概率论与数理统计(第二版-刘建亚)习题解答——第2章

概率论与数理统计（刘建亚）习题解答——第二章

2－1 解：

不能。因为 (1)P(X1=-1)=-0.5<0;(2)åP(X2=xi)=0.85 0。 2－2 解：

2－3 解：

取法：n=C54，X的取值：0，1，2，3。所以

P(X=k)=

C3×C12

C

415k

4-k

(k=0,1,2,3)，分布列为

2－4 解：

由概率的规范性性质

N

N

å

aNa2

k

P(X=k)=

1，得：

(1)(2)

邋P(X=k)=

k=1ゥ

k=1

=a=1;=a=1;

\\

a=1

a=1

邋P(X=k)=

k=1

k=1

2－5 解：

3骣1÷

P(X=k)=?ç÷ç

桫4ç4÷

k-1

(k

2n-1

1,2, )

3骣1÷

P(X=2n)=?çç÷

桫4ç4÷

ゥ

(n1,2, )

1

=3

2

4骣1÷1-ç÷çç桫4÷?

15

P(X=偶数)=

邋P(X=2n)=

k=1

34

k=1

骣1÷

ç÷çç桫4÷

2n-1

2－6 解：

P(X?4)

2－7 解：n重贝努利试验，X~B(20,0.1) 解法一：

3317

p(1-p)=0.1901； （1）P(X=3)=C20

16

P(7＃X10)=

12

。

（2）P(X?3)

1-P(X?2)

1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=0.3231；

2；P(X=2)=0.2852。

（3）最可能值：k=[(n+1)?0.1]

解法二：利用泊松定理，P(X=k)蛔

2

3

l

k

k!

e

-l

(k=0,1, )，l=np=20?0.12

（1）P(X=3)=（2）P(X?3)

3!

e

-2

=0.1804；

1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=0.3233

2；P(X=2)=0.2707

1-P(X?2)

（3）最可能值：k=[(n+1)?0.1]

2－8 解：

X~B(n,p),n=

7>30

1p0=,

1365

<

0 .l1=np=2 ，令

由泊松定理知 P(X=k)蛔l

k

-l

k!

e(=k

0, 1 ,

)

P(X?2)1-P(X?1)-1-2

e3=

0。.5 940

2－9 解： kk X~B(20,0.2),

P(X=k)=C10p(1-p)

10-k

(k=0,1, )

P(X?4)

1-P(X?3)

0.1209

2－10 解：

X~B(100,0.01), n=100>10,p=0.01<0.1

l=np=1

近似看作 X~P(l，设同时出现故障的设备数为)

X，N为需要的维修工数，由题意P(X>

N)<

0.0，故1

N

P(X>N)=1-P(X；N)1-

邋l

k

¥

-l

l

k

l

k!e

=

k=0

k=N+1

k!

e

-<0.01

查泊松分布表得 N+1＝5，即 N＝4。 2－11 解：

X~B(50000,

0.0001)

l=np=5

k

泊松定理知 Pn(X=k)蛔

l

5

k

5

k!

e

-l

=

k!

?e

-k(

0, 1 ,

)

P(X=0)蛔

5

-5

0!

e=6.738 10

-3

¥

k

P(X<5)=1-P(X郴5)

1-

å

l

k=5

!

e

-l

k=1-0.5595

2－12 解：

X~P(l)

l=4

ゥ

(1)P(X=8)=P(X?8)

P(X?9)

邋l

k

-l

-l

k

-l

=0.0297

k=8

k!e

k=9

k!

e

¥

(2)P(X>10)=

å

l

k

l

k=11

k!

e

-=0.00284

2－13 解：

（1） 由概率的规范性 1=（2） P(0.3<X<0.7)=（3） 由题意知 对0＃a

+

1

蝌

-

f(x)d=x

1

cx=d2

，得c c＝2；

ò

0.7

2xdx=0.4

；

1a

0.3

1 有

a

蝌2xdx=

2xdx

得 a2=1-a2 ∴

a=（4） 分布函数定义式：F(x)=

x

ò

f(t)dt

-

当 x<0 时， F(x)=0 ； 当 0?x

1 时， F(x)=0+

ò

x

2tdt=x

2

；

2

当 x³1 时， F(x)=1

ìï0

ïï2

F(x)=ïíx

ïï1ïïî

x<00?xx³1

1

∴

2－14 设随机变量X的概率密度为

ìï

ïïïïïï

f(x)=ïí

ïïïïïïïïî

1329,,

xÎ[0,1]x [3,6] other

0,

若k使得P(X?k)解：由题意知

23

23

，则k的取值范围是多少？

k)

+

=P(X?

ò

+ k

f(x) dx

1

当x<1时，P(X?k) 当x>3时，P(X?k) 所以，当1＃x

蝌

k+

f(x)dx=

k6

1329

6

dx+0+dx+0=

29

dx+0=

23

23

+

13

(1-k)>

23

；

3

蝌

k

f(x)dx=

k+

29

(6-k)<

6

。

23

3时，P(X?k)

蝌

k

f(x)dx=0+

3

29

dx+0=

2－15 解：由概率的规范性

+ 1

1=

蝌

f(x)dx=

px=sint

-?

cdt=cp

p\c=

1p

P(X?

12

1

)

ò

-

212

1p

1pp1(+)=p663

2－16 解：

（1）当 x<0 时， f(x)=F'(x)=0 ；

当 x>0 时， f(x)=F'(x)=e-x；

当 x=0 时， F'(x)存在，且F'(0)=0,\f(0)=0

-ìïeï f(x)=í

ï0ïî

x

x>0x£0

,P(X>1)=1-P(X?1)

1-F(1)=e

-1

（2）P(X?4) 2－17 2－18 2－19

2－20 解：

X~e(l)

l=0.1

F(4)=1-e

-4

(1)P(X?10)(2)P(10＃X

ò

+

0.1e

-0.1x

dx=e

-0.1x

-1

-0=0.36788

-1

10

20)=

ò

20

0.1edx=e-e

-2

=0.2325

10

2－21 解：

X~N(160,

0.06)

2

(0.05?0.12)m 2s

P(X-0.05>0.12)=1-P(X-m 2s)

=1-P(m-2s＃Xm+2s)

=1-0.9545

=0.0455

2－22 解：X~N(160,s20)

P(120＃X

200)=F(

200-m120-ms

)-F(0

s

)

=F(

4040

s

)-F(-s

)=2F(

400

s

)-1=0.8

F(

4040s

)=0.9，查表得

s

»1.28

得 s0»31.2 5

2－23

2－24 设随机变量X~N(3,22)。 （1）求P(2<X?5),P(|X|2)； （2）确定c，使得P(X>c)=P(X c)； （3）设d满足P(X>d) 0.9，问d至多为多少？ 解：

（1）

（2）由条件 P(X>c)=

P(X

)c 得

P(X?c)

1-P(X>c)=1-P(Xc),

P(X?c)

0.5

已知 X~N(3,22)，图形关于x=m(=3)轴对称，即P(X?m)∴ x=m=3 （3）

0.5

2－25

2－26* 证明：

∵ X服从几何分布，∴ P(X=k)=qk-1p

P(X=n+k|X?n)

P(X=n+k)P(X?n)

=1-q

n+k-1n

(q=1-p,k=1,2, )

p

k-1

=p

q

1

n+k-1

p

n-1

å

k=1

q

p(1+q+ q)

=

q

n+k-1

p

n

1-p

1-q

=q

k-1

p=P(X=k)

1-q

2－27* 略。

2－28 解：

（1）

（2）

2－29 解：

ì1ï

f(x)=ïí

ïïî0y=-2lnx,[g

-1

0＃x其它(0＃x12e

-y2

1

-1

-y2

1)?xg(y)=e,(0<y<+ ),

(y)]=-

ìï1-ïe

∴ j(y)=ïí2

ïï0ïïî

y2

y>0y£0

2－30 解：

ìï1ïï

f(x)=í6

ïï0ïî

0＃x其它

6

16

13

当 0＃y3时，x-3=鞭y

[g

-1

(y)]=盶1

'

j(y)=(1+1)=

当 y为其它时，j(y)=0，综合得

ìï1ïï

j(y)=í3

ïï0ïî

0＃y其它

3

2－31 解：

（1

）y=2x2+1?(y

11)g

-1

(y)=?

[g

-1

(y)]

'

y-14

∴ 当y>1时

j(y)=

-

y-14

轾-111=

当y£1时 j(y)=0， 综上得

ì-ïïïj(y)=ïíïïïïî0

y-14

y>1y£1

（2）y=x蕹(y

0)g

-1

(y)=?y,-y

2

[g

-1

(y)]'

-

1

y

2

∴ 当y>0时

j(y)=

2

(1+1)=2

当y£0时 j(y)=0， 综上得

ìï-ï

ï

j(y)=ïíïïïïî0

y

2

2

y>0y£0

另一解法：

FY(y)=P(Y?y)

P(X?y)

ìïïP(-y＃Xíïïî0

y)

y 0y<0

而

P(-y＃X

y

y)=

蝌

-y

fX(x)dx=

y

2

1y

e

-y

-

x

2

2

dx=

y

e

-

x

2

2

dx

∴

fY(y)=F2－32* 解：

'

Y

ìï-ï

ï

y(=)ïíïïïïî0

2

y>0y£0

当 k=4n-1时，Y＝1；当k=4n-2或k=4n时，Y＝0；当k=4n+3时，Y＝-1。

ゥ

∴ P(Y=-1)=

邋P(X=4n-1)=

n=1ゥ

1

n=1

2

4n-1

=

215

12

4n-

P(Y=0)=

邋[P(X=4n-2)+P(X=4n)]=

n=1ゥ

n=1

[

+2

12

]=n4

13

P(Y=1)=

邋P(X=4n-3)=

n=1

n=1

12

4n-3

=

815

Y的分布列：

2－33* 略。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k7r4.html