汇贤公学高三数学复习（突破高考系列—函数的图像与性质）

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突破高考系列——函数图像与性质

【知识衔接】

函数图像与性质是高考的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.所以要掌握画函数图像的一般方法，掌握函数图像变化的一般规律，利用函数图像研究函数的性质.函数的图像是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面显示了函数的性质，刻画函数的变化规律，为研究数量关系提供了“形”的直观性. 每年的高考都有很多小题目是可以用图像（数行结合）来解决的. 高考对函数性质的要求是：理解函数的单调行和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性，能利用函数的奇偶性与图像的对称性关系描绘函数图像.函数的性质还包括周期性、对称性、正负性等，在历年高考中无一次遗漏，所占比例居高不下.今后的高考中，肯定也是长盛不衰.

【重点讲解】

1、函数的性质包括定义域、值域（最值）、对称性（含奇偶性）、单调性、周期性、零点。研究函数的性质要注意分析函数的解析式的特征，还要重视函数图象的辅助作用； 2、二次函数、指数函数、对数函数是重点考查的三个，同时还要重视两个出现频率很高的

bax?bdy?ax?(ab?0,x?R,x?0). (x?R,x??)、分、式函数： y?xcx?dc3、利用图像变换法作图的常见变换方法如下： （1）平移变换：

①水平平移：把函数y?f(x)的图像按“左加右减”的规律水平平移a个单位即可得到函数y?f(x?a)的图像

②竖直平移：把函数y?f(x)的图像按“上加下减”的规律竖直平移a个单位即可得到函数y?f(x)?a的图像

注意：一般地，曲线F(x,y)?0→右移a，上移b→F(x?a,y?b)?0 （2）对称变换：

①将函数y?f(x)的图像沿y轴对称即可得到函数y?f(?x)的图像； ②将函数y?f(x)的图像沿x轴对称即可得到函数y??f(x)的图像； ③将函数y?f(x)的图像关于原点对称即可得到函数y??f(?x)的图像；

?1④将函数y?f(x)的图像关于y?x轴对称即可得到函数y?f(x)的图像；

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（3）翻折变换：

①将函数y?f(x)的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到y?f(x)的图像； ②将函数y?f(x)的图像在y轴右边的部分沿y轴对称翻折，即可得到y?f(x)的图像； （4）伸缩变换（在三角函数中研究，对一般函数不要求）：

①将函数y?f(x)的图像沿y轴方向伸缩a倍，即可得到函数y?af(x)(a?0)的图像； ②将函数y?f(x)的图像沿x轴方向伸缩4、熟练掌握常见函数的图像与性质：

（1）y?|x?a|， （2）y?|ax?b|?|cx?d|， （3）y?|ax2?bx?c|(a?0)， （4）y?1倍，即可得到函数y?f(ax)(a?0)的图像； aax?ba(c?0)（由反比例函数图像平移得到）， （5）y?x?(a?0)， cx?dx （6）y?a|x|(a?0且a?1)， （7）y?|logax|(a?0且a?1)，

（8）y?loga|x|(a?0且a?1)， （9）y?|sinx|， （10）y?sin|x|， （11）y?ax3?bx2?cx?d(a?0)等

【难点演练】

例题一：

1、已知函数f(x)?x?cosx，x???的x的取值范围是__________．

2???????,?，则满足f(x)?f???22??3?

?2x,x?02、已知函数f(x)??，若f(1?a2)?f(2a)，则实数a的取值范围是 . ?1,x?0

小试牛刀：

1、函数f(x)?|x?4|?x?4x的单调递减区间是__________．

2、已知函数f(x)?xx.当x??a,a?1?时，不等式f(x?2a)?4f(x)恒成立，则实数a的取值范围是 .

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3、已知f(x)???(2?a)x?1,x?1?ax,x?1满足对任意x1?x2都有

f(x1)?f(x2)则a?0成立，

x1?x2的取值范围是____________．

例题二：

1、有这么一个数学问题：“已知奇函数f?x?的定义域是一切实数R,且。请问m的值能否求出，若行，请求出m的值；若f?m??2,fm2?2??2，求m的值”

不行请说明理由（只需说理由）。__________________；

2、函数y?f(x)的定义域为??1,0???0,1?，其图像上任一点P(x,y)满足x2?y2?1．

① 函数y?f(x)一定是偶函数；

② 函数y?f(x)可能既不是偶函数，也不是奇函数； ③ 函数y?f(x)可以是奇函数；

④ 函数y?f(x)如果是偶函数，则值域是?0,1?或??1,0?； ⑤ 函数y?f(x)值域是??1,1?，则y?f(x)一定是奇函数． 其中正确命题的序号是 （填上所有正确的序号）．

??小试牛刀：

1、下列函数：① f(x)?3；②f(x)?x；③f(x)?lnx31?x； ④f(x)?cos ；

2x⑤f(x)??x?1中，既是偶函数，又是在区间?0,???上单调递减函数为 （写2出符合要求的所有函数的序号）.

1?5(x?4)3??4?(x?4)?20132、设x,y?R，且满足?，则x?y?____________． 1?(y?1)5?2013(y?1)3?4? 4 传贤集团·精品学堂

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3、给出定义：若m?11?x?m?(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作22{x}，即{x}?m. 在此基础上给出下列关于函数f?x??x??x?的四个命题：

12①函数y?f?x?的定义域是R，值域是[0,]； ②函数y?f?x?的图像关于直线x=

k(k?Z)对称； 2③函数y?f?x?是周期函数，最小正周期是1； ④函数y?f?x?在[?,]上是增函数.

则其中真命题是 (写出所有真命题的序号). 例题三：

1、已知函数f(x)??x2?ax?b(a,b?R)的值域为(??,0]，若关于x的不等式

1122f(x)?c?1的解集为(m?4,m?1)，则实数c的值为 .

2、已知f(x)?4?1，若存在区间[a,b]?(0,??)，使得{y|y?f(x),x?[a,b]}?[ma,mb]，x则实数m的取值范围是 ．

小试牛刀：

1、（2013黄浦二模理14）已知f(x)?4?11，若存在区间[a,b]?(,??)，使得

3x{y|y?f(x),x?[a,b]?}[ma,mb]，则实数m的取值范围是 ．

2、设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)?1，且对任意的x?R，满足8f(x?2)?f(x)?3x,f(x?4)?f(x?2)?9?3x，则f(8)=____________．

3、设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)?1，且对任意的x?R，满足8f(x?2)?f(x)?3x,f(x?4)?f(x)?10?3x,则f(2014)= ．

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例题四：

1、（2014黄浦二模理14）已知函数y?f(x)是定义域为R的偶函数. 当x?0时，

??1?x???,0?x?2若关于x的方程[f(x)]2?a?f(x)?b?0(a、b?R)有且只有f(x)???2??logx．x?2?16

7个不同实数根，则实数a的取值范围是 ．

2、已知函数

112关于x的方程f(x)?af(x)?b?0（a,b?R）f(x)?|x?|?|x?|，

xx恰有6个不同实数解，则a的取值范围是 .

小试牛刀：

1、已知函数

?log?x?1?,x?0f?x???22，若函数g?x??f?x??m有3个零点，则实数m的

??x?2x,x?0取值范围是___________．

?x,0?x?1,?2、函数f(x)的定义域为实数集R，f(x)??1x对于任意的x?R都

()?1,?1?x?0.??2有f(x?1)?f(x?1).若在区间[?1,3]上函数g(x)?f(x)?mx?m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 .

x(x?0)??23、设函数f(x)?? ，函数y?f?f(x)??1的零点个数为 个．

(x?0)??log2x

例题五：

1、已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于x?1对称，f(?1)?1，

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则f(1)?f(2)?f(3)??f(2009)?f(2010)?________________。

2、函数y?f(x)定义域为R，且恒满足

f(x?2)?f?2?x?和f(x?6)?f?6?x?，当

2?x?6时，f(x)?2?1x，求f(x)解析式。 2

小试牛刀：

1、已知函数 f(x) 的定义域为R，且对任意 x?Z，都有f(x)?f(x?1)?f(x?1)。若

f(?1)?6，f(1)?7，则 f(2012)?f(?2012)? .

2、已知函数 f(x) 的定义域为R，且对任意 x?Z，都有f(x)?f(x?1)?f(x?1)。若

f(?1)?6，f(1)?7，则 f(2012)?f(?2012)? .

3、设f(x)为定义域为R的函数，对任意x?R，都满足：f(x?1)?f(x?1)，

f(1?x)?f(1?x)，且当x?[0,1]时，f(x)?3x?3?x.

（1）请指出f(x)在区间[?1,1]上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；

（2）试证明f(x)是周期函数，并求其在区间[2k?1,2k](k?Z)上的解析式．

例题六：

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1、设0?a?b，则函数y?|x?a|(x?b)的图像大致形状是（ ）

y y y y O a b x O a b x O a b x O a b x

A． B． C． D．

x2、已知f(x)?a(a?0,a?1)，g(x)为f(x)的反函数.若f(?2)?g(2)?0，那么f(x)与

g(x)在同一坐标系内的图像可能是（ ）

A B C D

小试牛刀

1、 已知f(x)??

(A)f(x?1)的图像 (B)f(?x)的图像 (C)f(|x|)的图像 (D)|f(x)|的图像

2、已知函数f(x)?|x2?1|，若0?x?y，且f(x)?f(y)，则（ ）．

A．y?4?x2（0?x?2） B．y?4?x2（0?x?2） C．y?2?x2（0?x?2） D．y?2?x2（0?x?1）

3、函数y=?x?1,x?[?1,0),?x?1,x?[0,1],2则下列函数的图像错误的是（ ）

x，x?(??,0)(0,?)的图象可能是下列图象中的（ ） sinx 8 传贤集团·精品学堂

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4、若f(x)是R上的奇函数，且f(x)在[0,??)上单调递增，则下列结论：

y?|f(x)|是偶函数； ②①对任意的x?R都有f(?x)?|f(x)|?0；

y?f(?x)在(??,0]上单调递增； ④y?f(x)f(?x)在(??,0]上单调递增． ③

其中正确结论的个数为（ ）

A．1； B．2； C．3； D．4．

例题七：

4]，若不等式1、设x?(0，x(4?x)?ax恒成立，求a的取值范围。

2、当0?x?1时，不等式sin?x2?kx成立，则实数k的取值范围是______________

小试牛刀：

1、不等式|x|?a(x?1)对任意的实数x都成立，则实数a的取值范围是______。

22、不等式x?3?ax?a对一切3?x?4恒成立，则实数a的取值范围是 ．

3、若x?1?x?a?2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为 ． 4、若对于满足?1≤t≤3的一切实数t，不等式x2?(t2?t?3)x?t2(t?3)?0恒成立，则x的取值范围为 ．

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例题八：

1、已知函数f(x)?|x?a|，g(x)?x2?2ax?1（a为正常数），且函数f(x)与g(x)的图像在y轴上的截距相等．

（1）求a的值；

（2）若h(x)?f(x)?bg(x)（b为常数），试讨论函数h(x)的奇偶性．

小试牛刀：

1、已知二次函数f?x?=ax2+?a?1?x+a．

（1）函数f(x)在???,?1?上单调递增，求实数a的取值范围； （2）关于x的不等式

f(x)?2在x??1,2?上恒成立，求实数a的取值范围； x1??a?1?x2（3）函数g(x)=f(x)+在?2,3?上是增函数，求实数a的取值范围．

x

2、已知函数f(x)?x?ax?3?a，a?R.

（1）求a的取值范围，使y?f(x)在闭区间[?1,3]上是单调函数；

（2）当0?x?2时，函数y?f(x)的最小值是关于a的函数m(a).求m(a)的最大值及其

相应的a值；

2（3）（选讲）对于a?R，研究函数y?f(x)的图像与函数y?x?2x?3的图像公共点

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