四川大学离散数学课后习题一解答或提示

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1. (1) 设P:他是本片的编剧，Q: 他是本片的导演。P?Q (2) 设P:银行利率降低，Q:股价上扬。P?Q (3) 设P:银行利率降低，Q:股价上升。～(P?Q)

(4) 设P:这个对象是占据空间的,Q: 这个对象是有质量的,R: 这个对象是不断变化的,S: 这个对象称为物质。P?Q?R?S

(5) 设P:他今天乘火车去了北京，Q: 他今天随旅行团去了九寨沟。P?Q (6) 设P:小张身体单薄，设Q:小张极少生病, 设R:小张头脑好使。P?Q?R (7) 设P:这个人不识庐山真面目，设Q:这个人身在庐山中。Q?R

(8) 设P:两个三角形相似, 设Q:两个三角形的对应角相等或者对应边成比例。P?Q

(9) 设P:一个整数能被6整除，设Q:这个整数能被2和3整除。P?Q

设R:一个整数能被3整除，设S:这个整数的各位数字之和也能被3整除。R?S 2、(1) 命题 T (2) 命题 T/F

(3) 不是命题，因为真值无法确定。 (4) 命题 T (5) 不是命题。 (6) 命题 T (7) 命题 T/F

(8) 不是命题，是悖论。

5、（1）证：～（（～P∧Q）∨（～P∧～Q））∨（P∧Q） ?（～（～P∧Q）∧～（～P∧～Q））∨（P∧Q） ?（（P∨～Q）∧（P∨Q））∨（P∧Q） ?（P∨（～Q∨Q））∨（P∧Q） ? P∨（P∧Q）?P （3）证： P→(Q∨R) ?～P∨(Q∨R) ?～P∨Q∨～P∨R

?（～P∨Q）∨（～P∨R） ? (P→Q）∨（P→R）

6、 解：如果P∨Q?Q∨R，不能断定P?R。因为当Q=T时，P∨Q?Q∨R恒成立。

如果P∧Q?Q∧R，不能断定P?R。因为当Q=F时，P∧Q?Q∧R恒成立。 如果～P?～R，则P?R。 8、把下列各式用↑等价表示出来：

去找 http://www.7zhao.net (1) 解：（P∧Q）∨～P

?（( P↑Q)↑( P↑Q)）∨（P↑P）

?（（( P↑Q)↑( P↑Q)）↑（( P↑Q)↑( P↑Q)））↑（（P↑P）↑（P↑P）） （3）解：（P→（Q∨～R））∧～P ?（～P∨（Q∨～R））∧～P

?（（P↑P）∨（Q∨（R↑R）））∧（P↑P）；

?（（P↑P）∨（（Q↑Q）↑（（R↑R）↑（R↑R））））∧（P↑P） ?（（（P↑P）↑（P↑P））↑（（（Q↑Q）↑（（R↑R）↑（R↑R）））↑ （（Q↑Q）↑（（R↑R）↑（R↑R）））））∧（P↑P） ?（（（（P↑P）↑（P↑P））↑（（（Q↑Q）↑（（R↑R）↑（R↑R）））↑（（Q↑Q）↑（（R↑R）↑（R↑R）））））↑（P↑P））↑（（（（P↑P）↑（P↑P））↑（（（Q↑Q）↑（（R↑R）↑（R↑R）））↑（（Q↑Q）↑（（R↑R）↑（R↑R）））））↑（P↑P）） 9、证：∵ P∨Q?～～P∨Q?（～P）→Q P∧Q?～（～P∨～Q）?～（P→～Q） 而{～，∨，∧}是功能完备集， ∴{～，→}是功能完备集，～，→不能互相表示， 故{～，→}是最小功能完备集。 又∵P错误！未找到引用源。Q?～(P→Q)，∴{～，错误！未找到引用源。}也是最小功能完备集 。 10、证：由书上的表1.16可知，“～”对应的真值表含2个1和2个0，而“?”对应的真值表也含2个1和2个0，∨ 对应的真值表含3个1和1个0，∧对应的真值表含1个1和3个0，所以，“∨”无法用“～”和“?”来表示，同样“∧”也无法用“～”和“?”来表示，因此，{～，? }不是功能完备集。 12. 解：（1）a) 真值表法 P Q R S 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0

Q∧R Q∧R?S 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 （P→（Q∧R?S）） 1 1 1 1 1 去找 http://www.7zhao.net 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 由表中看出， 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 i) 使公式（P→（Q∧R?S））取值1时的解释所对应的全部极小项为： （～P∧～Q∧～R∧～S），（～P∧～Q∧～R∧S），（～P∧～Q∧R∧～S），（～P∧～Q∧R∧S），（～P∧Q∧～R∧～S），（～P∧Q∧～R∧S），（～P∧Q∧R∧～S），（～P∧Q∧R∧S），（～Q∧P∧～R∧～S），（～Q∧P∧～R∧S），（～Q∧P∧R∧～S），（～Q∧P∧R∧S），（～R∧Q∧P∧～S），（～R∧Q∧P∧S），（S∧Q∧R∧P），由定理1.8，其主析取范式为： （～P∧～Q∧～R∧～S）∨（～P∧～Q∧～R∧S）∨（～P∧～Q∧R∧～S）∨（～P∧～Q∧R∧S）∨（～P∧Q∧～R∧～S）∨（～P∧Q∧～R∧S）∨（～P∧Q∧R∧～S）∨（～P∧Q∧R∧S）∨（～Q∧P∧～R∧～S）∨（～Q∧P∧～R∧S）∨（～Q∧P∧R∧～S）∨（～Q∧P∧R∧S）∨（～R∧Q∧P∧～S）∨（～R∧Q∧P∧S）∨（S∧Q∧R∧P）。 ii） 使公式（P→（Q∧R?S））取值0时的解释所对应的全部极大项为： ～P∨～Q∨～R∨S由定理1.7，其主合取范式为：～P∨～Q∨～R∨S。■ b) 等价变换法

P?((Q∧R)?S)

? ～P∨(～(Q∧R) ∨S)

去找 http://www.7zhao.net ?～P∨～Q∨～R∨S-----主合取范式

?（～P∧（～Q∨Q）∧（～R∨R）∧（～S∨S）） ∨（～Q∧（～P∨P）∧（～R∨R）∧（～S∨S）） ∨（～R∧（～P∨P）∧（～Q∨Q）∧（～S∨S））

∨（S∧（～P∨P）∧（～Q∨Q）∧（～R∨R））------添加永真式

?（～P∧～Q∧～R∧～S）∨（～P∧～Q∧～R∧S）∨（～P∧～Q∧R∧～S） ∨（～P∧～Q∧R∧S）∨（～P∧Q∧～R∧～S）∨（～P∧Q∧～R∧S）∨（～P∧Q∧R∧～S）∨（～P∧Q∧R∧S）∨（～Q∧～P∧～R∧～S）∨（～Q∧～P∧～R∧S）∨（～Q∧～P∧R∧～S）∨（～Q∧～P∧R∧S）∨（～Q∧P∧～R∧～S）∨（～Q∧P∧～R∧S）∨（～Q∧P∧R∧～S）∨（～Q∧P∧R∧S）∨（～R∧～Q∧～P∧～S）∨（～R∧～Q∧～P∧S）∨（～R∧～Q∧P∧～S）∨（～R∧～Q∧P∧S）∨（～R∧Q∧～P∧～S）∨（～R∧Q∧～P∧S）∨（～R∧Q∧P∧～S）∨（～R∧Q∧P∧S）∨（S∧～Q∧～R∧～P）∨（S∧～Q∧～R∧P）∨（S∧～Q∧R∧～P）∨（S∧～Q∧R∧P）∨（S∧Q∧～R∧～P）∨（S∧Q∧～R∧P）∨（S∧Q∧R∧～P）∨（S∧Q∧R∧P）------合并相同的项

?（～P∧～Q∧～R∧～S）∨（～P∧～Q∧～R∧S）∨（～P∧～Q∧R∧～S）∨（～P∧～Q∧R∧S）∨（～P∧Q∧～R∧～S）∨（～P∧Q∧～R∧S）∨（～P∧Q∧R∧～S）∨（～P∧Q∧R∧S）∨（～Q∧P∧～R∧～S）∨（～Q∧P∧～R∧S）∨（～Q∧P∧R∧～S）∨（～Q∧P∧R∧S）∨（～R∧Q∧P∧～S）∨（～R∧Q∧P∧S）∨（S∧Q∧R∧P） ------主析取范式 （3）等价变换法 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。 ------------主析取范式

错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

去找 http://www.7zhao.net 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。-----------主合取范式 13. 解：

（1）错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。 ---------不等价 （2）错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。 ------------等价

14. 解：由题设 A：A去，B：B去，C：C去，D：D去 则满足条件的选派应是如下范式：错误！未找到引用源。 构造和以上范式等价的主析取范式 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

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