，且k≠0； （2）假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1，x2的倒数和为0， 则x1，x2不为0，且， 即，且， 解得k=﹣1， 而k=﹣1与方程有两个不相等实根的条件k＞﹣，且k≠0矛盾， 故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在． 点评： 本题主要考查了根的判别式的运用和给定一个条件判断是否存在关于字母系数的值令条件成立．解决此类问题，要先假设存在，然后根据条件列出关于字母系数的方程解出字母系数的值，再把求得的字母系数值代入原式中看看与已知是否矛盾，如果矛盾则不存在，如果不矛盾则存在． 23．（14分）（2011?日照）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率；

（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房． 考点： 一元二次方程的应用． 专题： 增长率问题． 分析： （1）设每年市政府投资的增长率为x．根据到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解； （2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果． 解答： 解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，（1分） 2根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）=9.5， 2整理，得：x+3x﹣1.75=0，（3分） ∵a=1，b=3，c=﹣1.75， 22∴b﹣4ac=3﹣4×1×（﹣1.75）=16， 解之，得：x==， ∴x1=0.5，x2=﹣3.5（舍去），（5分） 答：每年市政府投资的增长率为50%；（6分） （2）到2012年底共建廉租房面积=9.5÷（万平方米）． 答：到2014年的共建设了38万平方米廉租房．（8分） 点评： 主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为na（1+x），其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．

（2009?邵阳）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如们还可以将其进一步化简： ==

=

；（一） （二）

，

，

一样的式子，其实我

==（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：

=

（1）请用不同的方法化简①参照（三）式得②参照（四）式得（2）化简：

．

（四）

=（ ）； =（ ）

．

考分母有理化． 点： 专压轴题；阅读型． 题： 分（1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、析： 因式分解达到约分的目的； （2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况． 解解：（1）=， 答： = （2）原式=； +…+ ==． ++…+ 点学会分母有理化的两种方法． 评：

看图数数，图中共有10条线段． 你能根据数线段的方法解决下面的问题吗？

新同学见面，每两个人握一次手，则全班50个同学一共要握手

1225次．

解：（1）4+3+2+1=10（条）， 答：图中一共有10条线段． （2）49+48+47+…+3+2+1=， =（49+1）×

49 2

，=1225（次）； 答：一共要握1225次．

故答案为：（1）10；（2）1225．

+…+ ==． ++…+ 点学会分母有理化的两种方法． 评：

看图数数，图中共有10条线段． 你能根据数线段的方法解决下面的问题吗？

新同学见面，每两个人握一次手，则全班50个同学一共要握手

1225次．

解：（1）4+3+2+1=10（条）， 答：图中一共有10条线段． （2）49+48+47+…+3+2+1=， =（49+1）×

49 2

，=1225（次）； 答：一共要握1225次．

故答案为：（1）10；（2）1225．

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