初中数学规律探究题解题方法

初中数学规律探究题的解法指导

广南县篆角乡初级中学 郭应龙

新课标中明确要求：用代数式表示数量关系及所反映的规律，发展学生的抽象思维能力。根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。在历年的中考或学业水平考试中屡见不鲜，频繁考查，考生大都感到困难重重，无从下手，导致丢分。解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。笔者认为：只要善于观察，细心研究，知难而进，就会走出“山穷水尽疑无路”的困惑，收获“柳暗花明又一村”的喜悦。

一、数式规律探究

通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：

1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。 2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1… 奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3… 偶数…2n-2,2n,2n+2… 3.熟记常见的规律

n(n?1)2n(n?1)n

③ 1、3、7、15……2 -1 ④ 1+2+3+4+…n=

2 ① 1、4、9、16...... n ② 1、3、6、10……

2

⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n ⑦ 1+2+3….+n=

2

2

2

2

2

⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)

1333312

n(n+1)(2n+1) ⑧ 1+2+3….+n=n(n+1） 64 数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：

1.观察法

例1.观察下列等式：①1×

112233=1- ②2×=2- ③3×=3- 223344④4×=4-……猜想第几个等式为 （用含n的式子表示） 分析：将等式竖排：

454511=1- 观察相应位置上变化的数字与序列号 2222②2×=2- 的对应关系（注意分清正整数的奇偶）

3333③3×=3- 易观察出结果为：

44nn44④4×=4- n×=n-

n?1n?155①1×

1 / 6

例2.探索规律：3=3，3=9，3=27，3=81，3=243，3=729……，那么 3

2009

123456

的个位数字是 。

分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果

余几，就和第几个数的末位数字相同，易得出本题结果为：3

2.函数法

例3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下表：

所剪次数 正三角形个数 1 4 2 7 3 10 4 13 … … n an 则an= （用含n的代数式表示）

分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）

正三角形个数：4、7、10、13 第一次求差结果相等，用一次函数y=kx+b 第一次求差 ： 3 3 3 代入（1、4）（2、7）解之得：y=3x+1 ∴an=3n+1

例4.有一组数：1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 。 分析：对这组数据做求差处理： 原数 1 2 5 10 17 26

第一次求差：1 3 5 7 9

第二次求差：2 2 2 2

第二次求差结果相等，同二次函数y=ax+bx+c 代入（1、1）（2、2）（3、5） 解之得y= x-2x+2=（x-1）+1 ∴当=8时，y=50 尝试练习：

1.观察下列等式：1×3=1+2×1；2×4=2+2×2；3×5=3+2×3……请将 你猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来： 。 2.观察下列各式：×2=+2；×3=+3；×4=+4；×5=+5…… 设n为正整数，用关于n的等式表示这个规律为 。 3.观察下列各式：1?2

2

2

2

2

2

2121323243435454111111=2；2?=3；3?=4……请你将猜想到的规律用含正整数334554n(n≥1)的代数式表示出来为 。 4.已知：2+=2×；3+=3×；4+

232

23382

38424525=4×；5+=5×…，若 1515242410+=10×符合前面式子的规律，则a+b= 。

ba2

ba2 / 6

5.已知下列等式：①1=1；②1+2=3；③1+2+3=6；④1+2+3+4=10…由此规律可推 出第n等式： 。

6、观察下列算式：

，

，

，

.

32332333233332

请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：1、下面有8个算式，排成4行2列

2＋2， 2×2

33， 3× 22444＋， 4×

33555＋， 5×

443＋

……， ……

（1）同一行中两个算式的结果怎样？ （2）算式2005＋

20052005和2005×的结果相等吗？ 20042004（3）请你试写出算式，试一试，再探索其规律，并用含自然数n的代数式表示这一规律。（5分） 2、你能很快算出20052吗？（5分）

为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的正整数的平方，任意一个个位数为5的正整数可写成10n＋5（n为正整数），即求?10n?5?的值，试分析n?1，2，3……这些简单情形，从中探索其规律。 ⑴通过计算，探索规律:

2152?225可写成100?1??1?1??25；

252?625可写成100?2??2?1??25；

352?1225可写成100?3??3?1??25； 452?2025可写成100?4??4?1??25；

………………

752?5625可写成________________________________

852?7225可写成________________________________

⑵根据以上规律，试计算1052= 3（5分）

已知13?1?12?22;13?23?9?1?22?32;

44

3 / 6

（1）猜想填空： （2）计算①

②23+43+63+983+……+1003

2

2

2

2

1、观察等式：1＋3＝4＝2 ，1＋3＋5＝9＝3 ，1＋3＋5＋7＝16＝4 ，1＋3＋5＋7＋9＝25＝5 ，……

猜想：（1） 1＋3＋5＋7…＋99 ＝ ；

(2) 1＋3＋5＋7＋…＋（2n-1）＝ _____________ . （结果用含n的式子表示，其中n

=1,2,3,……）。

2、观察下面一列数，根据规律写出横线上的数，

－；

11111；－；； ； ；……；第2003个数是 。 234二、图形规律探究

由结构类似，多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻，并且还可以由一个通用的代数式来表示。这种探索图形结构成元素的规律的试题，解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律，再用函数法、观察法解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决问题。

拆图法

例5．如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第①图用了4根火柴，第②图用了7根火柴棒，第③图用了10根火柴棒，依次类推，第⑩图用 根火柴棒，摆第n个图时，要用 根火柴棒。

（1）

（2）

（3）

即

分析：本例 ① 可拆为 即1+3=4（根）第②拆为

1+3?2=7（根）；第③图可拆为 即1+3?3=10(根)由此可知， 第⑩图为1+3?10=31（根），第n个图为：（3n+1）根。

例6．按如下规律摆放三角形：则第④堆三角形的个数为 ；第（n）堆三角形的个数为 。 △ △ △ △ △ △ △△△ △ △ △△△△△ △

△△△△△△△

① ② ③

分析：本例中需要进行比较的因素较多，于是把图拆为横向和纵向两部分，就横向而言，把三角形个数抽出来，就是3，5，7…这是奇数从小到大的排列，其表达式为：2n+1；就纵向而言，发现三角形个数依次增加一个：第①堆有2个，第②堆有3个，第③堆有4个，所以第（n）堆的个数就为（n+1）个。所以第n堆三角形的总个数为：（n+1）+(2n+1)即(3n+2)个。

4 / 6

尝试练习：

1.如图7－①，图7－②，图7－③，图7－④，，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规

律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n个“广”字中的棋子个数是________ 2．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ．

3．图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方第1个第2个形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s，则s＝ ． （用n的代数式表示s）

4．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，n=n=n= 则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n的代数式表示）．

5．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样（（的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ．

通过对此专题的复习和指导，我想你会有所感悟，有所收获，有所进步.

别忘记课后注意巩固训练，展示你的能力，体验成功的快乐！

三、课外拓展： 1.探索规律：3=3，3=9，3=27，3=81，3=243，3=729……那么3

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

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第3个…（

的个位数字是 。

2.观察下列等式：7=7，7=49，7=343，7=2041……由此可判断7的个位数字是 。 3.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据门，按此规律第七个数据是 。

100

9162536，，，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大5122132112113114+=，a2=+=，a3=+=……按此规律，则a99= 。

1?2?3232?3?4383?4?5415111111111115.已知=1-，=-，=-……，则+++

1?222?3233?4341?22?33?44.已知a1=…+

11111= ；用相同思路探究：++…+= 。

(2n?1)(2n?1)n(n?1)1?33?55?76．如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，

则第4幅图中有 个，第n幅图中共有 个．

… 7．如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1…个圆组成，第1幅 第2幅 第3幅 第n幅

第2个图由7个圆组成，第3个图由19图个圆组成，，按照这样5 的规律排列下去，则第9个图形由_______个圆组成．

8．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆．

…

第1个图形

第2个图形

第3个图形

5 / 6

第4个图形

9．用边长为1cm的小正方形搭成如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是_______________cm（用含n 的代数式表示）。

···

第1ABC次 中， 第AC=32次， BC= 4第3次 第410.如图10，已知Rt△，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为

C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，C4A5?

A5C56 / 6

图10

A1C1，C1A2，…，则CA1= ，

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