2022_2022学年高中数学第二章空间向量与立体几何2-3-3空间向量运

2.3.3 空间向量运算的坐标表示

[A.基础达标]

1．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ，球面上有两个点A ，B 的坐标分别为A (1，2，2)，

B (2，－2，1)，则|AB |＝( ) A ．18

B ．12

C ．32

D ．23 解析：选C.AB →＝(1，－4，－1)，|AB |＝|AB →|＝12＋（－4）2＋（－1）2＝32.

2.若ABCD 为平行四边形，且A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (－3，7，－5)，则顶点D 的坐标为( )

A.? ??

??72，4，－1 B ．(2，3，1) C ．(－3，1，5)

D ．(－1，13，－3) 解析：选D.设D (x ，y ，z )，因为AB →＝DC →，所以(－2，－6，－2)＝(－3－x ，7－y ，－5－z )，

所以?????－2＝－3－x ，－6＝7－y ，－2＝－5－z ，所以?????x ＝－1，

y ＝13，

z ＝－3.

3．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )

A ．0°

B ．60°

C ．30°

D ．90° 解析：选D.因为(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝cos 2α＋1＋sin 2α－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0，

所以cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝0，

所以〈a ＋b ，a －b 〉＝90°.

4．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(0，1，1)，c ＝(1，0，1)，d ＝(1，0，－1)，则其中共面的三个向量

是(

) A ．a ，b ，c

B ．a ，b ，d

C ．a ，c ，d

D ．b ，c ，d 解析：选B.因为a ＝b ＋d ，所以a ，b ，d 三向量共面．

5．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，1)，a 与b 的夹角为60°，则λ的值为( )

A ．17或－1

B ．－17或1

C ．－1

D ．1 解析：选B.a ·b ＝4－λ，|a |＝5＋λ2，|b |＝6，

由题意得cos 60°＝a·b |a||b|，即4－λ5＋λ2·6＝1

2，

解之得λ＝1或λ＝－17.

6．已知a ＝(m ＋1，0，2m )，b ＝(6，0，2)，a ∥b ，则m 的值为________．

解析：因为a ∥b ，所以a ＝λb ，即?????m ＋1＝6λ，2m ＝2λ，得?????λ＝1

5，

m ＝1

5.

答案：1

5

7．已知a ＝(1－t ，2t －1，0)，b ＝(2，t ，t )，t ∈R ，则|b －a |的最小值为________．

解析：因为b －a ＝(1＋t ，1－t ，t )，

所以|b －a |＝（b －a ）·（b －a ）＝3t2＋2≥2.

答案：2

8．与a ＝(2，－1，2)共线且满足a ·x ＝－18的向量x ＝________．

解析：因为a ∥x ，所以x ＝λa ＝(2λ，－λ，2λ)，

所以a ·x ＝2·2λ＋(－1)·(－λ)＋2·2λ＝9λ＝－18，得λ＝－2，故x ＝(－4，2，－4)．

答案：(－4，2，－4)

9．已知在△ABC 中，A (2，－5，3)，AB →＝(4，1，2)，BC →＝(3，－2，5)，求顶点B ，C 的坐标，向量CA

→及∠A 的余弦值．

解：设B ，C 两点的坐标分别为(x ，y ，z )，(x 1，y 1，z 1)．

因为AB →＝(4，1，2)，

所以?????x －2＝4，y ＋5＝1，z －3＝2.解得?????x ＝6，y ＝－4，z ＝5.

所以B 点坐标为(6，－4，5)．

因为BC →

＝(3，－2，5)， 所以?????x1－6＝3，y1＋4＝－2，z1－5＝5.解得?????x1＝9，y1＝－6，

z1＝10.

所以C 点坐标为(9，－6，10)．

所以AC →＝(7，－1，7)，CA →＝(－7，1，－7)．

所以cos A ＝AC →·AB →|AC →||AB →|＝28－1＋1499×21 ＝413231

＝41231693. 图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是

10.如

? ??

??32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°. 向量OD →的坐标； (1)求

向量AD →和BC →的夹角为θ，求cos θ的值． (2)设

解：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，

得BD ＝1，CD ＝3.

所以DE ＝CD ·sin 30°＝32

. 1

2＝12

，

OE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－?

????0，－12，32， 所以D 点坐标为? ????0，－12，32. 即向量OD →的坐标为

(2)依题意知OA →＝? ????32，12，0， OB →＝(0，－1，0)，OC →＝(0，1，0)．

所以AD →＝OD →－OA

→ ＝? ????－32

，－1，32. BC →＝OC →－OB →＝(0，2，0)．

由于向量AD →和BC →的夹角为θ，则

cos θ＝AD →·BC →|AD →||BC →|

＝ ? ????－32×0＋（－1）×2＋32×0? ????－322＋（－1）2＋? ????322·02＋22＋02＝－210

＝－1510. 所以cos θ＝－

105.

[B.能力提升] 1．已知向量OA →＝(2，－2，3)，向量OB →＝(x ，1－y ，4z )，且平行四边形OACB 对角线的中点坐标为

? ????0，32，－12，则(x ，y ，z )＝( ) A ．(－2，－4，－1) B ．(－2，－4，1)

C ．(－2，4，－1)

D ．(2，－4，－1) 解析：选A.由题意得?????2＋x 2＝0，－2＋1－y 2＝32，3＋4z 2＝－12，

即?????x ＝－2，y ＝－4，z ＝－1. 2．△ABC 的顶点分别为A (1，－1，2)，B (5，－6，2)，C (1，3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( ) A ．5 B.41 C ．4 D ．25 解析：选A.设AD →＝λAC →，其中λ∈R ，D (x ，y ，z )，

则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0，4，－3)，

所以x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ.

所以BD →＝(－4，4λ＋5，－3λ)．

所以4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0. 所以λ＝－4

5，所以BD →

＝(－4，95，125

)． 所以|BD →|＝ （－4）2＋（95）2＋（125

）2＝5. 3．设AB →＝(cos α＋sin α，0，－sin α)，BC →＝(0，cos α，0)，则|AC →|的最大值为________．

解析：AC →＝AB →＋BC →＝(cos α＋sin α，cos α，－sin α)，

所以|AC →|＝（cos α＋sin α）2＋cos2α＋（－sin α）2＝2＋sin 2α≤3.

答案：3

4．已知a ＝2(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则λ的值为________．

解析：由共面向量定理知存在有序实数组(x ，y )使得a ＝x b ＋y c ，即(4，－2，6)＝(－x ，4x ，－2x )＋

(7y ，5y ，λy )，即?????4＝－x ＋7y ，－2＝4x ＋5y ，6＝－2x ＋λy ，解得?????x ＝－3433，y ＝1433，λ＝657.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k6mq.html