2007-2012年宁夏高考数学（理科）试卷及答案 - 图文

2007-2012年宁夏高考理科数学试卷及答案

2007年（宁夏卷）数学（理科）试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题p:?x?R，sinx≤1，则（ ）

A．?p:?x?R，sinx≥1 B．?p:?x?R，sinx≥1 C．?p:?x?R，sinx>1 D．?p:?x?R，sinx>1

2．已知平面向量a=（1，1），b（1，－1），则向量

13a?b?（ ） 22A．（－2，－1）B．（－2，1）C．（－1，0）D．（－1，2） 3．函数y?sin?2x?

??? 2?? 3??π??π?在区间的简图是（ ） ?，π???3??2?y y 1 1 ? x

? ?? ?3O 2O ? 6A． ?1 ? 6? x

y ? ?1B ． y ?? 6?? 21 ? ? O ?62? 31 x ?1 C． O D?1 ． ? 3? x

4．已知{an}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（ ）

A．?2 3B．?1 3C．

1 3D．

2 35．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ）

A．2450 B．2500 C．2550 D．2652

6．已知抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3， 则有（ ）

A．FP1?FP2?FP3 B．FP1?FP222?FP3

2C．2FP2?FP1?FP3 D．FP22?FP·FP3 1(a?b)27．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（ ）

cdA．0 B．1 C．2 D．4

8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）

A．

4000380003cmB．cmC．2000cm3D．4000cm3 339．若

cos2?2，则cos??sin?的值为（ ） ??π?2?sin????4??1177 B．? C． D．

22221x2A．?10．曲线y?eA．

在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

92e B．4e2 C．2e2 D．e2 211．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5

s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）

A．s 3>s 1>s 2B．s 2>s 1>s3C．s 1>s 2>s3D．s 2>s3>s1

12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1:h2:h?（ ）

乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 A．3:1:1B．3:2:2C．3:2:2D．3:2:3 第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 。 14．设函数f(x)?(x?1)(x?a)为奇函数，则a= 。

x?5?10i? 。（用a+bi的形式表示，a，b?R）

3?4i15．i是虚数单位，

16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种。（用数字作答）

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D。现测得?BCD??，?BDC??，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为?，求塔高AB。

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，?BAC?90°，O为BC中点。

（Ⅰ）证明：SO?平面ABC； （Ⅱ）求二面角A—SC—B的余弦值。 19．（本小题满分12分）

x2?y2?1有两个不在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆2同的交点P和Q。

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量

????????????OP?OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。

20．（本小题满分12分）

如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为

mS，n假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目。

（Ⅰ）求X的均值EX；

（Ⅱ）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间（－0.03，，0.03）内的概率。

附表：P(k)??Ct?0kt10000?0.25t?0.7510000?t

K P（k）

2424 0.0403 2425 0.0423 2574 0.9570 2575 0.9590 21．（本小题满分12分）

设函数f(x)?ln(x?a)?x2

（Ⅰ）若当x=－1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于lne。 222．请考生在A、B、C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

A（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在?PAC的内部，点M是BC的中点。

（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆； （Ⅱ）求?OAM??APM的大小。

B（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为??4cos?，???4sin?。 （Ⅰ）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程。

C（本小题满分10分）选修4－5；不等式选讲设函数f(x)?2x?1?x?4。

（Ⅰ）解不等式f（x）>2； （Ⅱ）求函数y= f（x）的最小值。

参考答案

一、选择题

1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C

7．D 8．B 9．C 10．D 11．B 12．B 二、填空题

13．3 14．?1 15．1?2i 16．240 三、解答题

17．解：在△BCD中，?CBD?π???? 由正弦定理得

BCCD?

sin?BDCsin?CBD所以BC?CDsin?BDCs?sin??

sin?CBDsin(???)s?tan?sin?

sin(???)在Rt△ABC中，AB?BCtan?ACB?18．证明：

（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC?SA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以

OA?OB?OC?2SA，且AO?BC，又△SBC为等腰三角形，故SO?BC， 且2SO?2SA，从而OA2?SO2?SA2 2所以△SOA为直角三角形，SO?AO 又AO?BO?O． 所以SO?平面ABC （Ⅱ） 解法一：

，OM取SC中点M，连结AM，由（Ⅰ）知SO?OC，SA?AC，得

OM?SC，AM?SC

∴?OMA为二面角A?SC?B的平面角．

由AO?BC，AO?SO，SO?BC?O得AO?平面SBC

所以AO?OM，又AM?3SA， 2故sin?AMO?AO26 ??AM333 3所以二面角A?SC?B的余弦值为

解法二：

以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系

O?xyz．

，0，0)，则C(?1，0，，0)A(01，，，0)S(0，01)， 设B(1?11?SC的中点M??，0，?，

?22?z ??????1?1??????11????MO??，0，??，MA??，1，??，SC?(?1，0，?1)2222????

S M ?????????????????∴MO·SC?0，MA·SC?0

O A y C

?????????故MO?SC，MA?SC，

??????????????????MO·MA3cos?MO，MA??????， ??????3MO·MA所以二面角A?SC?B的余弦值为3 319．解：

（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为

y?kx?2，

代入椭圆方程得

x2?(kx?2)2?1 2整理得 ??1??k2?x2?22kx?1?0 ① ?2?直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

?1???8k2?4??k2??4k2?2?0，

?2???2??222??，?∞或k?．即k的取值范围为??∞， ???????2??222??解得k??????????（Ⅱ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP?OQ?(x1?x2，y1?y2)，

42k ② 21?2k由方程①，x1?x2??又 y1?y2?k(x1?x2)?22 ③

????而A(2，，0)B(01)，，AB?(?21)，

????????????所以OP?OQ与AB共线等价于x1?x2??2(y1?y2)，

将②③代入上式，解得k?2 2由（Ⅰ）知k??20．解：

22或k?，故没有符合题意的常数k 22每个点落入M中的概率均为p?1 4依题意知X~B?10000，?

??1?4?（Ⅰ）EX?10000?1?2500 4（Ⅱ）依题意所求概率为P??0.03???X??4?1?0.03?，

10000?X??P??0.03??4?1?0.03??P(2425?X?2575)

10000??2574?t?2426?Ct10000?0.25t?0.7510000?t

2574?t?2426?Ct10000?0.25?0.75t10000?tt??C10000?0.25t?0.7510000?1 t?02425=0.9570-0.0423 =0.9147

21．解：

（Ⅰ）f?(x)?1?2x， x?a3 2依题意有f?(?1)?0，故a?2x2?3x?1(2x?1)(x?1)?从而f?(x)? 33x?x?223?3?f(x)的定义域为??，?∞?，当??x??1时，f?(x)?0；

2?2?当?1?x??当x??1时，f?(x)?0； 21时，f?(x)?0 2从而，f(x)分别在区间??，?1?，?∞?单调增加，在区间??1，???，?3?2??1??2????1??单调减少 2?

2x2?2ax?1（Ⅱ）f(x)的定义域为(?a， ?∞)，f?(x)?x?a方程2x?2ax?1?0的判别式??4a?8 （ⅰ）若??0，即?2?a?222，在f(x)的定义域内f?(x)?0，故f(x)的极值

（ⅱ）若??0，则a?2或a??2 (2x?1)2若a?2，x?(?2 ，∞?)，f?(x)?x?2??2??22?????，?∞?当x??时，f(x)?0，当x???2，时，f?(x)?0，所以f(x)?????222????无极值

(2x?1)2若a??2，x?(2?0，f(x)也无极值 ，∞?)，f?(x)?x?2（ⅲ）若??0，即a?有两个不同的实根2或a??2，则2x2?2ax?1?0?a?a2?2?a?a2?2，x2? x1?22当a??2时，x1??a，x2??a，从而f?(x)有f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极值

当a?2时，x1??a，x2??a，f?(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值判

别方法知f(x)在x?x1，x?x2取得极值．

综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，∞?)

f(x)的极值之和为

f(x1)?f(x2)?ln(x1?a)?x12?ln(x2?a)?x22

1e?ln?a2?1?1?ln2?ln

2222．

P A B O M C A解：

（Ⅰ）证明：连结OP，OM 因为AP与⊙O相切于点P，所以

OP?AP

因为M是⊙O的弦BC的中点，所以

OM?BC

于是?OPA??OMA?180°，由圆心O在?PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，，P，O，M四点共圆 所以A，P，O，M四点共圆，所以?OAM??OPM． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A由（Ⅰ）得OP?AP

由圆心O在?PAC的内部，可知?OPM??APM?90° 所以?OAM??APM?90° B解：

解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。

（Ⅰ）x??cos?，y??sin?，由??4cos?得?2?4?cos? 所以x?y?4x

即x?y?4x?0为⊙O1的直角坐标方程。 同理x?y?4y?0为⊙O2的直角坐标方程。

222222?x2?y2?4x?0，?（Ⅱ）由?2 2??x?y?4y?0?x1?0，解得 ?

y?0，?1?x2?2 ?y??2?20)和(2，?2)过交点的直线的直角坐标方程为y??x 即⊙O1，⊙O2交于点(0，C解：

（Ⅰ）令y?2x?1?x?4，则

y y?2 O 1? 24 x 1??x?5， x≤?，?2?1?y??3x?3， ??x?4， ．．．．．．3分

2??x?5， x≥4．??2)和?，作出函数y?2x?1?x?4的图象，它与直线y?2的交点为(?7，2?

?5?3??所以2x?1?x?4?2的解集为(??，?7)??，???

?5?3??（Ⅱ）由函数y?2x?1?x?4的图像可知，当x??值?1时，y?2x?1?x?4取得最小29 2

2008年普通高等学校统一考试（宁夏卷）

数 学（理）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分) 1.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图象如下：

那么ω=（ ） A. 1

B. 2

C. 12 D. z2?2z2.已知复数z=1-i，则等于（ ）

z?1A. 2 i B. －2i

13 C. 2 D. －2

3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值

为（ ）

5A. 18 B.

373 C. D. 482S44.设等比数列{an}的公比q?2，前n项和为Sn，则 a2

等于（ ） A. 2

B. 4

C.

1517 D. 225.右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A. c > x

6.已知a1?a2?a3?0，则使得(1?aix)2?1(i?1,2,3)都成立的x取值范围是（ ）

A.（0，

第5题图

B. x > c

C. c > b

D. b > c

1） a1 B. （0，

2） a1 C. （0，

1） a3 D. （0，

2） a37.

3?sin70? 等于（ ） 22?cos10?A.

1 2 B.

2 2 C. 2 D.

3 28.平面向量a，b共线的充要条件是（ ） A. a，b方向相同

B. a，b两向量中至少有一个为零向量

1

2

b=0

C. ?λ∈R，b=λa

D. 存在不全为零的实数?1，?2，λ

a+λ

9.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（ ）

A. 20种

甲

8

7 7 8

5 5 3 9 5 7

B. 30种

C. 40种 乙

D. 60种

10.由直

线

3 5 4 3 4 5 4 1 0 2 1 0 3 1 27 28 29 30 31 32 33 4 2 4 2 0 1 5 6 3 2 3 7 5 2 6 5 4 7 6 7 8 9 8

x?12，x=2，曲线

y?1x及x轴所围图形的面

积为（ ）

A.

15 4 B.

17 4 C.

1ln2 2

D. 2ln2

11. 已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之

和取得最小值时，点P的坐标为（ ） A. （

1，－1） 4 B. （

1，1） 4 C. （1，2） D. （1，－2）

12.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（ ） A. 22

B. 23

C. 4

D. 25

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知向量a=(0,-1,1)，b=(4,1,0)，|λa+b| =29且??0，则?= ____________.

x2y2??1的右顶点为A，右焦点为F,过点F平行于双曲线的一条渐近线的 14.设双曲线

916直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为______________.

15.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该

六棱柱的体积为

9，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________. 816.从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：

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