安徽省皖江名校联盟2022届高三第二次联考理科数学试题 Word版含

皖江名校联盟2021届高三第二次联考

数学（理科）

本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意事项：

1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集U R =，集合{}0,1,2,3A =，{B x y ==，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A. {}0,1

B. {}1,2

C. {}0

D. {}0,1,2

2. 已知命题p ：x R ?∈，2230x x -+>，则p ?（ ）

A. x R ?∈，2230x x -+≤

B. x R ?∈，2230x x -+≤

C. x R ?∈，2230x x -+>

D. x R ?∈，2230x x -+≥

3. 定积分

(1213d x x x --=?（ ） A. 12π+ B. 22π+ C. 3π+ D. 4π+

4. 函数cos 22

x x y =的图象大致是（ ） A. B. C. D.

5. 已知命题p ：2

2x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，命题q ：22

162x y m m +=-+表示椭圆，若命题“p q ∧”为真命题，则实数m 的取值范围是（ ）

A. 26m -<<

B. 06m <<

C. 06m <<且2m ≠

D. 26m -<<且2m ≠ 6. 围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3613种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大

约有“连书万字五十二”种，即52

10000，下列最接近52

361100003的是（ ）（注：lg30.477≈） A. 2510 B. 2610 C. 3510 D. 3610

7. 若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x x f x e =

，则满足()()35f f -的值（ ）

A. 恒小于0

B. 恒等于0

C. 恒大于0

D. 无法判断 8. 对x R ?∈，不等式()()21110a x a x -+--<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A. ()3,1-

B. (]3,1-

C. ()4,1-

D. []4,1-

9. 已知4log 5a =，41log 314b ??= ?

??，5log 6c =，则（ ） A. c b a >>

B. c a b >>

C. b c a >>

D. b a c >> 10. 函数()31f x x ax =-+在()2,2-上不单调的一个充分不必要条件是（ ）

A. []0,12a ∈

B. ()0,15a ∈

C. ()0,12a ∈

D. ()1,12a ∈

11. 若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()()2f x f x -=，且当[]0,1x ∈时，

()31x f x =-，

若函数()()()()log 21a g x f x x a =-+>在区间()1,3-上恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）

A. (]3,5

B. ()3,5

C.

D. 12. 已知函数21()1

x x f x x ++=+，()g x x m =-+，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ） A. 179,42??????

B. [)17,9,2??-∞+∞ ???

C. 17,92??????

D. 179,,42?

???-∞+∞ ????

??? 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数2,2()(1),22

x x f x f x x ?≥?=?+

9x m -<，q ：()4log 31x +<，若q ?是p ?的必要不充分条件，则m 的取值范围是_______.

15. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,2x ∈时，()22x f x =-，所以在[]2,6x ∈-上关于x 的方程()()3log 30f x x -+=恰有________个不同的实数根.

16. 已知函数3211()32

x f x ax ax xe =+-有三个极值点，则a 的取值范围是_______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知m R ∈，设p ：[]1,1x ?∈-，222420x x m m --+-≥成立；q ：[]1,2x ?∈，()212

log 11x mx -+<-成立，如果“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围.

18. 已知函数()2

2g x x x a =-+在[]1,x m ∈时有最大值为1，最小值为0. （1）求实数a 的值；

（2）设()()g x f x x =，若不等式1122

log 2log 0f x k x ??-+≤ ???在[]4,8x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围. 19. 已知定义在R 上的函数()()12,2x

x b f x a R b R a

+-=∈∈+是奇函数. （1）若关于x 的方程()0f x m +=有正根，求实数m 的取值范围；

（2）当()1,2x ∈时，不等式()230x

kf x +->恒成立，求实数k 的取值范围. 20. 已知函数()2

12

x x f x kx e =++-（e 为自然对数的底数）. （1）当1k =时，求()f x 在()()0,0f 处的切线方程和()f x 的单调区间；

（2）当[)2,x ∈+∞时，()0f x ≤，求整数k 的最大值.

21. 新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额x （万元）在[]4,8x ∈的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额的50%.经测算政府决定采用函数模型()44x m f x x

=-+（其中m 为参数）作为补助款发放方案. （1）判断使用参数12m =是否满足条件，并说明理由；

（2）求同时满足条件①②的参数m 的取值范围.

22. 已知函数()()1ln 2

f x x ax a R =-∈. （1）若()f x 的最大值为-1，求a 的值；

（2）若存在实数1,,42

m n ??∈????且2m n -≥，使得()()f m f n =，求证：8ln 2ln 23

a ≤≤.

2021届高三第二次联考

理数参考答案

一、选择题

1-5：AABDC 6-10：DCBDD 11-12：CA 1.【解析】由Venn 图知：阴影部分对应的集合为U A C B ，

∵{{}22B x y x x x ===≤-≥或，{}0,1,2,3A =，∴{}22U C B x x =-<<，即{}0,1U A C B =.故选A.

2.【解析】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题p ：x R ?∈，2230x x -+>，

则p ?：x R ?∈，2230x x -+≤.

3.

【解析】(1

1

232111322x x dx x x π--??-=-+ ????111122222ππ=-+++=+，故选B. 4.【解析】由函数解析式可看出，函数的零点呈周期性出现，且x →+∞时，函数值在x 轴上下震荡，幅度

越来越小，而当x →-∞时，函数值在x 轴上下震荡，幅度越来越大.可直接得出答案.

5.【解析】因为命题“p q ∧”为真命题，所以命题p 和命题q 均为真命题，对于命题p ：2

2x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，所以0m >，对于命题q ：22

162

x y m m +=-+表示椭圆，所以6020

62m m m m ->??+>??-≠+?

，解得26m -<<且2m ≠，综上：实数m 的取值范围是06m <<且2m ≠. 6.【解析】由题意，对于52

361100003，得525236136110000lg lg10000lg3524361lg335.83=-=?-?≈， 得52

35.836110000103

≈，可得D 中3610与其最接近.故选D. 7.【解析】当1x <时，()1'0x x f x e

-=->，则()f x 在(),1-∞内是增函数，由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，∴()f x 在()1,+∞内是减函数.∴()()350f f ->.

8.【解析】对x R ?∈，不等式()()2

1110a x a x -+--<恒成立.当1a =时，则有10-<恒成立；当10a -<时，则()()2

1410a a ?=-+-<，解得31a -<<.综上所述，实数a 的取值范围是(]3,1-.故选B. 9.【解析】∵2

1111log (2)log (2)log (2)log log (1)2n n n n n n n n n n n ++++++???=+?=??+??

，∵22(2)2(1)n n n n n +?=+<+， ∴21log (2)12n n n ++???，即2a c >>；而4441log 13log log 3314434b -??==== ???，所以b a c >>.选D.

10.【解析】由已知，当()2,2x ∈-时，()2'3f x x a =-，当()2'30f x x a =-≥或()2'30f x x a =-≤，

()f x 为单调函数，则0a ≤或12a ≥，故()f x 在()2,2-上不单调时，a 的范围为()0,12，C 是充要条件，D 是充分不必要条件.故选：D.

11.【解析】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，可求得[]1,0x ∈-，函数()()31x f x f x -=-=-，()()2f x f x -=，即周期为2，又由函数()()()()log 21a g x f x x a =-+>在区间()1,3-恰有3个不同的零点，即函数()y f x =与()log 2a y x =+的图象在区间()1,3-上有3个不同的交点，又由

()()132f f ==，则满足()log 122a +<且()log 322a +≥

a ≤.

12.【解析】依题意221(1)(1)11()11111x x x x f x x x x x +++-++===++-+++，则()()

21'11f x x =-+，当[]1,3x ∈时，()'0f x >，故函数()f x 在[]1,3上单调递增，当[]11,3x ∈时，()1313,24f x ??∈????

；而函数()g x x m =-+在[]1,3上单调递减，故()[]23,1g x m m ∈--，则只需[]313,3,124m m ???--????，故33213

14

m m ?-≤????-≥??，解得17942m ≤≤，∴179,42m ??∈????. 二、填空题

13.【答案】3

【解析】∵2log 32<，∴()()331log 2log 212

f f =+. ∵2lo

g 312+>，∴()()2log 622log 31log 62

6f f +===，∴()2log 33f =.

14.【答案】[]2,0- 【解析】因为q ?是p ?的必要不充分条件，所以p 是q 的必要不充分条件，解不等式()29x m -<，得33m x m -<<+，解不等式()4log 31x +<，解得31x -<<.

p ：33m x m -<<+，q ：31x -<<，∴{}{}3331x m x m x x ?-<<+-<<≠，

所以3331m m -≤-??+≥?

，即20m -≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]2,0-. 15.【答案】4

【解析】∵()()2f x f x +=-，()()4f x f x +=，∴函数()f x 的周期为4.

令()y f x =，()()3log 3g x x =+画函数的图像，则满足()()66f g =，恰有4个交点.

16.【答案】(),e +∞

【解析】∵()2'x x f x ax ax e xe =+--，等价为()2'0x x

f x ax ax e xe =+--=有三个不同的实根，即()()110x ax x x e +-+=，∴()()10x x ax e +-=，则1x =-，则0x ax e -=，有两个不等于-1的根，则

x

e a x

=，设()x e h x x =，则()22'(1)x x x h e x e e x x x x --==，则由()'0h x >得1x >，由()'0h x <得1x <且0x ≠，当1x =时，()()min h x e =，当0x <时，()0h x <，作出()x e h x x =图象，要使x e a x =有两个不同的根，则满足a e >，∴(),a e ∈+∞.

三、解答 题

17.【解析】若p 为真，则对[]1,1x ?∈-，22422m m x x -≤--恒成立，设()222f x x x =--，配方得()()2

13f x x =--，∴()f x 在[]1,1-上的最小值为-3，∴243m m -≤-解得13m ≤≤，∴p 为真时，13m ≤≤.

若q 为真，则[]1,2x ?∈，2

12x mx -+>成立，即21x m x -<成立. 设()211x g x x x x -==-，则()g x 在[]1,2上是增函数，∴()g x 的最大值为()322

g =， ∴32m <

，∴q 为真时，32

m <. ∵“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，∴p 与q 一真一假. 当p 真q 假时，1332

m m ≤≤???≥??，∴332m ≤≤. 当p 假q 真时，∴1332

m m m <>???

m ??∈-∞????.

18.【解析】（1）函数22

()2(1)1g x x x a x a =-+=-+-，∴()g x 在区间[]1,m 上是增函数， 故2()21(1)120

g m m m a g a ?=-+=?=-+=?，解得12a m =??=?. （2）由已知可得()221g x x x =-+，则()1()2g x f x x x x

==+-， 所以不等式()22log 2log 0f x k x -?≤，转化为2221log 22log 0log x k x x +

--?≤， 在[]4,8x ∈上恒成立.

设2log t x =，则[]2,3t ∈，即1

220t kt t

+--≤，在[]2,3t ∈，上恒成立， 即：22121211k t t t ??≥+-=- ???，∵[]2,3t ∈，∴111,32t ??∈????，∴当113t =时，2

11t ??- ???取得最大值，最大值为21419

t ??-= ???，则429k ≥，即29k ≥，∴k 的取值范围是2,9??+∞????. 19.【解析】（1）由题意：()00f =，解得1b =，再由()()11f f =--， 得10121242a a ---=-++，解得2a =，当2a =，1b =时，112()22

x

x f x +-=+，定义域为R ， 111212()()2222

x x

x x f x f x --++--+-===-++，()f x 为奇函数，∴2a =，1b =.（不验证，不扣分） ()121212()22221x x x x m f x +-+-=-==++，即11221x m =-+，∵0x >，212x +>，110212

x <<+， ∴11102212x <-<+，∵()m f x =-有正根，∴10,2m ??∈ ???

. （2）由2()30x kf x +->，得1123222x x x k +-?>-+，∵()1,2x ∈，所以121022x x +-+<+， ∴()()

1322212x x x k +-+<-.令21x t -+=，则()3,1t ∈--，此时不等式可化为42k t t ??<- ???

， 记4()2h t t t ??=- ???

，当()3,1t ∈--时，4y t =和y t =-均为减函数， ∴()h t 为减函数，故10()6,3h t ?

?∈- ???，∵()k h t <恒成立，∴6k ≤-.

20.【解析】（1）当1k =时，2

()12

x x f x x e =++-，()'1x f x x e =+-；知()00f =，()'00f =， 故可得切线方程为0y =；

设()1x g x x e =+-，∵()'1x

g x e =-，令()'0g x =，解得0x =，∴()'f x 在区间(),0-∞单调递增，在区间()0,+∞单调递减，∴()()''00f x f ≤=，

∴()f x 在R 上单调递减.

（2）∵[)2,x ∈+∞时，()0f x ≤恒成立，即：[)2,x ∈+∞，2

()102

x x f x kx e =++-≤恒成立. 又()'x f x x k e =+-，设()x g x x k e =+-，()'1x

g x e =-， ()'f x 在区间(),0-∞单调递增，在区间()0,+∞单调递减，

故()()''01f x f k ≤=-.

①当10k -≤，即1k ≤时，()'0f x ≤，故()f x 在[)2,+∞单调递减.

故()()22221f x f k e ≤=++-，若满足题意，只需2

320k e +-≤，解得2322e k ≤-. 故1k ≤；

②当10k ->，即1k >时，∵()'f x 在区间()2,+∞单调递减，且()2

'22f k e =+-， 1. 当()'20f ≤时，()()'20f x f ≤≤，此时()f x 在区间[)2,+∞单调递减，

要满足题意只需()2

2320f k e =+-≤，解得2322e k ≤-，故此时只需231,22e k ??∈- ???. 2. 当()'20f >时，因为()'f x 在区间()2,+∞单调递减，故一定存在02x >，()000'0x f x x k e =+-=，且使得()f x 在区间()02,x 单调递增，()0,x +∞单调递减.

故()020max 00()12

x x f x f x kx e ==++-要满足题意，只需()max 0f x ≤， 即0200102x x kx e ++-≤.结合000x x k e +-=，只需2000102

x x k kx +---≥，02x >恒成立即可. 只需2001(1)102x k x k -+-+-≥在02x >时恒成立即可.

显然2001(1)12

y x k x k =-+-+-是关于0x 且开口向下的二次函数，无法满足题意. 综上所述：满足题意的范围是23,22e ??-∞- ??

?.又因为k Z ∈，且()232,322e -∈， 故满足题意的整数k 的最大值为2.

21.【解析】（1）当12m =时，所以12()44x f x x

=

-+， 只要证明()f x 在[]4,8x ∈为增函数且121()442

x f x x x =-+≥即可. ∵2112'()04f x x

=+>，∴()f x 在[]4,8x ∈为增函数； 又由121442x x x -+≥，可化为：216480x x -+≤， 设：()2

1648g x x x =-+，因对称轴为8x =且在()4,8x ∈为递减函数且()40g =， ∴121()442

x f x x x =-+≥恒成立； （2）由条件①可知，()44x m f x x

=-+在[]4,8上单调递增，∵22214'()44m x m f x x x +=+=，

所以当0m ≥时，()'0f x ≥满足条件；当0m <时，由()'0f x =可得x =

当)

x ?∈+∞?时，()'0f x ≥，()f x 单调递增，∴4≤，解得40m -≤<，∴4m ≥-， 由②可知，()2x f x ≥

，即不等式44x m x +≤在[]4,8上恒成立，等价于22114(8)1644

m x x x ≤-+=--+. 当4x =时，21(8)164y x =--+取最小值12，∴12m ≤， 综上，参数m 的取值范围是[]4,12-.

22.【解析】（1）根据题意可得x 的取值范围为0x >，

12'()22a ax f x x x

-=-=-， 若0a ≤，则()'0f x ≥，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，()f x 无最值，不合题意；

若0a >，当20x a <<时，()'0f x >，当2x a

>时，()'0f x <， 所以函数()f x 在20,a ?

? ??

?上单调递增，在2,a ??+∞ ???上单调递减， 故()f x 的最大值2212ln 12f a a a a ??=-?=-

???，解得2a =，符合题意. 综上，2a =.

（2）若()()f m f n =，则由（1）知0a >，

所以函数()f x 在20,a ?

? ???上单调递增，在2,a ??+∞ ???

上单调递减. 若存在实数1,,42m n ??∈????

，使得()()f m f n =，则2a 介于m ，n 之间，不妨设1242m n a ≤<<≤， ∵()f x 在2,m a ?

? ???上单调递增，在2,n a ?? ???

上单调递减，且()()f m f n =，所以当m x n ≤≤时， ()()()f x f m f n ≥=，由142

m n ≤<≤，2m n -≥，可得[]2,m n ∈，故()()()2f f m f n ≥=，又()f x 在2,m a ?

? ???上递增，且122m a ≤<，所以()12f m f ??≥ ???，所以()122f f ??≤ ???. 同理()()42f f ≤. 所以11ln ln 224ln 42ln 2a a a a ?-≤-???-≤-?，解得8ln 2ln 23a ≤≤，不等式得证.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k7gl.html