2007年浙江省宁波市镇海中学保送生数学试卷（原稿）

2007年浙江省宁波市镇海中学保送生数学试卷

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2007年浙江省宁波市镇海中学保送生数学试卷

一、选择题（每小题5分，共50分） 1．（5分）若a、b、都是有理数，则 A．二者均为有理数 一个为无理数，另一个为有理数 C． 2．（5分）若 A．=

=B． ，则

、的值是（ ） B． 二者均为无理数 D． 以上三种情况均有可能 的值是（ ） 5 C． 6 D． 3．（5分）如图，在一次函数y=﹣x+3的图象上取点P，作PA⊥x轴，PB⊥y轴；垂足为B，且矩形OAPB的面积为2，则这样的点P个数共有（ ）

1 A． 2 B． 3 C． 4 D． 4．（5分）等边△ABC的各边与它的内切圆相切于A1，B1，C1，△A1B1C1的各边与它的内切圆相切于A2，B2，

C2，…，以此类推．若△ABC的面积为1，则△A5B5C5的面积为（ ） A．B． C． D． 5．（5分）如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，若某人不亚于其他99人，我们就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中，棒小伙子最多可能有（ ） A．1个 B． 2个 C． 50个 D． 100个 6．（5分）某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： ①② ②③ ③④ ④⑤ ⑤① 水管编号 2 15 6 3 10 时间（小时） 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（ ） ① ② ④ A．B． C． D． ③或⑤ 7．（5分）如图，已知等腰梯形ABCD的腰AB=CD=m，对角线AC⊥BD，锐角∠ABC=α，则该梯形的面积是（ ）

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22222msinα 2mcosα A．B． C． D． m（sinα） m（cosα） 8．（5分）△ABC有一边是另一边的2倍，又有一个内角等于30°，则下列正确的是（ ） A．△ABC不是直角三角形 B． △ABC不是锐角三角形 △ABC不是钝角三角形 C．D． 以上答案都不对 9．（5分）正五边形广场ABCDE的周长为400米，甲，乙两个同学做游戏，甲从A处，乙从C处同时出发，沿A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣A的方向绕广场行走，甲的速度为每分钟50米，乙的速度为每分钟46米．在两人第一次刚走到同一条边上的那一时刻（ ） A．甲不在顶点处，乙在顶点处 B． 甲在顶点处，乙不在顶点处 甲乙都在顶点处 C．D． 甲乙都不在顶点处 10．（5分）二次函数y=﹣x+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值=﹣（t﹣3）+2，则t的取值范围是（ ） 0≤t≤3 t≥3 t=0 A．B． C． D． 以上都不对 二、填空题（每小题5分，共30分）

11．（5分）如图，半圆的直径AB长为2，C，D是半圆上的两点，若在直径AB上，则CP+PD的最小值为 _________ ．

的度数为96°，

的度数为36°，动点P

22

12．（5分）已知正数a和b，有下列结论： （1）若a=1，b=1，则（3）若a=2，b=3，则

≤1；（2）若a=，b=，则≤；（4）若a=1，b=5，则

； ．

根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则ab≤ _________ ．

13．（5分）如果满足||x﹣6x﹣16|﹣10|=a的实数x恰有6个，那么实数a的值等于 _________ ． 14．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，将矩形ABCD沿对角线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是 _________ ．

2

15．（5分）已知x，y均为实数，且满足xy+x+y=12，xy+xy=32，则x+xy+y= _________ ．

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2

2

3

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www.jyeoo.com 16．（5分）5只猴子一起摘了1堆桃子，因太累了，它们决定，先睡一觉再分．过了不知多久，来了第一只猴子，它见别的猴子没来，便将这堆桃子平均分为5堆，结果还多1个，就把多余的这个吃了，取走自己应得的1份．又过了不知多久，来了第2只猴子，它不知道有1个同伴已经来过了，还以为自己是第1个到的，也将地上的桃子平均分为5堆，结果也多1个，就把多余的这个吃了，取走自己应得的1份．第3只，第4只，第5只猴子都是这样…．则这5只猴子至少摘了 _________ 个桃子．

三、解答题（第17题8分，第18题、第19题各10分，第20题12分，共40分）： 17．（8分）若关于x的方程

只有一个解（相等的解也算作一个），试求k的值与方程的解．

18．（10分）已知：点A（6，0），B（0，3），线段AB上一点C，过C分别作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，若四边形ODCE为正方形． （1）求点C的坐标；

（2）若过点C、E的抛物线y=ax+bx+c的顶点落在正方形ODCE内（包括四边形上），求a的取值范围； （3）在（2）题的抛物线中与直线AB相交于点C和另一点P，若△PEC∽△PBE，求此时抛物线的解析式．

2

19．（10分）在一圆中，两条弦AB，CD相交于点E，M为线段EB之间的点（不包括E，B）．过点D，E，M的圆在点E的切线分别交直线BC，AC于F，G．若

，求

（用t表示）．

20．（12分）整数x0，x1，x2，x3，…，x2003满足条件：x0=0，|x1|=|x0+1|，|x2|=|x1+1|，|x3|=|x2+1|，…，|x2003|=|x2002+1|． （1）试用仅含x2003的代数式表示|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|， （2）求|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|的最小值．

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2007年浙江省宁波市镇海中学保送生数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共50分） 1．（5分）若a、b、都是有理数，则、的值是（ ） A．二者均为有理数 B． 二者均为无理数 一个为无理数，另一个为有理数 C．D． 以上三种情况均有可能 考点： 实数． 专题： 常规题型． 分析： 根据两个非负数的和是有理数，则这两个数都是有理数进行选择． 解答： 解：∵a、b、都是有理数， ∴≥0，≥0， ∴、都是有理数． 故选A． 点评： 本题考查了有理数与无理数的概念，两个非负数的和是有理数，则这两个数一定都是有理数，比较抽象，要注意学会分析思考． 2．（5分）若 A．==B． ，则的值是（ ） 5 C． D．6 考点： 分式的化简求值． 分析： 根据=，得出x=3y，x=﹣y；根据=，得出x=3y，x=15y；故有x=3y，代入所求分式化简即可． 解答： 解：由=，得2x﹣5xy﹣3y=0， 22解得x=3y，x=﹣y； 由=，得x﹣18xy+45y=0， 22解得x=3y，x=15y； 故有x=3y， ∴==． 故选A． 点评： 本题考查了分式的化简求值．根据已知等式求出使所有等式成立的条件，是解题的关键． 3．（5分）如图，在一次函数y=﹣x+3的图象上取点P，作PA⊥x轴，PB⊥y轴；垂足为B，且矩形OAPB的面积为2，则这样的点P个数共有（ ）

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www.jyeoo.com 1 2 3 4 A．B． C． D． 考点： 一次函数的性质． 专题： 数形结合． 分析： 设P（x，y）．根据题意，得|xy|=2，即xy=±2，然后分别代入一次函数，即可得P点的个数． 解答： 解：设P（x，y）．根据题意，得|xy|=2，即xy=±2 2当xy=2时，把y=﹣x+3代入，得：x（﹣x+3）=2，即x﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，则P（1，2）或（2，1） 当xy=﹣2时，把y=﹣x+3代入，得：x（﹣x+3）=﹣2，即x﹣3x﹣2=0，解得：x=则P（，）或（，）． 2 故选D． 点评： 此题要用设坐标的方法求解，注意坐标与线段长度的区别，分情况讨论，同时要熟练解方程组． 4．（5分）等边△ABC的各边与它的内切圆相切于A1，B1，C1，△A1B1C1的各边与它的内切圆相切于A2，B2，C2，…，以此类推．若△ABC的面积为1，则△A5B5C5的面积为（ ） A．B． C． D． 考点： 三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质． 专题： 规律型． 分析： 设等边△ABC的边长为a，则可得出△A1B1C1是等边三角形，且边长为a，同理，得出等边△A2B2C2的边长为（）a，…，等边△A5B5C5的边长为（）a，由于所有的等边三角形都相似，所以根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△A5B5C5的面积． 解答： 解：∵等边△ABC的各边与它的内切圆相切于A1，B1，C1，设等边△ABC的内心为O， ∴点O也是等边△ABC的外心， ∴A1，B1，C1分别是△ABC各边的中点， 设等边△ABC的边长为a，则根据三角形中位线定理，得出△A1B1C1的边长为a， 同理，等边△A2B2C2的边长为（）a， …， 等边△A5B5C5的边长为（）a． 又∵△ABC∽△A5B5C5，△ABC的面积为1， 5225 ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com ∴△ABC的面积：△A5B5C5的面积=[a：（）a]， ∴△A5B5C5的面积=． 52故选D． 点评： 此题综合运用了等边三角形的性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定及性质，综合性较强，难度中等． 5．（5分）如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，若某人不亚于其他99人，我们就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中，棒小伙子最多可能有（ ） A．1个 B． 2个 C． 50个 D． 100个 考点： 推理与论证． 分析： 因为求得最多是多少人，且如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，我们可把这一百个小伙子用A1～A100来表示，然后根据体重和身高两个条件找出答案． 解答： 解：先退到两个小伙子的情形，如果 ?? ??甲的身高数＞乙的身高数，且 ?? ??乙的体重数＞甲的体重数 ?? ??可知棒小伙子最多有2人． ?? ??再考虑三个小伙子的情形，如果 ?? ??甲的身高数＞乙的身高数＞丙的身高数，且 ?? ??丙的体重数＞乙的体重数＞甲的体重数 ?? ??可知棒小伙子最多有3人． ?? ??这时就会体会出小伙子中的豆芽菜与胖墩现象． ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com ?? ??由此可以设想，当有100个小伙子时，设每个小伙子为Ai，（i=1，2，…，100），其身高数为xi，体重数为yi，当 ?? ??y100＞y99＞…＞yi＞yi﹣1＞…＞y1且 ?? ??x1＞x2＞…＞xi＞xi+1＞…＞x100时， ??由身高看，Ai不亚于Ai+1，Ai+2，…，A100； ?? ??由体重看，Ai不亚于Ai﹣1，Ai﹣2，…，A1 ??所以，Ai不亚于其他99人（i=1，2，…，100） ??所以，Ai为棒小伙子（i=1，2，…，100） ??因此，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有 100个． 故选D． 点评： 本题考查推理和论证，关键注意本题有身高和体重两种情况，少有一项大，就称作不亚于，从而可求出解． 6．（5分）某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： ①② ②③ ③④ ④⑤ ⑤① 水管编号 2 15 6 3 10 时间（小时） 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（ ） ① ② ④ A．B． C． D． ③或⑤ 考点： 分式方程的应用． 分析： ①②用2小时，②③用15小时，所以①的速度要比③快，②③用15小时，③④要用6小时，所以④比②进水速度快，③④用6小时，④⑤用3小时，所以⑤比③进水速度快，④⑤用3小时，⑤①用10小时，④比①进水速度快，①②用两个小时，⑤①用10个小时，所以②比⑤进水快． 解答： 解：根据以上分析可得到：进水速度①＞③；④＞②；⑤＞③；④＞①；②＞⑤． 所以最快的是④． 故选C． 点评： 本题考查识别表格的能力，关键根据表格中两个水管灌满水的时间，两个两个横向比较，找到最快的． ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com 7．（5分）如图，已知等腰梯形ABCD的腰AB=CD=m，对角线AC⊥BD，锐角∠ABC=α，则该梯形的面积是（ ）

22222msinα 2mcosα A．B． C． D． m（sinα） m（cosα） 考点： 解直角三角形；等腰梯形的性质． 专题： 计算题． 分析： 在等腰梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，所以，AC=BD，则，∠ACB=45°；利用正弦定理得，，可得出AC的值，所以，S等腰梯形ABCD=×AC×BD，代入数值，解答出即可． 解答： 解：在等腰梯形ABCD中，对角线AC⊥BD， ∴AC=BD，则，∠ACB=45°， 又∠ABC=α，AB=CD=m， ∴由正弦定理得，∴AC=msinα÷sin45°， =msinα， ∴S等腰梯形ABCD=×AC×BD， =×2， msinα×2msinα， =m（sinα）． 故选B． 点评： 本题考查了直角三角形、等腰梯形的性质，注意题目中的隐含条件，∠ACB=∠DBC=45°，是解答本题的关键． 8．（5分）△ABC有一边是另一边的2倍，又有一个内角等于30°，则下列正确的是（ ） A．△ABC不是直角三角形 B． △ABC不是锐角三角形 △ABC不是钝角三角形 C．D． 以上答案都不对 考点： 三角形边角关系． 专题： 分类讨论． 分析： 设△ABC中，∠A=30°，因为题意表述有一边是另一边的2倍，没有具体指出哪两条边，所以需要讨论，①a=2b，利用大边对大角的知识可得出B＜A，利用不等式可表示出C的角度范围，②b=2c，利用大边对大角的知识可得出C＜A，利用不等式可表示出B的角度范围，③c=2a，利用直角三角中，30°角所对的边等于斜边的一半，可判断C为90°．综合三种情况再结合选项即可做出选择． 解答： 解：设△ABC中，∠A=30°， ①若a=2b，则B＜A（大边对大角）， ∴C=180°﹣A﹣B＞180°﹣2A=120°，即C为钝角， ∴△ABC是钝角三角形． ②若b=2c，a=b+c﹣2bccosA=5c﹣2∴C＜A（大边对大角），

2222c，2=5﹣2＞1，可得a＞c， ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com ∴B=180﹣A﹣C＞180°﹣2A=120°，即B为钝角， ∴△ABC是钝角三角形； ③c=2a，在直角三角形中30°所对的边为斜边的一半，可得C=90°，即△ABC是直角三角形． 综上可得△ABC可为直角三角形、钝角三角形，不能为锐角三角形． 故选B． 点评： 本题考查三角形的边角关系，解答本题需要掌握在三角形中“大边对应大角”，及直角三角形的性质：在直角三角形中30°所对的边为斜边的一半，难度较大，注意分类讨论． 9．（5分）正五边形广场ABCDE的周长为400米，甲，乙两个同学做游戏，甲从A处，乙从C处同时出发，沿A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣A的方向绕广场行走，甲的速度为每分钟50米，乙的速度为每分钟46米．在两人第一次刚走到同一条边上的那一时刻（ ） A．甲不在顶点处，乙在顶点处 B． 甲在顶点处，乙不在顶点处 甲乙都在顶点处 C．D． 甲乙都不在顶点处 考点： 一元一次方程的应用． 专题： 应用题． 分析： 根据二人在1条边上，二人地距离差小于或等于80米，由甲乙的速度与起始位置，求出甲乙相距80米的时间，然后推算此时甲乙的位置即可作出判断． 解答： 解：由题意得：正方形的边长为80米， ①二人在1条边上，二人的距离差小于或等于80米． ②甲在A点，乙在C点，二人的距离差是160米，甲要追回80米需要的时间是80÷（50﹣46）=20分钟． ③20分钟甲走了1000米，正好走到CD的中点设为F；20分钟乙走920米走到DE距D点40米处设为G． ④甲从F走到D是40÷50=0.8分钟；乙用0.8分从G点走出0.8×46=36.8米，距E点80﹣36.8﹣40=3.2米． ⑤由此得知甲走到D点时，乙走在DE线上距E3.2米处． 故选B． 点评： 本题考查一元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意得出二人在1条边上，二人的距离差小于或等于80米是关键． 10．（5分）二次函数y=﹣x+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值=﹣（t﹣3）+2，则t的取值范围是（ ） 0≤t≤3 t≥3 t=0 A．B． C． D． 以上都不对 考点： 二次函数的最值． 专题： 计算题． 分析： 将标准式化为顶点式为y=﹣x2+6x﹣7=﹣（x﹣3）2+2，由t≤x≤t+2时，y最大值=﹣（t﹣3）2+2，当x≥3时，y随x的增大而减小，由此即可求出此题． 22解答： 解：∵y=﹣x+6x﹣7=﹣（x﹣3）+2， 当t≤3≤t+2时，即1≤t≤3时，函数为增函数， 22

ymax=f（3）=2，与ymax=﹣（t﹣3）+2矛盾． 22当3≥t+2时，即t≤1时，ymax=f（t+2）=﹣（t﹣1）+2，与ymax=﹣（t﹣3）+2矛盾． 2当3≤t，即t≥3时，ymax=f（t）=﹣（t﹣3）+2与题设相等， 故t的取值范围t≥3， 故选C． 点评： 本题考查了二次函数的最值，难度较大，关键是判断出当x≥3时，y随x的增大而减小，由此此解决这类题． 二、填空题（每小题5分，共30分）

11．（5分）如图，半圆的直径AB长为2，C，D是半圆上的两点，若在直径AB上，则CP+PD的最小值为

2的度数为96°，的度数为36°，动点P

．

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考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系． 分析： 首先将圆补成整圆．再作D点的对称点，利用垂径定理以及解直角三角形求出CD即可，进而得出CP+PD的最小值． 解答： 解：将半圆补成整圆，作D点关于直径AB的对称点D′，连接CD，作ON⊥CD， ∵的度数为96°，的度数为36°， ∴∠DOB=36°， ∠AOC=96°， ∴∠COD=48°， ∴∠BOD′=36°， ∴∠COD′=36°+36°+48°=120°， ∵半圆的直径AB长为2， ∴∠OCN=30°， ∴ON=， ∴CN=∴CD=， ∵CD=PC+PD， ∴PC+PD=． 故答案为：． =， 点评： 此题主要考查了垂径定理以及勾股定理和圆心角、弧、弦心距定理等知识，作出正确辅助线补全圆是解题关键． 12．（5分）已知正数a和b，有下列结论： （1）若a=1，b=1，则（3）若a=2，b=3，则

≤1；（2）若a=，b=，则≤；（4）若a=1，b=5，则

； ．

．

根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则ab≤ 考点： 二次根式的化简求值． 专题： 阅读型． 分析： 观察题目所给出的4个结论可得出的一般式为：；将6和7代入即可得出的范围，从而可得ab的取值范围．

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www.jyeoo.com 解答： 解：由已知可得出为一般结论： 若a、b均正数，则有所以当a=6，b=7时，有即ab． ； ， 点评： 本题考查了根据已知条件总结规律，并对二次根式求值的问题． 13．（5分）如果满足||x﹣6x﹣16|﹣10|=a的实数x恰有6个，那么实数a的值等于 10 ． 考点： 解一元二次方程-因式分解法；绝对值． 专题： 开放型． 分析： 可以根据函数的图象，先画出y=x2﹣6x﹣16图象，x轴以下向上反射得到的图象再向下平移10个单位后，2

再次将x轴以下反射上去，得到y=||x﹣6x﹣16|﹣10|的图象，因为y=a的图象是一条横线，通过图象得a=10（唯一解）． 解答： 解：如图，a=10时，两函数有六个交点． 故a=10． 2 点评： 本题考查了含绝对值的二次函数，画出图象，通过数形结合即可轻松解答． 14．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，将矩形ABCD沿对角线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是

．

考点： 翻折变换（折叠问题）；三角形的面积；勾股定理． 分析： 由图形可知：折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是原矩形的面积减去重合的部分的面积，只要求出重合的部分的面积即三角形AEC的面积即可，利用勾股定理求出EC答案可得． 解答： 解：设折叠后所成圆形覆盖桌面的面积为S，则： ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com ， 由Rt△ABE≌Rt△CD1E知EC=AE， 222设EC=x，则AB+BE=x， 222即5+（12﹣x）=x， 解得：故答案为：． ， 点评： 本题考查了图形的翻折问题、三角形的面积及勾股定理；利用勾股定理求得EC的大小，从而求得重合部分的面积是正确解答本题的关键． 15．（5分）已知x，y均为实数，且满足xy+x+y=12，xy+xy=32，则x+xy+y= ﹣24或420 ． 考点： 根与系数的关系． 33分析： 对所给条件进行因式分解，分别求得x+y与xy的值，把x+xy+y进行转化，利用x+y，xy来表示，答案可得． 解答： 解：∵， 2233

解得 当得 33或 时， ， x+xy+y=（x+y）[（x+y）﹣3xy]+xy=4×（16﹣24）+8=﹣24； 当 332时， 2x+xy+y=（x+y）[（x+y）﹣3xy]+xy=8×（64﹣12）+4=420． 故答案为﹣24或420． 点评： 本题考查了因式分解的应用；利用方程组求得x+y与xy的值是正确解答本题的关键，此外要注意本题要思考全面，不能漏解． 16．（5分）5只猴子一起摘了1堆桃子，因太累了，它们决定，先睡一觉再分．过了不知多久，来了第一只猴子，它见别的猴子没来，便将这堆桃子平均分为5堆，结果还多1个，就把多余的这个吃了，取走自己应得的1份．又过了不知多久，来了第2只猴子，它不知道有1个同伴已经来过了，还以为自己是第1个到的，也将地上的桃子平均分为5堆，结果也多1个，就把多余的这个吃了，取走自己应得的1份．第3只，第4只，第5只猴子都是这样…．则这5只猴子至少摘了 3121 个桃子． 考点： 整数问题的综合运用． ﹣（﹣）分析： 根据设原有数量为5a+1，可列出式子得出规律，即原有桃子总量：aaa1=b，即可求出5×624+1=3121个． 解答： 解：设原有数量为5a+1， 可列出式子，原有：5a+1 1、（5a+1）﹣1﹣=4a， ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com 2、4a﹣1﹣3、4b﹣1﹣4、4c﹣1﹣5、4d﹣1﹣就是 e=d=c=b=， ， ， ， =4b， =4c， =4d， =4e， 整理得：256a﹣625e=369 可列出式子： a=99999﹣625t， e=40959﹣256t， 可看出，当t=159时，a有最小值624，e为255， 原有桃子总量：5×624+1=3121个， 以上是一般计算法，此类题还可用一种简捷法算出： 设有a个猴子，共有b个桃子，有关系式： ∴a=b， 5﹣（5﹣1）此例a=5，所以 b=5=3121， 故答案为：3121． 点评： 此题主要考查了整数问题的综合应用，根据已知得出 设有a个猴子，共有b个桃子，有关系式 aa求出是解题关键． 三、解答题（第17题8分，第18题、第19题各10分，第20题12分，共40分）： 17．（8分）若关于x的方程 考点： 解分式方程． 分析： 先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出k的值． 解答： 解：原方程化为kx2+（2﹣3k）x﹣1=0①． a﹣（a﹣1）﹣（a﹣1）=b只有一个解（相等的解也算作一个），试求k的值与方程的解．

（1）当k=0时，原方程有一个解，x=； （2）当k≠0时，方程①△=5k+4（k﹣1）＞0，总有两个不同的实数根， 由题意知必有一个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是0或1，显然0不是①的根， 故x=1，得k=． 综上可知当k=0时，原方程有一个解，x=； 22 ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com k=时，x=﹣2． 点评： 本题考查了解分式方程．注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能是转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析． 18．（10分）已知：点A（6，0），B（0，3），线段AB上一点C，过C分别作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，若四边形ODCE为正方形． （1）求点C的坐标；

（2）若过点C、E的抛物线y=ax+bx+c的顶点落在正方形ODCE内（包括四边形上），求a的取值范围； （3）在（2）题的抛物线中与直线AB相交于点C和另一点P，若△PEC∽△PBE，求此时抛物线的解析式．

2

考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）根据待定系数法可以求出AB的解析式．C点的横纵坐标相等，因而可以设坐标是（a，a）．代入直线AC的解析式，就可以求出C的坐标． （2）C、E的坐标已得到，把这两点的坐标代入函数的解析式，就可以得到a，b，c的两个关系式，顶点落在正方形ODCE内，即顶点的纵坐标一定大于或等于0且小于2．就可以得到a的范围． （3）直线AB的解析式可以求得是，过点P作PH⊥EB于点H，易证△PEH∽△CBE，可设P），根据待定系数法就可以求出函数的解析（m，﹣2m+2），根据P在直线AB上，可以求出P（式． 解答： 解：（1）设直线AB的函数解析式：y=kx+b 则， 解得， ∴．（2分） ， 由题意可设C（a，a），则有解得a=2， ∴C（2，2）．（3分） （2）由（1）可得E（0，2） ∵抛物线的顶点在正方形内，且过C，E两点， ∴a＞0，且抛物线的对称轴为x=1，（14分） ∵， ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com 即b=﹣2a， ∴顶点纵坐标；∴由题意得0≤2﹣a＜2， 解得0＜a≤2．（6分） （3）∵△PEC∽△PBE ∴，∠PEB=∠ECB．（8分） ．（5分） 过点P作PH⊥EB于点H，可知△PEH∽△CBE ∴ ∴可设P（m，﹣2m+2） ∵P在直线∴解得∴P（上， ， （10分） ）， 设抛物线y=a（x﹣1）+k，可知2． 解得， ∴．（12分） 点评： 本题主要考查了待定系数法求函数的解析式．以及相似三角形的性质，对应边的比相等． 19．（10分）在一圆中，两条弦AB，CD相交于点E，M为线段EB之间的点（不包括E，B）．过点D，E，M的圆在点E的切线分别交直线BC，AC于F，G．若

，求

（用t表示）．

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考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 作辅助线：连接AD，MD，BD，构造相似三角形△CGE∽△BDM，根据相似三角形的对应边成比例求得①；然后再通过相似三角形△CEF∽△AMD的对应边成比例求得值即可． 解答： 解：连接AD，MD，BD． ∵∠DMB=∠CEG，GF是⊙DEM的切线， ∴∠G=∠BDM， ∴△CGE∽△BDM， ∴；① ②；最后根据①②求得的∴△CEF∽△AMD， ∴；② ==． ①×②得： 点评： 本题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握． 20．（12分）整数x0，x1，x2，x3，…，x2003满足条件：x0=0，|x1|=|x0+1|，|x2|=|x1+1|，|x3|=|x2+1|，…，|x2003|=|x2002+1|． （1）试用仅含x2003的代数式表示|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|， （2）求|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|的最小值． 考点： 绝对值函数的最值． 专题： 规律型． 分析： （1）将各等式进行平方运算，可去掉绝对值，表示出x20032，然后进行化简运算即可得出答案． （2）根据已知得出当x0=x2=x4=x1960=0，x1=x3=x5=x1959=﹣1，x1961=1，x1962=2，x1963=3，x2003=43时，等号成立进而求出即可． 解答： 解：（1）由已知得： ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com 于是x2003=x0+2（x0+x1+x2+x2002）+2003， 又∵x0=0， 22∴2（x1+x2+x2003）=x2003+2x2003﹣2003=（x2003+1）﹣2004， 即|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|=|（x2003+1）﹣2004|． （2）由于x1+x2+x3+…+x2002+x2003为整数，则x2003+1是偶数， 22比较|44﹣2004|与|46﹣2004|的大小，可得： |x1+x2+x3+…+x2002+x2003|≥|44﹣2004|=34． 当x0=x2=x4=x1960=0，x1=x3=x5=x1959=﹣1，x1961=1，x1962=2，x1963=3，x2003=43时，等号成立． 所以|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|的最小值为34． 点评： 此题考查了含有绝对值的函数最值问题，虽然以计算为载体，但首先要有试验观察和分情况讨论的能力． 2222 ?2010-2013 菁优网

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参与本试卷答题和审题的老师有：wangjc3；wdxwzk；zhjh；zjy011；lk；b000；zhangCF；mrlin；HLing；caicl；sd2011；zhqd；WWF；gbl210；星期八；xiawei；心若在；sjzx（排名不分先后） 菁优网

2013年3月4日

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