概率论习题

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第一章 习题

一.选择题

1 设B?A,则下面正确的等式是 。

A P(AB)?1?P(A); B P(B?A)?P(B)?P(A); C P(B|A)?P(B); D P(A|B)?P(A) 2 设A和B是两个随机事件,则下列关系式中成立的是( )

A P(A)≥P(A|B) B P(A)≤P(A|B) C P(A)≥P(A+B) D P(A)≤P(AB)

3.在下列四个条件中,能使P(A?B)?P(A)?P(B)一定成立是( ) A、A?B B、A、B独立 C、A、B互不相容 D、B?A

4.设在每次试验中,事件A发生的概率为p(0?p?1),q?1?p,则在n次独立重复试验中,事件A至少发生一次的概率是( )

A、pn B、qn C、1?pn D、1?qn

5.设A,B,C三个事件两两独立,则A,B,C相互独立的充分必要条件是( ) A、A与BC独立 B、AB与A?C独立 C、AB与BC独立 D、A?B与A?C独立

6 设每次试验成功的概率为p(0?p?1),重复进行试验直到第n次才取得r(1?r?n) 次成功的概率为 . A Cn?1p(1?p)C Cn?1pr?1r?1r?1rn?r; B Cnp(1?p)rrn?r;

(1?p)n?r?1; D pr(1?p)n?r.

二.填空题

1 设随机事件A,B互不相容,且P(A)?0.3,P(B)?0.6,则P(BA)? . 2 随机事件A和B相互独立, 且P(A)=0.6, P(A-AB)=0.3, 则P(B)=______

P(A∪B)=_________

??3 设 样 本 空 间 U = {1, 2,10 }, A ={2, 3, 4, }, B={3, 4, 5, } ,

C={5, 6, 7}, 则 A?B?C?表 示 的 集 合 =______________________

4 设A,B,C为三个事件,则“A,B,C中至少有一个发生”可表示为 5 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才

取到正品的概率为 . 6设A,B为两随机事件,已知P(A)?0.7?0.3?P(B),P(A?B)?0.8,则

P(A|A?B)?三 计算题

1 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率.

2 甲、乙.丙三人同时对一架飞机进行射击,设甲.乙.丙三人击中飞机的概率分别为0. 4,

0.5 和0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.3,飞机被两人同时击中而被击落的概率为0.6,飞机被三人击中而被击落的概率为0.9,求飞机被击落的概率.

3 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时,一合格品被误认为是次品的概率是0.02;一次品被误认为是合格品的概率是0.05. 求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.

4 某厂卡车运送防“非典”用品下乡,顶层装10个纸箱,其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱,不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开2箱,结果都是民用口罩,求丢失的一箱也是民用口罩的概率.

5 两台车床加工同样的零件,第一台出现废品概率为0.03,第二台出现废品的概率是0.02;加工出来的零件放在一起。并且已知第一台加工的零件数是第二台的2倍。 求:(1)任取一个零件是合格品的概率,

(2)如果任取的零件是废品,求它是第二台生产的概率。

四 思考题

1 在一次乒乓球决赛中设立奖金1千元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了3盘, 甲两胜一负, 由于某种特殊的原因必须中止比赛. 问这1000元应如何分配才算公平?

2 17世纪,法国的 C D Mere 注意到在赌博中一对骰子抛25次,把赌注押到 “至少出现次双六” 比把赌注押到“完全不出现双六”有利. 但他本人找不出原因. 后来请当时著名的法国数学家帕斯卡(Pascal)才解决了这一问题 .这问题是如何解决的呢?

3 某市进行艺术体操赛, 需设立两个裁判组, 甲组3名,乙组1名. 但组委会只召集到3名裁判, 由于临近比赛, 便决定调一名不懂行的人参加甲组工作, 其中两裁判独立地以概率 p 作出正确裁定,而第三人以掷硬币决定, 最后根据多数人的意见决定.乙组由 1 个人组成, 他以概率 p 做出正确裁定. 问哪一组做出正确裁定的概率大 ?

第二章 习题

一 填空题

1 设随机变量X服从(-2,2)上的均匀分布,则随机变量Y?X的概率密度函数为

2fY(y)? .

2 设随机变量(X,Y)的联合分布律为

(X,Y) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)

P 0.4 0.2 a b

若E(XY)?0.8,则cov(X,Y)? .

x??0.5e,x?03 已知X的分布函数为F(x)??,P(X?2)? . ?x??1?0.5e,x?04 设随机变量?的概率分布为P(?=k)=CK(k=1,2,3,4,5),则常数C=___________,P

15???)?2 . (25 设随机变量ξ∽N(3,2),已知P(3<ξ<5)=0.3413,则P(1<ξ

<5)=____________,如果P(ξ≥C)= P(ξ

6 设随机变量ξ的可能取值为-1,0,1,E(ξ)=0.1,E(ξ2)==0.9,则ξ的分布律为

ξ -1 0 1 P 7 设ξ∽N(1,3) η∽N(0,4), rξη=-0.5,ζ=(ξ/3)+(η/2)则 E(ζ)=_______________, D(ζ)=____________.

?a?be?2x,x?08 设函数F(x)??为连续型随机变量?的分布函数,则a?

x?0?0 b? 。

9从1、2、3、4、5中任取3个数,设?为其中的最大者,则?的分布列为 ?的分布函数F(x)? 。

10 设连续随机变量的密度函数为f(x),则随机变量Y?3e的概率密度函数为

XfY(y)? .

、若X服从正态分布N(2,σ2),且P(2

11、已知X的分布函数为:F(x)=

则P(X=-1)=_____________ P(X=1)=_______________

P(X=3)=______________ EX=_________________。

12、二维随机变量(X、Y)的密度为f(x,y)=

则C=_______________ fX(x)=_____________(0≤x≤1) EX=_______________。

13、(X,Y)的联合分布律为

则X的边缘分布律为

14设随机变量(X,Y)的联合分布律为

(X,Y) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)

P 0.4 0.2 a b

若E(XY)?0.8,则cov(X,Y)? .

15 随机变量X,Y相互独立且服从同一分布,P(X?k)?P(Y?k)?(k?1)/3,

k?0,1,则P(X?Y)?二 选择题

.

k1 离散型随机变量X的概率分布为P(X?k)?A?(k?1,2,?)的充要条件是 。 ?1(a)??(1?A)且A?0; (b)A?1??且0???1;

?1(c)A???1且??1; (d)A?0且0???1.

2 设10个电子管的寿命Xi(i?1~10)独立同分布,且D(Xi)?A(i?1~10),则10个电

子管的平均寿命Y的方差D(Y)? .

(a)A; (b)0.1A; (c)0.2A; (d)10A. 3 .将一枚硬币重复掷n次,以?和?分别表示正面向上和反面向上的次数,则?和?的相关系数等于

A、-1 B、0 C、

1 D、1 24 .设?与?是任意两个相互独立的连续随机变量,它们的概率密度分别为

p1(x)和p2(x),分布函数分别为F1(x)和F2(x),则( )

A、p1(x)?p2(x)必为某一随机变量的概率密度 B、p1(x)?p2(x)必为某一随机变量的概率密度 C、F1(x)?F2(x)必有某一随机变量的分布函数 D、F1(x)?F2(x)必有某一随机变量的分布函数

5 离散随机变量X的分布函数为F(x),且xk?1?xk?xk?1,则P(X?xk)? . (a)P(xk?1?X?xk); (b)F(xk?1)?F(xk?1); (c)P(xk?1?X?xk?1); (d)F(xk)?F(xk?1).

)的分布函数 . 6 设随机变量X服从指数分布,则随机变量Y?max(X,2003(a)是连续函数; (b)恰好有一个间断点; (c)是阶梯函数; (d)至少有两个间断点.

7 设随机变量(X,Y)的方差D(X)?4,D(Y)?1,相关系数

?XY?0.6,则方差

D(3X?2Y)? .

(a)40; (b)34; (c)25.6; (d)17.6 .

8 样本X1??Xn取自正态总体N(0,1),,S分别表示样本均值和方差,则__________。[ ] A.~N(0,1) B.n~N(0,1) C.

~x(n) D./S~t(n-1)

2

9 某零件重量X~N(400,400),40个零件的平均重量定为Y,则Y~_________。[ ] A.N(400,400) B.N(400,10) C.N(400,100) D.N(40,400)

10 设袋中有编号为1,2,?,n的n张卡片,采用有放回地抽取k张卡片,记X表示k张卡片的号码之和,则E(X) 为 ( )

(A)

k(n?1) 2(B)

n(k?1)n?1 (C)

22(D)

n(k?1) 211 设随机变量X与Y独立同分布,记U?X?Y,V?X?Y,则随机变量U和V必然 ( )

(A) 不独立 (B) 相互独立 (C) 不相关 (D) 无法判断

12 下列各函数中可以作为某个随机变量的分布函数的是 ( )

(A)F(x)?12?e?x22,x?R (B) F(x)?sin(x),x?[0,?)

2?1?(C) F(x)??1?x2??1?0x?0? (D) F(x)??0.6?1x?1?x?0x?0

x?013设随机变量X,Y相互独立,X~N(0,1),Y~N(1,1),则 .

(A)P(X?Y?0)?1/2; (B)P(X?Y?1)?1/2; (C)P(X?Y?0)?1/2; (D)P(X?Y?1)?1/2.

14 设随机变量X1,X2,?,Xn则 .

1n独立同分布,且方差为??0.令Y??Xi,

ni?12(A)Cov(X1,Y)??/n; (B) Cov(X1,Y)??;

22C D(X1?Y)?(n?2)?/n; (D)D(X1?Y)?(n?1)?/n 计算题

1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连续r.v., 其 d.f.为

?c ?2,x?1000f(x)??x

?0,其他?

(1) 求常数 c (2) 计算P(X≤1700∣1500

(3)已知一设备装有3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.

2设随机变量?的分布密度为

?ax??cx?b?0 f(x)=?0?x?22?x?4其他

22 已知E(?)=2, P(1

(1)求a, b, c的值 (2)求P(2

3 设随机变量(?,?)的联合分布密度为

(1) 求常数k的值

?kx0?x?1,0?y?xf(x,y)??其它?0

(2) 求边缘分布密度函数f?(x),f?(y) (3) 问?和?是否相互独立?

3 设二维随机变量(?,?)具有密度函数

?C?e?2(x?y)p(x,y)???0试求1)常数C; 2)P(????1)

x?0,y?0

其它3)?与?是否相互独立?为什么?

4 设二维离散型随机变量(?,?)的联合分布列

? ? 0 1 -1 0 1 11 631 0 61 61 6求(1)???; (2)D(???)

5设随机变量X与Y相互独立,X,Y分别服从参数为?,?(???)的指数分布,

试求Z?3X?2Y的密度函数fZ(z).

6 设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布,

求:(1)Y=ex的密度。 (2)Y=2lnX的密度

7 设二维随机变量(X,Y)的密度f(x,y)=

,求随机变量Z=

的数学期望和方差。

8 已知(X,Y)的联合密度为

f(x,y)??

?3y?00?y?1,0?x?y其他

随机变量Z?2X?Y,求Z的概率密度函数。

9 设二维随机变量(X,Y)~N(0,1;0,1;?),令

?U?X?2Y ??V?2X?Y(1) 写出U的概率密度函数; (2) 求Cov(U,V);

当?为何值时,随机变量U与V相互独立?

?6x,0?x?y?110 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)??, 求

0,其他?(1)X,Y的边缘密度函数; (2)当X?1/3时,Y的条件密度函数fY(3)P(X?Y?1).

X (yx?1/3);

?2e?2x?y,x?0,y?011 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)??,

其他?0,求 Z?max{X,Y}的密度函数.

四 思考题

1上海某年有 9万名高中毕业生参加高考, 结果有5.4万名被各类高校录取. 考试满分为600分,540分以上有2025人 , 360分以下有13500人. 试估计高校录取最低分.

2某民营企业生产的某产品每周的需求量 X (单位: 箱) 取[1 , 5]上的每个整数值是等可能的. 生产每箱产品的成本是300元,出厂价每箱900元.若售不出, 则每箱以100元的保管费借冷库保存. 问该企业每周生产几箱产品能使获利的期望值最大?

第三章 习题

一 填空题

1设随机变量(X,Y)~N(0,22;1,32;0),则概率P(2X?Y?1)= .

12设随机变量X~U[0,1],由切比雪夫不等式可得P{|X-1|≥}≤

23__________________。

3设μn是n次贝努利试验中,事件A出现的次数,P是事件A在每次试验中出现的概率,(其中0

4 设随机变量X~N(?,?2),由切比雪夫不等式知,概率P(X???2?)的取值区间为 与 之间. 二 选择题

1设ξ1,ξ2,?,ξn相互独立,且服从同一分布,且有有限的数学期望与方差(方差不零)n较大时,对任意实数x,概率P((1) 利用ξi的密度函数计算 (2) 利用大数定律计算 (3) 利用中心极限定理计算 (4) 无法计算 三 计算题

1有一批种子,其中良种占与

=_______________(用Φ(x)表

??i?1ni≤x)可以( )

1,从中任取180粒,问能以0.99的概率保证其中良种的比例61相差多少??(2.33)?0.99;?(2.48)?0.995 62 某商店出售某种贵重商品. 根据经验,该商品每周销售量服从参数为??1的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内(52周)售出该商品件数在50件到70件之间的概率.

3某农贸市场的某种商品价格波动为随机变量。设第i天(较前一天)的价格变化为Xi中

。设第n天的价格为Pn,则 Xi,i?1,?,n独立同分布,EXi?0,DXi?0.04,试求: Pn?P0??Xi。若现在的价格为20元/斤(即:P0?20)

i?1n(1) 试利用切比雪夫不等式估计概率P{18?P30?22}; (2)试利用中心极限定理估计概率P{18?P30?22}

4某计算机厂门市部规定:出售的新型号电脑若在一年内损坏可予以调换。工厂售出一台电脑能赢利2000元,调换一台电脑厂方需花费3000元。现厂方计划明年净赢利的期望值达到

100万,则明年门市部至少要售出该型号电脑多少台?(该厂质检科人员已利用假设检验 的方法确定该型号电脑的使用寿命服从参数为0.25的指数分布。)

5 某厂生产某产品1000件,其价格为P?2000元/件,其使用寿命X(单位:天)的

?(x?365)1?e20000?20000f(x)????01x?365x?365

分布密度为

现由某保险公司为其质量进行保险:厂方向保险公司交保费P0元/件,若每件产品若寿命小于1095天(3年),则由保险公司按原价赔偿2000元/件. 试由中心极限定理计算 (1) 若保费P0?100元/件, 保险公司亏本的概率? (2) 试确定保费P0,使保险公司亏本的概率不超过1%.

(e?0.0365?0.96,?(1.45)?0.926,?(1.61)?0.946,?(2.33)?0.99)

四 思考题

1 电视台需作节目A 收视率的调查.每天在播电视的同时, 随机地向当地居民打电话询问是否在看电视. 若在看电视, 再问是否在看节目A. 设回答看电视的居民户数为 n. 若要保证以 95%的概率使调查误差在10%之内, n 应取多大?每晚节目A 播出一小时, 调查需同时进行, 设每小时每人能调查20户, 每户居民每晚看电视的概率为70%, 电视台需安排多 少人作调查.又,若使调查误差在 1 %之内, n 应取多大?

2一本书有 1 000 000 个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为千分之一. 校对时, 每个排版错误被改正的概率为0.99. 求在校对后错误不多于15 个的概率.

3学校东区食堂为提高服务质量,要先对就餐率p进行调查。 决定在某天中午,随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。设调查了n个同学,其中在东区食堂用过餐的学生数为X,若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内,问n应取多大?(用中心极限定理)

5.1 在一小时内观测电话拥护对电话站的呼唤次数,按每分钟统计得到观测数据列表如下: 每分钟 内的呼0 1 2 3 4 5 6 唤次数xi 频数mi 8 16 17 10 6 2 1

计算样本均值、样本方差与样本中心矩。 解:由计算器计算可以得到

?2?1.933。 x?2,s2?1.9661,?5.2 设总体X~N(40,52),

(1)抽取容量为36的样本,求样本均值X在38与43之间的概率; (2)抽取容量为64的样本,求|X?40|?1的概率;

(3)抽取样本容量n多大时,才能使概率P(|X??|?1)达到0.95? 解:P(38?X?43)?P{38?40X?4043?40??} 5/65/65/6(2.?4 )0.9?91?810. ,

?)? ??(3.6?4 ?0.9998(2)P(|X?40|?1)?P(|X?40|?1.6) 5/80.,89

?)?1 ?2?(1.6(3)已知 P(|X?40|?1)?0.95 左边?P(|X?40n|?1)?2?(),查表可得 n?96。

55/n5.3 设总体X~N(?,?2),才总体中抽取容量为16的样本, (1)已知??2,求概率P(|X??|?0.5);

(2)未知?,计算得到样本方差s2?5.33,求概率P(|X??|?0.5)。 解:P(|X??|?0.5)?P(|X??|?1) 1/2?1?0.6;8 ?2?(1)(2)P(|X??|?0.5)?P(|X??|0.5?)

5.33/165.33/160.,

|0.86?6)?1Pt2?( ?P(|t?而查表可得, t0.2(15)?0.866

所以 P(|X??|?0.5)?1?2*0.2?0.6。

5.4设总体X~N(60,62),总体Y~N(46,42),从总体X中抽取容量为10的样本,从总体Y中抽取容量为8的样本,求下列概率:

S12(1)P(0?X?Y?8);(2)P(2?8.28)。

S2解:(1)U?(X?Y)?E(X?Y)D(X?Y)?X?Y?4~N(0,1), 5.6则P{0?X?Y?8}?P{0?4X?Y?E(X?Y)8?4??} 5.65.6D(X?Y) =2?(1.69)?1?0.909。

S12/?12(2)F?2~F?9,7?,

S2/?22S12则 P(2?8.28)?P(F?3.68)

S2 =1?P{F?3.68} =1-0.05=0.95。

6.1, 设总体X服从几何分布:

p(x;p)?p(1?p)x?1,x?1,2,3?.

如果取得样本观测值为x1,x2,?xn,求参数p的矩估计量与最大似然估计值。 解:因为(1) EX?11?1xp?。 ?X,即,求得?inXpxi?1nL?)=?p(1-p)?p(1?p)i?1(ni?1?(xi?1)n,

(2)lnL(?)?nlnp??(xi?1)ln(1?p),?lnL(?)n1n令??(xi?1)?0???p1?pi?1?1p?。

X6.2,设总体X的概率密度为

??x??1,0?x?1; ( fx;?)???0,其他。其中??0,如果取得样本观测值为x1,x2,?xn,,求参数?的矩估计量与最大似然估计值。

解:因为(1)EX??x??dx?01???1,

而EX?X????X。 1?Xn?-1(2)(, L?)=?ni?1?xi??1??(?xi)n则ln(L?)=nln?+(?-1)?lnxi,

i=1??ln(L?)nn令???lnxi?0,???????i?1n?lnxi?1n 。i6.3,灯泡厂从某日生产的一批灯泡中抽取10个灯泡进行寿命试验,得到灯泡

寿命(h)数据如下:

1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200。

求该日生产的整批灯泡的寿命均值及寿命方差的无偏估计值。

?解:??X=1147,

1nS?(xi-X)=7579。 ?n?1i?1226.4,证明:如果已知总体X的均值?,则总体方差的无偏估计为

1n ???(Xi-?),

ni?1?2其中X1,X2?Xn是从总体中抽出的样本。

21n1n2E??E(?(xi-?))=?Exi??2ni=1ni?1?21n解:??(?2+?2)??2ni?1??2。6.5 为了估计总体X的方差,从总体X中抽取样本X1,X2?Xn,我们利用下面的公式:

??k?(Xi+1-X)i

i?12

?2n?12?求常数k的值,使?2是总体方差?2的无偏估计。

2E??k?E(xi+1-xi)=?2n-1解:

?2k?(?2+?2)??2??2。n?1i?1i=1得 k?1。

(2n-1)6.6 从总体X中抽取样本X1,X2,X3,证明下列三个统计量:

XXXXXXXX?X?? ?1?1?2?3,?2?1?2?3,?3?1?2?3,

236244333都是总体统计量?的无偏估计量;并确定哪个估计量更有效。

XXXEXEXEX?(1+2+3)=1+2+3??, 证明:E?1?E236236XXXEXEXEX?(1+2+3)=1+2+3??, E?2?E244244XXXEXEXEX?E?3?E(1+2+3)=1+2+3??。

333333???则?1,?2,?3为?的无偏估计。

XXXDXDX2DX3?D?1?D(1+2+3)=1??

23649367 =?2,

18XXXDXDX2DX3?D?2?D(1+2+3)=1??

244416163 =?2,

8XXXDXDX2DX3?D?3?D(1+2+3)=1??

3339991 =?2。

3?则?3最有效。

6.7 从总体X中抽取样本X1,X2,?Xn,设c1,c2,?cn为常数,且?ci?1,证

i?1n明:

(1)???ciXi是总体均值?的无偏估计;

i?1?n1n (2)在所有这些无偏估计量???ciXi中,样本均值X??Xi的方差最小。

ni?1i?1??证明:(1)E??E?ciXi???ci??,所以?为无偏估计。

i?1i?12c?ii?1nn?nn (2)D????2?ci?1n2i?n?2??2,

1n1n 所以样本均值X??Xi的方差最小。

ni?16.8 某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(mm)如下:

14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15 15.1 15.2 14.8。 设滚珠直径服从正态分布N,求直径均值?的置信水平为0.95的置(?,?2)(mm)信区间,如果:(1)已知直径标准差??0.15;(2)未知?。

解:X?14.91,n=9,??0.05,S?0.20,

(1)已知?:总体均值?的置信水平为1??的置信区间是

(X??0nu?,X?2?0nu?)(mm),代入得(14.81,15.01)(mm)。

2

(2)未知?:总体均值?的置信水平为1??的置信区间是

(X?SSt(n-1),X?t((mm),代入得(14.75,15.07)(mm)。 ??n-1))n2n2

6.9 设总体X服从正态分布N,其中?0为已知数。需要抽取容量n为多(?,?02)大的样本,才能使总体均值?的置信水平为1??的置信区间的长度不大于l? 解:当水平为?时,?的区间估计为(X??0nu?,X?2?0n,此时区间长度为u?)2u?n给定一个精度l,即

u? 2?02?2l,

nu?(?0可得 n?22)。

2?02,

l6.10 测得16个零件的长度(mm)如下:

12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06

设零件服从正态分布N,求零件长度的标准差?的置信水平为0.99(?,?2)的置信区间,如果:

(mm)(1) 已知零件长度的均值??12.08; (2)未知?。

解:X?12.075,S?0.049,n=16,?=0.01,

(1) 已知零件长度的均值?:总体标准差?的置信水平为??0.01的

(X-?)?(X-?)?22i0i0i=1nn(置信区间为

??(n)22i=1,2??(n)1?2),代入可得区间(0.032,

0.0848)。

(2) 未知零件长度的均值?:总体标准差?的置信水平为??0.01的

(n-1)S2(n-1)S2置信区间为,代入可得区间(0.0334,(2,2)??(n-1)??(n-1)21?20.0892)。

6.11 进行30次独立测试,测的零件加工时间的样本均值x?5.5(s),样本标准

差s?1.7(s)。设零件加工时间服从正态分布N,求零件加工时间的(?,?2)均值?及标准差?的置信水平为0.95的置信区间。 解:总体均值?的置信水平为

(x?ss t0.025(n-1),x?t0.025(n-1))nn0.95的置信区间是

代入得: (4.87,6.13)(s);

(n-1)s2(n-1)s2总体方差?的置信水平为0.95的置信区间是 (,代,2)2?0.25(n-1)?9.75(n-1)2

入可到(1.35,2.29)(s)。

6.12 两批导线,从第一批中抽取4根,从第二批中抽取5根,测得其电阻(?)如下:

第一批导线:0.143 0.142 0.143 0.137;

第二批导线:0.140 0.142 0.136 0.138 0.140。

设两批导线的电阻分别副总正态分布N及N,其中?1,?2及(?1,?12)(?2,?22)?1,?2都是未知参数,求这两批导线电阻的均值差?1??2(假定?1??2)及?12方差比2的置信水平为0.95的置信区间。

?2解

2?n1?4?0,n2?(1)两个总体均值差?1??2的置信水平为0.95的置信区间是

(x?y?s?1111?)t0.025(7),x?y?s??)t0.025(7)) n1n2n1n2代入得到 置信区间为(-0.002,0.006)(?);

?12(2)方差比2的置信水平为0.95的置信区间是

?2?12(2,),代入可得到方差比2的置信区间(0.159,s2F0.025(3,4)s22F0.9975(3,4)?223.96)。

6.13 从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取10个样品进行磨损实验,直至轮

s12s12胎行驶到磨坏为止,测得它们的行驶路程(km)如下: 41250 41010 42650 38970 40200 42550 43500 40400 41870 39800 设汽车轮胎行驶路程服从正态分布N,求 (?,?2)(1)?的置信水平为0.95的单侧置信下限; (2)?的置信水平为0.95的单侧置信上限。

解:根据样本观测值计算样本均值及其样本方差得到

2 x?41220s,?20301505.t.05?,556。(9 )1.833(1)?的置信水平为0.95的单侧置信下限是

s?t0.0(9) ?l?x?5, n?代入可得 ?l?40394(km)

(n?1)s2?(2)由于?n?2,可得?2n?2342(km)。

?1??(n?1)?2

7.1 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.40,0.052),某日测得5炉水的含碳量如下:

54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 如果标准差不变,该日铁水含碳量的均值是否有显著差异?(取显著性水平??0.05)

解:H0:??4.40,H1:??4.40 给定显著性水平??0.05,则u0.05?1.645, 得到统计量u?x??~N(0,1),代入数据,可得,

?0/nu?4.362?4.40??1.699??u0.05。

0.05/5则拒绝原假设,接受备择假设,认为该日铁水含碳量的均值在显著降低。

7.2 化肥厂用自动打包机包装化肥,某日测得9包化肥的质量(kg)如下: 49.7 49.8 50.3 50.5 49.7 50.1 49.9 50.5 50.4

已知每包化肥的质量服从正态分布,是否可以认为每包化肥的平均质量为50kg?(取显著性水平??0.05) 解:H0:???0?50,H1:??50, 计算可以得到 x?50.1,s?0.335,

x??0~t0.025(8), s/n得到统计量t?代入数据,得

t?50.1?50?0.896?t0.025(8),

0.335/9则可以认为每包化肥的平均质量为50kg。

7.3在正常情况下,维尼纶纤度服从正态分布,方差不大于0.0482,某日抽取5根纤维,测得纤度为

1.32 1.55 1.36 1.40 1.44

是否可以认为该日生产的,维尼纶纤度的方差是正常的?(取显著性水平??0.01)

解:H0:?02?0.0482,H1:?02?0.0482, 通过计算可得 s?7.78*10,统计量 ??代入数据,可得

2?32(n?1)s2?02~?2(n?1),

4*7.78*10?3 ???13.51??0.012(4), 2(0.048)2所以拒绝原假设,接受备择假设。认为该日生产的维尼纶纤度的方差不正常,而是显著变大了。

7.4 为了提高震动板的硬度,热处理车间选择两种淬火温度T1,T2进行试验,测得振动板的硬度数据如下:

T1: 85.6 85.9 85.7 85.8 85.7 86.0 85.5 85.4 T2: 86.2 85.7 86.5 85.7 85.8 86.3 86.0 85.8

设两种淬火温度下振动板的硬度都服从正态分布,检验:

(1)两种淬火温度下振动板硬度的方差是否有显著差异; (取显著性水平??0.05)

(2)淬火温度对振动板的硬度是否有显著影响。(取显著性水平??0.05) 解:(1)H0:?02??12,H1:?02??12,

由数据得:x?85.7,y?86,s12?0.04,s22?0.091,s??0.239,n1?n2?9。

max{s12,s22}得到统计量 F?~F0.025(7,7), 22min{s1,s2}0.091?2.275?F0.025(7,7), 0.04接受原假设,决绝备择假设,可以问为两种淬火温度下振动板硬度的方差无显著差异。

代入数据,可以得到 F?(2)H0:?1??2,H1:?1??2, 得到统计量 t?x?y~t(n1?n2?2)

11s??n1n285.7?86??2.346, 20.2397代入数据,可得 t?即 |t|?2.346?t0.025(14),所以认为淬火温度对振动板的硬度有显著影响。 7.5 某灯泡厂在使用一项新工艺的前后,各取10个灯泡进行寿命试验,计算得到采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460h,样本标准差为56h;采用新工艺后灯泡寿命的样本均值为2550h,样本标准差为48h。已知灯泡服从正态分布,能否认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高?(取显著性水平??0.01)

解:分别就均值和方差进行讨论: (1)H0:?1??2,H1:?2??1

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/k6pp.html

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