北京市怀柔区2013届九年级(上)期末数学试题(含答案)

怀柔区2012—2013学年度第一学期初三期末质量检测

数 学 试 卷

学校 姓名 准考证号

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．1．3的相反数是（ ）

A. －3 B. 3 C.

11

D. 33

2．中国旅游研究院最近发布报告称，2012年中国出境旅游人数8200万人次，8200万用科学计数法表示为( )

A.82×106 B.8.2×106 C.8.2×107 D. 8.2×108

3.把抛物线y x2向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的表达式（ ） A．y (x 1)2 3 B．y (x 1)2 3 C．y (x 1)2 3 D．y (x 1)2 3． 4．如图，在△ABC中，∠C=900，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为（ ） A．3

B

．4

C．5

D．6

5．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（

） A．

4题图

5题图

1

2

B．

2

C．

2

D．

3

6题图

6

．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ） A．AE＝OE B．CE＝DE

C．OE＝

1

CE 2

D．∠AOC＝60°

7．从1～9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是( ) A．

5242

B． C． D．

9993

8. 如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E、F分别是线段 CD、AB上的动点，设AF=x，AE2－FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（ ）

8题图

A．

B．

C．

D．

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：x﹣x= ．

10．如图，点A、B、C在⊙O上，且BO=BC，则 BAC

3

12题图 11. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点和点（-2，0），则2a -3b0.(填＞、＜或＝)

12.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(秒)(0≤t＜3)，连结EF，当t值为________秒时，△BEF是直角三角形． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）

1

13．计算： 2sin45 3 2013

14．已知x 3y 0，求

2x y

(x y)的值． 22

x 2xy y

15．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A( 2,0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2,n)，连结BO，若S AOB 4．求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式.

k

16．已知反比例函数y＝y＝ax2＋x－1的图象相交于点A（2，2）

x

(1)求a的值；

(2)反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，请说明理由.

17.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．

(1)求证：△ABD∽△CED;

(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．

C

17题图

18． 如图，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形

ADBC的面积.

四、解答题（本题共20分， 每小题5分）

19.某学生参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东45 方向，然后沿北偏东60 方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离．

A

O D

18题图

B

19题图

20．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A,DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB． (1)求证：BC为⊙O的切线；

(2)如图②，连接AE,AE的延长线与BC的延长线交于点G ．若AB 25,AD 2, BC和EG的长．

20

题图①

20

题图②

求线段

21．小赵投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，月内销售单价不变，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y 10x 500． (1)设小赵每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求出最大利润.

(2)如果小赵想要每月获得的利润不低于2000元，那么如何制定销售单价才可以实现这一目标？

22. 操作与实践：

(1)在图①中，以线段m为一边画菱形，要求菱形的顶点均在格点上.（画出所有符合条件的菱形）（4分）

(2)在图②中，平移a、b、c中的两条线段，使它们与线段n构成以n为一边的等腰直角三角形.（画一个即可）（1分）

22题图①

22题图②

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）. (1)求该抛物线的解析式；

(2)设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；

(3)在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标.

24.已知，如图①，∠MON=60°，点A、B为射线OM、ON上的动点（点A、B不与点O重合），且AB=4，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°. (1)求AP的长；

(2)求证：点P在∠MON的平分线上；

(3)如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP. ①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长；②若四边形CDEF．．的周长用t表示，请直接．．写出t的取值范围．

24题图①

24题图②

25. 已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3,BC=2,取AB的中点M，连结

MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO. (1)直接写出点D的坐标；

(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP.

①若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；

②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得TO TB的值最大.若存在，求出T点坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案及评分参考

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

注：12小题3个答案正确给4分，2个给3分，1个给2分. 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13． 解：2

-3+22……………………………………………………………4分 2

=1-2-3+22

=2-2 ……………………………………………………………………5分

14．解：

2x y

(x y) 22

x 2xy y

2x y

(x y) ……………………………………………………………1分

(x y)2

2x y

． ……………………………………………………………3分 x y

当x 3y 0时，x 3y． ……………………………………………………………4分

原式

6y y7y7

． ……………………………………………………………5分

3y y2y2

15． 解：由A( 2,0)，得 OA 2．∵点B(2,n)在第一象限内，S AOB 4．

∴OA n 4．∴n 4． ························································································· 1分 ∴点B的坐标是(2,4)． 设该反比例函数的解析式为y

1

2

a

(a 0)． x

…………………………………2分

a

， ∴a 8． 28

∴反比例函数的解析式为：y ． ········································································· 3分

x

将点B的坐标代入，得 4

设直线AB的解析式为y kx b(k 0)．

2k b 0,

将点A，B的坐标分别代入，得 ······················································ 4分

2k b 4. k 1,

解得

b 2.

∴直线AB的解析式为y x 2． ·········································································· 5分

k

16． 解：(1)∵反比例函数y＝的图象与二次函数y＝ax2＋x－1的图象相交于点（2，2）

x

∴代入得2=4a+2-1…………………………………1分 解得a=

1

.…………………………………2分 4

(2) 反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点,理由如下：

k

∵反比例函数y的图象过点（2，2）

x

k

，解得k=4. ……………………………3分 2

1

由(1)可知二次函数的解析式分别为y＝x2＋x－1

4

1

计算可得二次函数y＝x2＋x－1的顶点坐标为（-2，-2）………………………4分

4

4

∵x=-2时，y==-2. ………………………5分

2

∴代入得2=

∴反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点. 17． (1)证明：∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°． ∵ CE是外角平分线， ∴ ∠ACE＝60°．

∴ ∠BAC＝∠ACE． ………………………1分 又∵ ∠ADB＝∠CDE，………………………2分 ∴ △ABD∽△CED． ………………………3分 （2）解：作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6． ∴ AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°

＝

C

∵ AD＝2CD，∴ CD＝2，AD＝4，MD＝1．

在Rt△

BDM中，BD ………………………4分 由（1

）△ABD∽△CED得，

BDAD，

2，

EDCDED

∴ ED

BE＝BD＋ED＝………………………5分 18． 解：∵AB是直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°. …………………………1分 在Rt△ABC中，AB=6， AC= 2，∴BC=AB－AC 6－2 2 …………2分 ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DAC=∠BCD ⌒=DB⌒， ∴∴ADAD=BD…………3分 ∴在Rt△ABD中，AD=BD=

2

AB2 …………4分 2

A

O D 18

题图

B

11

∴四边形ADBC的面积=S△ABC+S△ABDAC·BC+ AD·BD

2211

=×2×42 + ×2 )2 2 …………5分 22四、解答题（本题共20分， 每小题5分）

19. 解：过P作PD⊥AB，垂足为D，………………1分 则AB=AB+BD,

∴∠A=60∠APD=30，且PA=100米， ∴AD=50米，………………2分 又∵∠B=

∠DPB=45,

∴DB=DP，………………3分

∵DP 分 ∴AB=50+米………………5分

∴景点A与景点B之间的距离为（50+）米. 20. 解：（1）连接OE,OC ∵CB=CE,OB=OE,OC=OC ∴△OBC≌△OEC

。

。

。

∴∠OBC=∠OEC………………1分 又∵与DE⊙O相切于点E ∴∠OEC=90

。

∴∠OBC=90

∴BC为⊙O的切线………………2分 （2）过点D作DF⊥BC于点F， ∵AD,DC,BG分别切⊙O于点A,E,B ∴DA=DE,CE=CB

设BC为x，则CF=x-2，DC=x+2 在Rt△DFC中，(x 2)2 (x 2)2 (2)2 解得：x

。

5

2

∵AD∥BG∴∠DAE=∠EGC ∵DA=DE∴∠DAE=∠AED

∵∠AED=∠CEG ∴∠ECG=∠CEG ∴CG=CE=CB=∴BG=5 ∴AG

5

…………………3分 2

(25)2 52 45 3

∵∠DAE=∠EGC ,∠AED=∠CEG ∴△ADE∽△GCE…………………4分 ∴

3 EG55ADAE2 ,,解得EG …………………5分 CGEG2.5EG3

21． 解：(1)由题意，得：

w =(x－20)·y

=(x－20)·( 10x 500)…………………1分

10x2 700x 10000

x

b

35.…………………2分 2a

此时w=2250…………………3分

(2)由题意，得：

10x 700x 10000 2000

解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．

即小赵想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元. ………4分 ∵a 10 ， ∴抛物线开口向下.

∴当30≤x≤40时，w≥2000．…………………5分

答: (1)当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润,且最大利润为2250元.

(2)如果小赵想要每月获得的利润不低于2000元，那么他的销售单价应不低于30元而不高于40元.

22. 操作与实践（本题5分）

注：(1)小题画对6个4分，5个3分，4个2分，2个1分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23． 解：

（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），

∴设抛物线的解析式为线y=a x 2 1。…………………1分 ∵点B（3，0）在抛物线上，∴0=a 3 2 1，解得a=1

∴该抛物线的解析式为y= x 2 1，即y=x2 4x+3…………………2分 （2）在y=x2 4x+3中令x=0，得y=3,∴C（0，3） ∴OB=OC=3 ∴∠ABC=45…………………3分 过点B作BN⊥x轴交CD于点N， 则∠ABC=∠NBC=45

∵直线CD和直线CA关于直线BC对称， ∴∠ACB=∠NCB

又∵CB=CB，∴△ACB≌△NCB

。

。

2

2

2

2

∴BN=BA

∵A，B关于抛物线的对称轴x=2对称，B（3，0）， ∴A（1，0）

∴BN=BA=2 ,∴N（3，2）…………………4分 设直线CD的解析式为y=kx+b， ∵C（0，3），N（3，2）在直线CD上，

1 b=3 k= ∴ ，解得， 3…………………5分 3k+b=2 b=3

∴直线CD的解析式为y= x+3 （3）设P（2，p）

∵M（2，－1），B（3，0），C（0，3），

∴根据勾股定理，得PM2 p+1 =p2+2p+1，PB2= 3 2 +p2=p2+1，

2

2

1

3

PC2=22+ p 3 =p2 6p+13

∵PM2＋PB2＋PC2＝35，∴p2+2p+1+p2+1+p2 6p+13=35 整理，得3p2 4p 20=0，解得p1= 2，p2= ∴P（2，－2）或（2，24. 解：

(1) 过点P作PQ⊥AB于点Q ∵PA=PB，∠APB=120° ，AB

2

10

. 3

10

）.…………………7分 3

1111AB=×

APQ=∠APB=×120°=60°……………1分 2222

AQ

在Rt△APQ中， sin∠APQ=

AP

∴AQ=∴AP

=

AQ ＝4……………2分

sin APQ（2）证明：过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T…………………3分 ∴∠OSP=∠OTP=90°

在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°， ∴∠APB=∠SPT=120°

∴∠APS=∠BPT…………………………………4分 又∵∠ASP=∠BTP=90°， AP=BP， ∴△APS≌△BPT ∴PS=PT

∴点P在∠MON的平分线上…………………………………………5分 （3） ①

…………………………………………6分 ②

t

分 25. 解：

(1)依题意得：D

3

,2 ；…………………………………………………1分 2

(2) ① ∵OC 3，BC 2，∴B 3,2 .…………………………………2分 ∵抛物线经过原点，

∴设抛物线的解析式为y ax2 bx a 0 又抛物线经过点B 3,2 与点D

3

,2 2

4 a ,9a 3b 2, 9

∴ 9 解得： 3

a b 2 b 2 2 4 3

∴抛物线的解析式为y ∵点P在抛物线上， ∴设点P x,

422

x x.………3分 93

422 x x . 93

422

x

x

PQQO x 1)若 PQO∽ DAO，则，

3DAAO22

解得：x1 0(舍去)或x2 ∴点P

51

， 16

51153

, .……………………4分 1664

2)若 OQP∽ DAO，则

OQPQ

， DAAO

422x xx，解得： 322

9

x1 0(舍去)或x2 ，

2

∴点P

9

,6 ……5分 2

②存在点T，使得TO 的值最大. 抛物线y

3422

x x的对称轴为直线x ，设抛物线与x轴的另一个交点为E，则点

493

3

E ,0 .……………………………………6分 2

∵点O、点E关于直线x ∴TO TE

要使得TO TB的值最大，即是使得TE TB的值最大，

根据三角形两边之差小于第三边可知，当T、E、B三点在同一直线上时，TE TB的值最大.设过B、E两点的直线解析式为y kx b k 0 ，

3

对称， 4

4 3k b 2,

k ,∴ 3 解得： 3

k b 0 2 b 2

∴直线BE的解析式为y

4

x 2.…………………7分 3

当x

343

时，y 2 1. 434

∴存在一点T

3

, 1 使得TO TB最大.………………………8分 4

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