黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系分类号O172．２

编号 20120１０６44

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黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

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黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

摘要: 介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念,通过对两类积分存在条件、基本性质、可积函数类以及相关结论的分析,结合具体实例，说明了黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系.

关键词:黎曼积分；勒贝格积分;可测函数;可积函数.

Ｔｈe ＤiｆfｅrｅnceｓanｄReｌａtions Betｗｅｅn ｔhe Riemann Iｎtegｒ

aｌ and Lévesque Integｒａｌ

Abstraｃt: In ｔhis pａｐeｒ， the deｆinitｉｏｎs of ｔhe Riｅmann ｉnte ｇrａl aｎd Lévesquｅ inｔegral aｒｅ intｒodｕced，Ｃoｍpared with tｈe ｅxｉsｔenｃeｓ oｆ conｄiｔionｓ, ｔhe elｅmeｎtary ｐropeｒtiｅs， thｅ cl ａsｓeｓ of the inteｇｒａl fｕncｔｉon and thｅ aｓｓｏｃiated conｃlusｉｏｎs oｆ tｈｅｔwo inteｇrals, Thｅ diｆferｅｎｃｅs ａｎd ｒelations betwe ｅｎ the Ｒiemann inteｇraｌ and Lévesquｅｉntｅgrａl aｒe giｖｅn. Ｍeanw ｈile, tｈe exampｌe cｏrrｅsｐonｄiｎg to eacｈ coｎclusiｏn is alｓo re ｓenteｄ.

Keywoｒds:Riｅmann iｎtegrａl; Léｖesque ｉntegral;meａｓurabｌe ｆｕnctioｎ; ｉｎtｅgｒal function

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目录

1引言?错误!未定义书签。

１.1 微积分的发展史?错误!未定义书签。

1.2 黎曼积分与勒贝格积分的引入?错误!未定义书签。

2 黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系......................... 错误!未定义书签。

２.1 黎曼积分和勒贝格积分定义的比较?错误!未定义书签。

２.2 黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较?错误!未定义书签。

2．3黎曼积分与勒贝格积分的性质比较?错误!未定义书签。

２.4黎曼可积函数类与勒贝格可积函数类................. 错误!未定义书签。

2.5 黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较?错误!未定义书签。

3 黎曼积分与勒贝格积分的主要联系?错误!未定义书签。

４文章总结和展望........................................... 错误!未定义书签。

4.1文章总结........................................... 错误!未定义书签。

4.２文章展望......................................... 错误!未定义书签。参考文献................................................................. 1８致谢..................................................................... １9

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黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

2 / 22 黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

１引言

1.1 微积分的发展史

积分学的历史很早,它起源于求积问题,真正成为积分学萌芽的当属阿基米德的工作，他在《抛物线求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积,其方法是逐次做出与该弓形

同底等高的三角形,然后将这些三角形的面积加起来,之后的很多年虽然微积分的奠基工作一直在紧锣密鼓的进行着,但其中还是存在不少的缺陷,直到１７世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨创立了微积分学,关于积分中怎样理解无穷小的困扰直至柯西，海涅等人的实数理论及一致连续性的提出,才完成了微积分严密化的任务．

牛顿将微分的思想用到积分上,得出积分运算是微分运算在某种意义下的逆运算,也发展了不定积分的思想,莱布尼茨从积分思想看出积分运算是微分运算的逆，得到了牛顿—莱布尼茨公式，即设)(x F 是)(x f 的不定积分,则有成立

?-=b

a

a F

b F dx x f )()()(.

此公式使得积分的计算大为简便,是积分运算系统的处理方法．微积分成了真正可以应用的理论了.

1．2 黎曼积分与勒贝格积分的引入

数学史上提出用分割区间,做和式的极限来明确的定义积分的是Ａ. Cauchy,他考察的积分对象是在[]b a ,上的连续函数.并用连续函数的中值性质推导积分的存在性，A. Cauchy 所做的积分存在性的证明只适用于函数至多有有限个不连续点的情形,于是对无穷多个不连续点的函数的存在性问题引起很多专家学者的兴趣,对积分发展起推动作用的是J.Fourier 关于三角级数的工作,它指出定义在[]b a ,上的函数)(x f 可表示为

)sin cos (2

)(10nx b nx a a x f n n n ++=∑∞=．

其中,

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3 / 22 π1

=n a ?-ππnxdx x f cos )(. ?-=πππnxdx

x f b n sin )(1 ,2,1=n . 这一结果虽然缺乏严格的论证,但当时在物理学上的成功应用引起了数学界的极大重视,后来Dd ｒb ｏux 又得出如下结论．

设)(x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,做划分:?,10b x x x a n =<<<=

且{},),(sup 1i i i x x x x f M ≤≤=-{}i i i x x x x f m ≤≤=-1),(inf ,2,1=i ，()11

-=-=∑i i n

i i x x M S ,

()11-=-=∑i i n i i x x m s 下积分()?=-

b a S dx x f inf ，上积分()s dx x f b a sup =?-,若有

()?=-b a S dx x f inf =()s dx x f b a

sup =?-

则)(x f 在[]b a ,上是黎曼可积的.

黎曼积分的重要性是显然的,它对处理诸如逐段连续的函数以及一致收敛的函数是足够的,并至今仍突然是微积分课程的主要内容,然而，随着理论工作的深入,人们越来越多的接触到具有各种“奇特”现象的函数,这对在研究函数的可积性及积分理论出现了很多困难.比如

(1）可积函数的连续性

我们知道，函数的可积性等价于0lim 1=?∑=i n

i i x w ,它涉及分割子区间的长度及函数

在其上的振幅两个因素,若上是成立即就是在分割加细时,其振幅不能缩小的那些相应项的子区间的长度之和可以很小,由以前知识,函数振幅的大小与其连续性有关,即函数的不连续点可用长度很小的区间包围,所以黎曼积分的理论基础是以“基本”连续的函数为对象的．

⑵极限与积分交换次序问题

在处理极限与积分交换次序问题中黎曼积分的数学期望不是很高.

例 1.1

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4 / 22 ()()????

?????≤≤=<≤-<≤=1102,1121222102x n n n x n x

a a n x x

na x f n n n n ()0lim =∞→x f n n ,显然()0lim 10=?∞→dx x f n n ,而()n

a dx x f n n n n 2lim lim 1

0∞→∞→=?. 当n a n =，时2

12lim =∞→n a n n . 此时，积分与极限不能交换次序,只有当n a →０时，即()x f n 一致收敛极限与积分才交换.

引理 １．1[]1 (有界收敛定理)设()x f n ,2,1=n 是定义在上[]b a ,的可积函数. 〈ⅰ〉︳()x f n ︳[]()b a x n M ,,2,1∈=≤ ;

〈ⅱ〉()x f 是定义在上的可积函数且有()()x f x f n n =∞

→lim . 这里极限与积分交换次序不仅受到()[]()b a x n M x f n ,,2,1∈=≤ 的限制,而且还必须假定极限函数的可积性.这说明黎曼积分的定义太窄了.以上例子可以看出黎曼积分虽然比较简单,但如果考虑可能在一个零测度集上不连续黎曼可积函数本来就自然的结果很难证明,甚至不成立,尤其是积分号下求极限黎曼可积函数类缺乏完备性.

随着微积分学的发展，人们越来越感觉到它有很大的局限性,尤其是随着集合论的一系列工作的创始,出现一些病态函数,在研究它们的可积性时,黎曼积分迎来新的挑战.

例 1.２ 狄里克雷函数()x D ，由定义可证()x D 不是黎曼可积的,因此必须扩大积分范围.

⑶关于微积分基本定理

在微积分学基本定理()()()a f x f dx x f x

a -='?中()x f '必须是可积得,但我们知道存在可微且导数有界的函数,其导数不是黎曼可积的,因此限制了微积分基本定理的应用范围.

随着数学的发展,人们发现很多问题在黎曼积分中都得不到圆满的解决，科学的不断前进，积分论再进一步革新,勒贝格在Bor ｅl 测度思想的指导下，也吸收了Ｊorda ｎ和Ｐean ｏ的思想，建立了测度论，在可测集上定义了可测函数,并证明了在区间上的连续函数都是可测函数,利用黎曼积分对定义域的分割方法,考虑到间断点造成的困难,

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5 / 22 勒贝格大胆的改变了黎曼积分对定义域的分割方法，而采用对值域的分割,从而缩小振幅，消除了间断点的困难,在二十世纪提出了勒贝格积分,它为现代分析学打开了大门，勒贝格积分的提出是许多问题迎刃而解了.

我们知道勒贝格积分是引入测度来推广长度,与黎曼积分比较,勒贝格积分虽然有很多优点,但任何一种理论都不是十全十美的,它也有缺点,比如在应用时测度比长度就要麻烦,反常积分是不存在的等等.

2黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

2.１ 黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

定义 ２.1．1[]3(黎曼积分和勒贝格积分的定义)

黎曼积分的定义是从求曲线下方图形的面积入手的,其定义为:设()x f 在[]b a ,上有界,对做分割{}b x x x a T n =<<<== 10，将区间分成n 部分,在每个小区间[]1,+i i x x 上任取一点i ξ， ,2,1=i 作和

()()i i n

i i x x f s -=+=∑11ξ.

称它为属于分割的黎曼和,令i i n

i x x T -=+≤≤11max ，i i i x x x -=?+1，当{}i x T ?=max →0时,若该式趋于有限极限,则称()x f 在[]b a ,上可积记作

()dx x f I b

a ?=.

其精确的数学定义为[]3：设()x f 在[]b a ,上的函数，J 是一确定的数,若对任意的ξ总存在0>δ，使得[]b a ,上的任意分割T 以及任意选取的{}i ξ,只要δ

i i x x f s -=+=∑11ξ都满足ξ<-J s ,则称()x f 在[]b a ,上可积,称J 为则称()x f 在

[]b a ,上在上的定积分记作

()dx x f I b

a ?=.

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黎曼积分的思想是“分割，求和,近似代替，取极限” ,这里的分割是对定义域的分割,对黎曼积分还有另一种定义．

定义 2.1．2 设()x f 在[]b a ,上有界，对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<== 10,其中令(){}i i x x x f M ?∈=,sup ,(){}i i x x x f m ?∈=,inf ，i i i x x x -=?+1,()11-=-=∑i i n

i i x x m s

()11

-=-=∑i i n

i i x x M S ,若有

dx s dx S b

a

b a

??=

则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积.

定义 2．1．3[]1我们已知，测度是长度的推广,启发我们若要将黎曼积分推广可以考虑将区间推广到测度空间,对于被积函数按照黎曼积分的思想,必须使的在分割区间以后在尽可能多的区间上函数振幅足够小,这使得具有较大震荡的函数被排除在外,勒贝格大胆的采用逆向思维的方法,从值域入手,提出勒贝格积分,即

0>?δ，作M y y y m n =<<= 10,,其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界,令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i ,2,1=若i n

i i mE y ∑=-→110

lim δ存在,则()x f 勒贝格

可积．

一般的可测函数的积分定义为：设在可测集E 上可测,若记()(){}0,m ax x f x f

=+

，

()(){}0,m in x f x f

-=-

,则有()()()x f x f

x f -+

-=

,若()dx x f E

+?

,()dx x f

E

_

?不同时为∞，

则()x f 在E 上的积分确定且

()()()dx x f dx x f dx x f E

E

E

-+??

?-=.

由简单函数可以逼近可测函数,可先给出简单函数的勒贝格积分定义,再写出其它类型函数的勒贝格积分定义.

定义２.1.4[]2(简单函数的勒贝格积分定义)设()x f 是可测集E 上的非负简单函数，于是有对E 的划分i E ,n i 2,1=,()x f 在i E 上的取值为i c ,则()i E n

i i c x f χ∑==1,定义

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7 / 22 ()x f 的勒贝格积分为()i n i i E mE c dm x f ∑?==1，若()∞

，则称()x f 在E 上勒贝格可

积．

定义2.1.５[]2（非负可测函数的勒贝格积分定义）取E 上的非负简单函数列()x f n ，

对任意的E x ∈，()x f n 都收敛于()x f ,则()x f 在E 上勒贝格可积其积分为

()()dm x f dm x f E

E n n ??=∞→lim . 对一般的函数由于()()()x f x f

x f -+-=,则 ()()()dm x f dm x f dm x f E

E E ???=--+.

若左端的两个积分值都有限时,称()x f 在E 上勒贝格可积.

勒贝格积分是建立在测度论的基础上,可以处理有界或无界的情形,而且函数可以定义在更一般的点集上.由以上两大积的分定义，他们主要的不同是源于他们的划分区域不同,由于勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以凡是黎曼可积的函数一定勒贝格可积，但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.

例 2.1.1 ()x D 不是黎曼可积的,但它是勒贝格可积的，且积分为0.

可用下面直观的例子说明黎曼积分与勒贝格积分在定义方面的差异.

例 2.1．2 用硬币兑换纸币.假设有５０00枚硬币需要兑换成纸币,每一枚硬币的面值分别为0.0１元,0.0２元,0.05元,0.1元，０.2元,0.5元，1元中的一个,要兑换需计算总币值,计算总币值有两种方法,第一种是一个个硬币的币值逐个相加,第二种是把所有的硬币按币值分为7类,计算每一类币值再相加.明显的方法一中体现的是黎曼积分的思想,方法二则体现的是勒贝格积分的思想.

黎曼积分是将给定的函数的定义域分小而产生的，而勒贝格积分是通过划分函数的值域而产生的,前者的优点是i i i x x x -=?+1的度量容易给出,但当分割的细度加细时,函数在的振幅仍可能较大,后者的优点是函数在上的振幅较小，从而扩展了可积函数类,使许多问题迎刃而解,但一般不再是区间,而是可测集,其度量一般不容易给出,对定义域和值域的划分是这两大积分最本质的区别.

2.2 黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

8 / 22 2．2．1黎曼可积的条件

㈠黎曼可积的条件必要条件

定义在[]b a ,上的()x f 黎曼可积的必要条件是()x f 在[]b a ,上有界.

注 任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积.

㈡黎曼可积的充分必要条件

⒈设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即

设()x f 在[]b a ,上有界,{}b x x x a T n =<<<== 10为对[]b a ,的任一分割，其中令 (){}i i x x x f M ?∈=,sup ，

(){}i i x x x f m ?∈=,inf ,i i i x x x -=?+1,()11-=-=∑i i n i i x x m s ,()11-=-=∑i i n

i i x x M S ,

n i ,2,1=有

dx s dx S b

a

b a ??=．

⒉设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>?ξ,总存在某一分割T ，使得

()i i i i n

i i m M w x w -=

⒊设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为对于任给正数ξ,η总存在某一分割T ,使得属于T 的所有振幅η≥i w '的小区间的长度总长小于等于ξ．

⒋设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>?ξ，总存在某一分割T ,使得

()()ξ<-T s T S 成立．

⒌定义在[]b a ,上的函数()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的一切间断点构成一个零测度集．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k6wq.html