高二数学，立体几何，点线面的位置关系，（学生版）

立体几何专题

一、兴趣导入（Topic-in）:

“笑”和“话”是两个很要好的朋友！ 有一天“笑”死掉了！

“话”跪在他的坟墓旁，哭着说：“呜！我好想笑喔！”

二、学前测试(Testing):

考向一 几何体的表面积

【例1】?(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

( )．

A．48 C．48＋817

【训练1】 若一

B．32＋817 D．80

个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( )． A.3 C．23

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1

B．2 D．6

考向二 几何体的体积

【例2】?(2011·广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )．

A．183 B．123 C．93 D．63

【训练2】 (2012·东莞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )．

A.28 B.16

3π 3π C.4

3π＋8 D．12 π

三、知识讲解(Teaching)：

直线、平面平行的判定及其性质

1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况。 2．直线和平面平行的判定

(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面； (2)(3)判定定理：a?α，b?α，且a∥b?a∥3．其他判定方法：直线和平面平行的性质定理：α∥β；a?α?a∥a∥β

α α，a?β，α∩β＝l?a∥l 4．两个平面平行的判定

(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行； (2)(3)判定定理：推论：a∩b＝a?Mα，，ab，?αb，?αa，∩ba＝′∩Mb′＝，Ma∥′，βa，′，b∥b′?β?β，α∥a∥β

a′，b∥b′?α∥β 5．两个平面平行的性质定理

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2

(1)α∥β，a?α?a∥β (2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b?a∥b

6．与垂直相关的平行的判定

(1)a⊥α，b⊥α?a∥b (2)a⊥α，a⊥β?α∥β

一个关系

平行问题的转化关系：

两个防范

(1) 在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误。

(2) 把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行。

直线、平面垂直的判定及其性质

1．直线与平面垂直

(1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法

②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。 ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。 (2)直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线。 ②垂直于同一个平面的两条直线平行。 ③垂直于同一直线的两平面平行。 2．斜线和平面所成的角

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3

斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角。 3．平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法

②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 (2)平面与平面垂直的性质

如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

一个关系

垂直问题的转化关系 判定

判定线线垂直面面垂直

线面垂直

性质

性质

三类证法

(1)证明线线垂直的方法

①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a⊥α，b?α?a⊥b ④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α?a⊥b (2)证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直?a⊥α； ②判定定理1：

m、n?α，m∩n＝A?

l⊥m，l⊥n???l⊥α； ③判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a⊥α?a⊥β；

⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.

(3)证明面面垂直的方法

①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β

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4

四、强化练习(Training)

1．(人教A版教材习题改编)下面命题中正确的是( )

①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行。 A．①③ B．②④ C．②③④ D．③④

2．平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a，b的位置关系是( ) A．平行 B．相交 C．异面

D．平行或异面

3．(2012·银川质检)在空间中，下列命题正确的是( )

A．若a∥α，b∥a，则b∥α B．若a∥α，b∥α，a?β，b?β，则β∥α C．若α∥β，b∥α，则b∥β D．若α∥β，a?α，则a∥β

4．(2012·温州模拟)已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )．

A．m∥n，m⊥α?n⊥α B．α∥β，m?α，n?β?m∥n

C．m⊥α，m⊥n?n∥α D．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β 5．(2012·衡阳质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．

6．(人教A版教材习题改编)下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是( )． A．l与平面α内的两条直线垂直 B．l与平面α内无数条直线垂直 C．l与平面α内的某一条直线垂直 D．l与平面α内任意一条直线垂直

7．(2012·安庆月考)在空间中，下列命题正确的是( )． A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行

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5

D．垂直于同一平面的两条直线平行

8．(2012·兰州模拟)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥γ，b∥γ，则a∥b； ④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号是( )．

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

9．(2011·聊城模拟)设a、b、c表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )． c⊥α?

??c⊥β A.

α∥β?

?

??b⊥c B.

c是a在β内的射影?

b?β，a⊥b

C.

b∥c

?

b?α??c∥α c?α?

a∥α?

??b⊥α D.

b⊥a?

9．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

考向一 直线与平面平行的判定与性质

【例1】?(2011·天津改编) 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形， O为AC的中点，M为PD的中点． 求证：PB∥平面ACM.

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6

【训练1】 如图，若PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.

考向二 平面与平面平行的判定与性质

【例2】?如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点． 求证：平面MNP∥平面A1C1B；

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7

【训练2】 如图在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点， 求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.

考向三 线面平行中的探索问题

【例3】?如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点， 问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置； 若不存在，请说明理由．

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8

【训练3】 如图，在四棱锥PABCD中，底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

【示例】?(本题满分12分)(2011·山东)如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°. (1)证明：AA1⊥BD； (2)证明：CC1∥平面A1BD.

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9

考向一 直线与平面垂直的判定与性质

【例1】?(2011·天津改编)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形， ∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD. 证明：AD⊥平面PAC.

1

【训练1】 如图，已知BD⊥平面ABC， MC//2BD，AC＝BC，N是棱AB的中点． 求证：CN⊥AD.

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考向二 平面与平面垂直的判定与性质

【例2】?如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.M是PC上的一点， 证明：平面MBD⊥平面PAD.

【训练2】 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点． 证明：平面ABM⊥平面A1B1M.

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考向三 平行与垂直关系的综合应用

【例3】?如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD.

【训练3】 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.

(1)求证：AF∥平面BDE；

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12

(2)求证：CF⊥平面BDE.

五、训练辅导(Tutor):

1

错

误

！

未

指

定

书

签

。．（

2013

年

高

考

辽

宁

卷

（

文

））

如

图,AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点. (I)求证:BC?平面PAC；

(II)设Q为PA的中点，G为?AOC的重心，求证：QG//平面PBC.

2错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心,

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13

A1O⊥平面ABCD, AB?AA1?2.

(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.

D1A1B1C1D

AOCB

3错误！未指定书签。．（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥

P?ABCD中,PD?面ABCD,AB//DC,AB?AD, BC?5,DC?3,AD?4,?PAD?60.

(1)当正视图方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥P?ABCD的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);

(2)若M为PA的中点,求证:DM//面PBC; (3)求三棱锥D?PBC的体积.

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14

4错误！未指定书签。．（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是

AB,AC边上的点,AD?AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将?ABF沿AF折起,得到如图5

所示的三棱锥A?BCF,其中BC?(1) 证明:DE//平面BCF; (2) 证明:CF?平面ABF; (3) 当AD?2. 22时,求三棱锥F?DEG的体积VF?DEG. 3———————————————————————————————————————————————————

15

AAGEDGDEFCBF图 4C

B图 5

5．（2013年高考湖南（文））如图2.在直菱柱

ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=错误！未找到引用

源。,AA1=3,D是BC的中点,点E在菱BB1上运动. (I) 证明:AD⊥C1E;

(II) 当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时,求三菱子C1-A2B1E的体积.

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16

6错误！未指定书签。．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P?ABCD中,AB//CD,AB?AD,CD?2AB,平面PAD?底面ABCD,PA?AD,E和F分别是CD和

PC的中点,

求证:(1)PA?底面ABCD; (2)BE//平面PAD; (3)平面BEF?平面PCD

7错误！未指定书签。．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱

ABC?A1B1C1中,CA?CB,AB?AA1,?BAA1?60.

(Ⅰ)证明:AB?AC; 1?(Ⅱ)若AB?CB?2,AC16,求三棱柱ABC?A1B1C1的体积.

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CC1B1A1

BA

8．（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥P?ABCD中,AB?AC,AB?PA,AB∥CD,AB?2CD , E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点

(Ⅰ)求证:CE∥平面PAD;(Ⅱ)求证:平面EFG?平面EMN

六、反思总结(Thinking)： 堂堂清落地训练

（5-10分钟的测试卷，坚持堂堂清，学习很爽心）

1.(2011·江苏)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：

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(1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD.

2. 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD2

的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝2AD. (1)求证：EF∥平面PAD； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD.

3.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点． (1)求证：FH∥平面EDB； (2)求证：AC⊥平面EDB； (3)求四面体BDEF的体积．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k6hw.html