第4章随机变量数字特征习题及答案

天津大学出版社 汤大林版 自己去筛选

第4章 随机变量的数字特征

一、填空题

1、设X为北方人的身高，Y为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于

E(X) E(Y)

2、设X为今年任一时刻天津的气温，Y为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气温变化比北京的大，相当于D(X) D(Y) .

3、已知随机变量X服从二项分布，且E(X) 2.4,D(X) 1.44，则二项分布的参数

n , p .

2要条件是

XYXY当| XY| 1时， X与Y 几乎线性相关 .

9、若D(X) 8,D(Y) 4，且X,Y相互独立，则D(2X Y) . 10、若a,b为常数，则D(aX b) aD(X).

11、若X,Y相互独立，E(X) 0,E(Y) 2，则E(XY) 12、若随机变量X服从[0,2 ]上的均匀分布，则E(X) .

2

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13、若D(X) 25,D(Y) 36, XY 0.4，则cov(X,Y) ，D(X Y)

D(X Y) .

14、已知E(X) 3，D(X) 5，则E(X 2)2 e xx 015、若随机变量X的概率密度为 (x) ，则E(2X) ，

0x 0

E(e 2X)

二、计算题

1、五个零件中有1个次品，进行不放回地检查，每次取1个，设X

2、问平均射]

2

2

E(X) p 2p(1 p) 3(1 p) p 3p 3

答：略

2x

3、设X的密度函数为f(x)

0

0 x 1其它

，求E(X)、D(X)

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解: E(X)

2

xf(x)dx 2x2dx

1

1

2 3

1 02

122122

故 D(X) E(X) (E(X)) ()

2318

E(X)

x2f(x)dx 2x3dx

4、(拉普拉斯分布)X的密度函数为f(x)

解: E(X)

2

1 |x|

e( x )，求. E(X)、D(X) 2

1 x x 2edx 0

2

1 x2 x

E(X) xedx xedx x

002

xe

2

x

0 0

2

xedx 2

x

x

2e x

2

故 D(X) E(X2) (E(X))2

0, x 15、设连续型随机变量XF( a barcsinx, 1 x 1

1, x 1

求 a、b、E(). 解: X

F.

( 1 ) F( 1), a 2b 0 F(1 ) F(1), a b 1

可解得; a

1

, b

1

.

X的概率密度

1

,x 1

f(x) F (x) x2

其它 0,

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E(X)

xf(x)dx

2

1

x

1

x

2

dx=0

D(X) E(X)

1

x2

1

x

1 2

2

dx

2

1

x2 x

2

dx

t，则 令 x sin

D(X)

2

2

sin2tdt

6、一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为0.1、0.2、假设它们的状态相互独立，以X表示同时需调整的部件数，求E(X)、D(X

解: 设Ai表示第i个部件需调整，i=1,2,3 Xi

1, Ai发生

则 X X1 23

0，A不发生，i

E(Xi) P(Ai), D(Xi) P((Ai) i 1,2,3 故 E(X) E(X1) E(X2 E( 0.1 0.2 0.3 0.6

D(X) D(X1) ((X3)

0.1 0.8 0.3 0.7 0.46

7X均匀分布在区间[a,b]内，求圆面积的数学期望.

解: ~(a)，所以X的密度

1

, a x b

f(x) b a

其它 0,

设Y=“圆面积”，则 Y=

4

X2，所以

π2πbx2 E(X) E(X) x (a2 ab b2).

44ab a12

2

8、设随机变量X~e(2)、Y~e(4)，求E(X Y)、E(2X 3Y).

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111, E(Y) , D(Y) 2416

113

所以 E(X Y) E(X) E(Y) .

244

解: 显然 E(X)

E(2X 3Y2) 2E(X) 3D(Y) (E(Y))2

115

1 3( )

16168

9、设

(

求

解: ) 0

(0 0.3 0.1)

10

1

2

2

D(X) E(X) (E(X)) 所以 X

1 6

6(X 1)

yy

FX (y) PX y P6(X 1) y P X 1 FX( 1)

6

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所以

1 1

1d yy(1 y), y 6

fX (y) F( 1) f( 1) X 6Xdy 66 0, 其它

11、设随机变量(X,Y)的密度函数为

2f(x,y)

0

解: E(XY)

xOy

0 x 1,0 y x

其它

G

求E(XY).

xyf(x,y)dxdy 2xydxdy G：0 y 1

10

=2xdx

x

ydy xx2dx

1

1. 4

12、设随机变量X和Y相互独立，且E(X) E(Y) 0,D)(Y) 1，

求 E[(X Y)2].

解:

E(X Y)2 E(X2) E(E(XY)

D( ( D(Y) (E(Y)) 2E(X)E(Y) 2

13、设 二 维 随 机 变 量(,Y 值E(X)、E(Y)存 在 ，

证 明 ： )E(Y) E (X E(X))(Y E(Y)) 。

X E(X) Y E(Y) E(XY) E(X)E(Y) 所以 E(XY) E(X)E(Y) E X E(X) Y E(Y)

2

2

14、证 明 ： 如 果 随 机 变 量 X与 Y 相 互 独 立 ， 且D(X)，D(Y) 存 在 ，

则 D(XY) D(X)D(Y) E(X) D(X) E(Y) D(Y)

2

2

证： D(XY) E[(XY)] [E(XY)]

22

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E(X2Y2) [E(X)E(Y)]2

E(X2)E(Y2) [E(X)]2[E(Y)]2

{D(X) [E(X)]}{D(Y) [E(Y)]} [E(X)][E(Y)] D(X)D(Y) [E(X)]2D(Y) [E(Y)]2D(X)

15、设区域G为x2 y2 1，二维随机变量(X,Y)服从G上的均匀分布，判断X、Y 的相关性、独立性.

解: 显然，二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为

2

2

2

2

1

, (x,y) G

f(x,y)

0, (x,y) G

所以

f

X(x) f(x,y)

2

x2 y 1

其它因此

1

2

1

x x2dx 0

又 E(XY)

xOy

xyf(x,y)dxdy

xydxdy 0

G

1

所以 cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 0 故X、Y不相关，但由于

fX(x)fY(y) f(x,y) 所以X与Y不相互独立.

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16、设随机变量X和Y

证：因为

验证X,Y不相关，但不相互独立.

33

E(X) ( 1) 0 1 0

88

3E(Y) ( 1) 0 8

111

E(XY) ( 1) ( 1) 0 1 1

0

888

所以 故X,Y又 1

8

所以 故X,Y17 1

(x y)

f(x,y) 8

0

0 x 2,0 y 2

其它

求E(X),E(Y),cov(X,Y), XY. 解： E(X)

xOy

xf(x,y)dxdy

2127

dxx(x y)dy 0086

由x,y的“对称性”可得

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E(Y)

7. 6

又 E(XY)

xOy

xyf(x,y)dxdy

2124

dxxy(x y)dy 0083

所以 cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y)

2

2

1

. 36

2125

又 E(X) xf(x,y)dxdy dx x2(x y)dy

0803xOy

由x,y的“对称性”可得 E(Y)

2

5

3

所以

故 18、已 及 方 差 为 1 ， 令U解

：

cov(U, 1

D(U) 2

2

19、设X~N( , ),Y~N( , ),X,Y相互独立

求Z1 X Y,Z2 X Y的相关系数. (其中 , 是不为0的常数) 解：

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cov(Z1,Z2) cov( X Y, X Y)

cov( X, X) cov( X, Y) cov( Y, X) cov( Y, Y) (DX) cov(X,Y) cov(Y,X) D(Y) ( 2 2) 2

因为X,Y相互独立，所以 所以

2

2

D(Z1) D( X Y) 2D(X) 2D(Y) ( 2 2) 2D(Z2) D( X Y) D(X) D(Y) ( )

2

2

2

2

2

ZZ

12

2 2

. 2

2

D(Z1)D(Z2)

cov(Z1,Z2)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k7oi.html