习题(2)

习题1

1. 设???1,2,3,4,5,6,7,8,9,10?,A??2,3,4?,B??3,4,5?,C??5,6,7?,求下列事件：

i)A?B; ii)A?(B?C).

3. 证明下列恒等式：

rrr?1i) Cn?Cn?1?Cn?1;

8?1888ii) Cn?Cn?C???C?1n?28.

7. 口袋内放有2个伍分、3个贰分、5个壹分钱的硬币，任取其中5个，求总值超过一角钱的概率。

8. 箱中盛有a个白球和?个黑球，从其中任意地接连取出k?1(k?1?a??)个球，如每球取出后不放回，试求最后取出的是白球的概率。

9. 一架电梯开始时有6位乘客并等可能地停于10层楼的每一层，求下列事件的概率： i) 某一层有两位乘客离开；

ii) 没有两位及两位以上乘客在同一层离开； iii) 恰有两位乘客在同一层离开； iv) 至少有两位乘客在同一层离开。

（假定乘客离开的各种可能排列具有相同的概率。）

10. 一列火车共有n节车厢，有k(k?n)个旅客上火车并随意地选择车厢。求每一节车厢内至少有一个旅客的概率。

11. 设P(A)?x,P(B)?y且P(A?B)?z. 用x,y,z表示下列事件的概率： i) P(A?B); iii)P(A?B);

ii)P(A?B); iv)P(A?B).

13. 设事件A、B、C满足

1P(A)?p(B)?P(C),

41P(AC)?.

8

P(AB)?P(CB)?0,

试求事件A、B、C至少有一个发生的概率。

14. 将线段(0,a)任意折成三折，试求此三折线段能构成三角形的概率。

15. 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是二小时，求它们中的任何一艘都不需等待码头空出的概率。

16. 试证：如果P(AB)?P(A),则P(BA)?P(B)

18. 全部产品中4%是废品，而合格品中的75%为一级品，求任选一个产品为一级的概率。 19. 当P(A)?a,P(B)?b时，证明：

P(AB)?a?b?1. b20. 进行摩托车竞赛，在地段甲、乙间布设了三个故障，在每一故障前停车的概率为0.1。从乙地到终点丙地竞赛者不停车的概率为0.7，求在地段甲、丙间竞赛者不停车的概率。

21. 卜里耶概型——设口袋里装有b个黑球，r个红球，任意取出一个，然后放回并再放入c个与取出的颜色相同的球，再向袋里取出一球，问：

i) 最初取出的球是黑的，第二次取出的也是黑色的概率；

ii) 如将上述手续进行n次，取出的正好是n1个黑球，n2个红球(n1?n2?n)的概率； iii) 用归纳法证明：任何一次取得黑球的概率都是

br;任何一次取得红球的概率都是; b?rb?riv) 用归纳法证明：第m次与第n次(m?n)取出都是黑球的概率是22. 利用概率论的想法证明恒等式（其中A?a均为正整数）：

b(b?c).

(b?r)(b?r?c)1?A?a(A?1)(A?a?1)(A?a)?3?2?1A?????. A?1(A?1)(A?2)(A?1)?(a?1)aa23. 两批相同的产品各有12件和10件，在每批产品中有一件废品。今任意地从第一批中抽出

一件混入第二批中，然后再从第二批中抽出一件，求从第二批产品中抽出的是废品的概率。

24. 在一盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球。在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样任意取出三个球，求第二次取出的三个球均为新球的概率。

25. 为了传递消息，采用电报系统发出“点”和“划”的信号，根据统计，干扰的情况是：传送“点”时平均有

为5:3 ，求在接收的信号中，“点”与“划”恰好是发出信号的“点”与“划”的概率。

21失真，而传送“划”时有失真。已知在传送的信号中，“点”与“划”之比5327. 某仪器有三个灯炮，烧坏第一、第二、第三个灯泡的概率相应地为0.1、0.2及0.3，并且相互独立。当烧坏一个灯泡时，仪器发生故障的概率为0.25，当烧坏两个灯泡时为0.6，而当烧坏三个时为0.9。求仪器发生故障的概率。

28. 已知P(BA)?P(BA)，证明事件A、B相互独立。

29. 甲、乙比赛射击，每进行一次，胜者得一分。在一次射击中，甲“胜”的概率为a，乙“胜”的概率为?。设a??(a???1)，且独立地进行比赛到有一人超过对方2分就停止，多得2分者胜，求甲、乙获胜的概率。

30. （小概率事件）设随机试验中某一事件A出现的概率??0，求在三次独立试验中A出现的概率，并证明：不断独立地重复做此试验时，A迟早会出现的概率为1，不论??0如何小。

31. 进行四产供销独立的试验，在每一次试验中A出现的概率为0.3。如果A不出现，则B也不出现；如果A出现一次，则B出现的概率为0.6；如果A出现不少于二次，则B出现的概率为1。试求B出现的概率。

32. 在四次独立试验中事件A至少出现一次的概率为0.59，试问在一次试验中出现的概率是多

少。

36. 在每一次试验中，事件A出现的概率为p，试问在n次独立试验中A出现偶数次的概率是多少？

37. 在间隔时间t内向电话总机呼叫k次的概率为Pt(k)，若在任意两个相邻的间隔时间内呼叫次数是相互独立的，求在间隔时间2t内呼叫8次的概率P2t(s)。

38. 已知自动织布机在?t这段时间内因故障而停机的概率为a??t?o(?t)（a是常数），并设机器在不重迭时间内停机的各个事件是彼此独立的。假定在时刻t0机器在工作着，试求此机器在由时刻t0到t0?t这段时间内不停止工作的概率P(t)（设P(t)与初始时刻t0无关）。

习题2

3. 设随机变数?具有连续型分布：

F(x)??f(t)dt,

??x试求下列随机变数的分布函数和密度函数：

i)??1/?;ii)???;iii)U?e?t.特别，若

?2x,当0?x?1; f(x)???0,其它求i)、ii)、iii)的密度函数。

4. 随机变数?的密度函数为

5. 问A为何值时，F(x)?A?e?x(0?x??)是一随机变数?的分布函数（设当x?0时，

F(x)?0）？

7. 设某动物生下r个蛋的概率是P(??r)??rr!e??。若每一个蛋能发育成小动物的概率是p，

且各个蛋能否发育成小动物是彼此独立的。证明恰有k个后代的概率分布是具有参数为?p的泊松分布。

8. 在(0,a)线段上任意抛两个点（抛掷的二点的位置在(0,a)上独立地服从均匀分布）。试求两点间距离的分布函数。

9. 设随机变数?具有严格单调上升边疆的分布函数F(x)。求??F(?)的分布函数。

10. 设?是在任何有限区间(a,b)上均有P???(a,b)??0的连续型随机变数。其分布函数为

F?。如果?在[0,1]上服从无益发布，令??F??1(?)证明?具有与?相同的分布函数F?。

11. 设F1(x)、F2(x)为两个分布函数，问：i)F1(x)?F2(x)是否为分布函数？ii)若

a1?0,a2?0均为常数，且a1?a2?1。证明

a1F1(x)?a2F2(x)

为分机上函数。

12. 证明任何分布函数具有下列性质：

1?xZdF(Z)?0; x1limxdF(Z)?0; x??????Zlimxx???limxx?0?1?xZdF(Z)?0; x1limxdF(Z)?0. x?0????Z?13. 求证：如果F(x)是分布函数，则对任何h?0，函数

1x?h1x?h?(x)??F(y)dy; ?(x)?F(y)dy

hx2h?x?h也是分布函数。

14. 设二维随机变数(?,?)在以原点为中心，r为半径的圆上服从均匀分布，求联合密度函数及各边沿分布密度函数。

15. 设二维随机变数(?,?)的密度函数为

?2xy?x?,0?x?1,0?y?2; f(x,y)??3??0, 其它求：i) (?,?)的边沿分布密度函数；

ii)?,?的条件分布密度函数； iii)P(????1); P(???)及P???16. 设二维随机变数(?1,?2)的密度函数是

?11????. ?2??21x1k1?1(x2?.x1)k2?1e?x2.

?(k1)?(k2)求?1和?2的边沿分布密度函数.

18.设(?,?)具有下述联合分布密度函数，问?与?是否相互独立？

1??xxe,x?0,y?0;?2(1?y)i)f(x,y)?? ?0,其它?ii)f(x,y)?8xy,0?x?y?1

19.设随机变数(?,?)服从二维正态分布

f(x,y)?1e2?ab1?x2y2??2?22??ab????

x2y22求(?,?)取值于椭圆：2?2?r内的概率.

ab20.设随机变数?的密度函数为

f(x)?Ae?x (???x??)

求：i)系数A； ii)P(0???1)； iii)分布函数F(x).

21.i)设?是?0,??上的均匀分布，求??sin?的分布函数. ii)设?是??,?上的均匀分布，求??cos?的分函数. ?22?23.设?1和?2相互独立，并具有共同的几何分布P??i?k??pqk,(i?1,2,;k?0,1,2,?)。 i) 证明：

????P(?1?k?1??2?n)?ii) 求??max??1,?2?的分布： iii) 求?与?1的联合分布。

1 (k?0,1,?,n); n?124. 设随机变数?,?相互独立，且都服从泊松分布

m?1fi(m)?m!e??1, m?0,1,2,?;

f?(n)??m2n!e??21, n?0,1,2,?;

eji(1?ejnt)， jtn(1?e)则?以概率

1取值1,2,?,n. n4. 求下列各随机变数的概率分布。其特征函数分别为：

a)cost;

b)cos2t.

5. 设随机变数?的分布函数为F(x),F(x)边续且严格单调。求：

a)??aF(?)?b;

b)??lnF(?)的特征函数。

6. 设F(x)是随机变数?的分布函数。?(t)为?的特征函数。令

1x?hF(y)dy, ?x?h2hsinht?(t). 其中h?0为常数，则G(x)的相应的特征函数为htG(x)?8. 证明：特征函数?(t)是实值的充要条件是其相应的分布函数F(x)是对称的（即F(x)满足：

F(x)?1?F(?x?0)).

9. 求证：对任何实特征函数?(t)，以下二不等式成立：

1??(2t)?4(1??(t)),1??(2t)?2[?(t)].2

10. 试证：满足下列各等式的连续函数?(t)是特征函数： i) ?(t)??(?t); ii) ?(t?2a)??(t); iii) ?(t)?a?t (0?t?a), a其中a是正常数。

11. 证明：若?1,?2,?,?n相互独立。都服从正态N(0,1)分布，则分布。

1??nk?1nk也服从正态N(0,1)习题5

1. 设?(x)?e?2???1x?y22dy.试证明对每一x?0,有

?x1212?e1?21?11???1??(x)?e?. ?3?x2??xx?x23. 试证明：如果?(x)是正的单调递增函数。而E[?(?)]?m存在。则

P(??t)?m/?(t).

25. 设?n?a,?n?b(a,b为常数且b?0)，证明：1）?n???a2; 2）

PPP?nPa???. ?bn6. 若?n????,是否有E(?n)?E(?)？

P7. 设f(x)在(0,?)上连续、单调上升。f(0)?0且supf(x)??。证明：?n???0等价于

x?0PlimE[f(?n)]?0。

n??8.设??k?(k?1,2,?)为随机序列，且

W?k???c，

其中c为常数，则

P?k???c.

WP9.设??k?(k?1,2,?)及??k?(k?1,2,?)是两个随机序列，且?k?? ??，?k???0.证明：

W?k??k????.

10.将n个带有号码1至n的球投入n个编有号码1至n的匣子.并限制每一个匣子只能放进一个球，设球与匣子的号码一致的个数是sn.试证：

sn?E(sn)P???0. n12.设g(x)是???x???上的连续函数，且?n????,则g(?n)???g(?).

PP?n?13.（马尔可夫大数定律）设随机序列??k?对任一正整数n均有D???k???，而且

?k?1?1?n?lim2D???k??0 n??n?k?1?则??k?服从大数定律，亦即，对任意??0，有

?1n?limP????k?E(?k)?????0. n???nk?1?15.证明：若??k?，??k?都服从大数定律，则??k??k?也服从大数定律.

16.设?n服从参数为n,pn的二项分布，若当n??时npn??，用特征函数法证明??n?的极限分布是参数为?的泊松分布.

17.用特征函数证明辛钦大数定律.

18.设随机序列??k?相互独立且满足

1??k, 概率为,??2?k??(jk?1,2,?)

??k?, 概率为1,??2证明：当??1时??k?服从大数定律. 2 19.已知独立随机序列??k?具有同一分布函数：

F(x)?11x?arctg 2?a1发生，是否可以用大于0.975的概率确信：在1000次试验2试验证：辛钦大数定律对此序列是否适用. 20.在每次试验中，事件A以概率

中，事件A出现的次数在400与600范围内？

21.试确定：由以下给定分布的相互独立的随机序列??k?是否满足使用大数定律的充分条件？

1

a) P(?k??2k)?;

2

b) P(?k??2k)?2?(2k?1), P(?k?0)?1?2?2k1?1

c) P(?k??k)?k2

2 P(?k?0)?1?k.

22. 随机序列

?12

??k?具有相同的期望与方差。如果所有的协方差

bij?E(?i?E(?i))(?j?E(?j))?0(i?j)，问大数定律对此序列是否适用？

23. 设有这样一个随机序列??k?，其?k仅与?k?1相关，而与其它所有的?j不相关。若D(?k)一致有限，证明大数定律对此??k?成立。

24. 已知随机序列九牛二虎之力方差皆为有限，D(?k)?C(C为常数)。并且当）证明：大数定律对此序列适用。 i?j??时,?ij?0. （?ij为?i与?j的相关系数。

25. 证明：如果对于独立随机序列??k?，当A??时，有

max?1?k?nx?AxdFk(x)?0,

则在??k?上可应用大数定律.

26.设??k?相互独立、同分布，其数学期望为?(?k??)，具有有限方差.如果sn?明：对序列?sn?，大数定律不成立.但如果nan?0，则?ansn?满足大数定律. 27.设??k?为随机序列. sn?则大数定律不能应用于??k?.

35.证明：若??k?服从中心极限定理，则??k??k?（?k为常数）也服从中心极限定理. 36.a）证明：对独立随机序列??k?，如果limBn??且limD?n/Bn?0，则中心极限定理成

n????k?1nk，试证

??k?1nk，若sn?Cn，且D(sn)??n2(C,?均为大于零的常数），

n??立的充分必要条件是麟德贝格条件成立.

b）第21题b)的??k?是否服从中心极限定理？

1?1?1137.设??k?相互独立，并且P(?k??k)?k3,P(?k??1)?(1?k3).问??k?是否满足中

22心极限定理？

38.设??k?为相互独立的随机序列，?k在[?k,k]上服从均匀分布.问对??k?能否应用中心极限定理？

39.设??k?为相互独立的随机序列，而且??k?一致有界.即存在常数L，使对一切，中心极限定理成立. k,P(?k?L)?1.则当B??D(?k)趋于?时（当n??）

2nk?1n 40.若独立随机序列??k?：

?k取值 ?k概率 ak pk 0 ?ak pk 1?2pk 问ak为何值时，大数定律及中心限定理成立？

41.对下列独立随机序列，李亚普诺夫定理是否成立？ i) ?k取值 ?k k ii

?k概率 1 21 2） ? k a 0 k a , a ? 0. ? 取值k?k概率 1 31 31 3 43.设在第k次试验中，事件A的出现概率等于pk，而Sn是事件A在n次独立试验中的出现次数. 求证：在

?pqkk?1k??时(qk?1?pk)，也只在这样的时候有，

n???Sn???k?1??k?1P???n2???pq?kk???k?1??x??e?z22dz.

习题6

1.设总体?服从正态N(12,2)，今抽取容量为5的子样?1,?,?5，试问： （1）子样的平均值?大于13的概率是多少？ （2）子样的极小值小于10的概率是多少？ （3）子样的极大值大于15的概率是多少？

3.设电子元件的寿命（时数）?服从以??0.0015为参数的指数分布，即有密度函数 f(x)?0.0015e?0.0015x,x?0.今测试6个元件，并记录下它们各自失效的时间（单位：小时）.试问：

（1）至800小时时没有一个元件失效的概率是多少？ （2）至3000小时时所有元件都失效的概率是多少？

5.设?1,?,?n为总体?~N(?,?)的子样，E(?)??,D(?)??2，定义

1nd???i?a，

ni?12?2??试证E(d)??,D(d)??1??.

????n2 6.设总体?服从正态N(20,3)，今从中抽取容量为10及15的两个独立子样，试问这两个子样的平均值之差的绝对值大于0.3的概率是多少？

7.总体?服从正态N(a,?),?1,?2为其子样，试求子样极差的分布，极大值与极小值的分布.

2 9.设总体?服从正态N(a,?1)，总体?服从正态N(a2,?2),?及?、S12及S2分别为其子样的平

均值与方差，这两个子样的相关系数为：

1n(?i??)(?i??)?SnR?i?1?12，

S1?S2S1?S2试证当(?1,?1),?,(?n,?n)为正态总体(?,?)的子样时，则有

n?1(???)?(a1?a2)S?S?2RS1S22122~t(n?1).

10.设总体?的E(?)?a1,D(?)??2，总体?的E(?)?a2,D(?)??2.n1及n2、?及?、S12及

2分别为其子样的容量大小、平均值与方差.试证：当?及?服从正态分布且两个子样相互独立，S2则有

(???)?(a1?a2)S/n2?S/n2122n1??1n2??~N(0,1).

12.设?1,?,?n是n个相互独立的且都是服从正态N(0,1)的随机变数，?1,?,?n到?1,?,?n的变换为正交变换.试证?1,?,?n是n个相互独立的且都是服从正态N(0,1)的随机变数.

2 13.设总体?服从正态N(a,?)，?1,?,?n为其子样，?及Sn分别为子样的平均值及方差.又设

?n?1服从正态N(a,?)，且与?1,?,?n相互独立.试求统计量

??的抽样分布. 14.设

?n?1??Snn?1 n?1?1,?,?n相互独立且分别服从正态N(ai,?i)，试证???ci?i服从正态

i?1n?nN??ciai,?i?1??22c?. ?ii??i?1?n 15.设?1,?,?n相互独立且分别服从正态N(ai,?i)，i?1,?,n，即数学期望相同而方差不同.试证???i?i?1?in??i?a??an?11与??????????ni?1i?1i?1i??i?inn????相互独立，而且?服从正态分布，??2?~?2(n?1).

16.设总体?在?????11?*为顺序统计量，,???上服从均匀分布，?1,?,?n为其子样，?1*,?,?n22?**试求?1*,?n及（?1*,?n）的分布.

习题7

4.设总体?的密度函数为f(x;?), （1）f(x;?)??1,?,?n为其子样，求参数?的极大似然估计量.

1?x??e,x??,??????,???x??； 2??x??1,0?x?1 0????, （2）f(x;?)??

?0, 其它;?1?,0?x?? 0????, （3）f(x;?)???

??0, 其它;x?1???e,0?x?? 0????, （4）f(x;?)???

?0, 其它;? 5.设总体?服从二项分布b(N,p),0?p?1,N为正整数，?1,?,?n为其子样，求N及p的矩

法估计量.

6.设总体?服从对数正态分布，密度函数为

f(x;a,?)?1?1?exp??2(lgx?a)2?, 2???2???1,?,?n为其子样，求a及?的矩法估计量.

7.设总体?的密度函数为

f(x)?(??1)x?,0?x?1,???1.

?1,?,?n为其子样，求参数?的极大似然估计及矩法估计.今得子样观察值为0.3、0.8、0.27、0.35、

0.62及0.55，求参数?的估计值.

8.设T为电子元件的失效时间（单位：小时），其密度函数为

f(t)??e??(t?t0),t?t0?0

（即随机变数T具有在左边t0截头的，参数为?的指数分布）.假定n个元件独立地试验并记录其失效时间分别为T1,?,Tn.

（1）当t0为已知时，求?的极大似然法估计量. （2）当?为已知时，求t0的极大似然法估计量. 10.设总体?服从?-分布，密度函数为：

f(x;?)???(a?1)?(a?1)xae?,x?0.

?x?1,?,?n为其子样.若a为已知，求参数?的极大似然估计计量.

11.设总体?的密度函数为：

f(x;?1,?2)?1?2e?x??0?2

????1?x??,0??2??,?1,?,?n为其子样，求参数?1及?2的极大似然法估计量.

12.设总体?服从正态N(a,?)，?1,?,?n为其子样.

1n（1）求k，使????i??为?的无偏估计量.

ki?11n?122

（2）求k，使?????i?1??i?为?的无偏估计量.

ki?113.设总体?的数学期望为a，方差为?2,?1,?,?n是它的子样，T??1,?,?n?为a的任一线性无偏估计量，证明子样平均?与T的相关系数为D(?)D(T). 1?n14.设总体?服从正态N(a,?)，?1,?,?n为其子样，a为已知，证明?i?a为?的无?n2i?1偏估计量，且有效率为

1. ??215.设总体服从正态N(a,1)，???a??,?1,?2,?3为其子样，试证下述三个估计量

131?1??2??3； 5102115?2??1??2??3； （2）a3412111?3??1??2??3. （3）a362都是a的无偏估计量，并求出每一估计量的方差，问哪一个最小？ ?1?（1）a?1及a?2分别为参数a的两个无偏估计量，它们的方差分别为16.设总体?的数学期望为a，a2?1?c2a?2有最小方差. ，相关系数为?，试确定常数c1?0,c2?0,c1?c2?1，使得c1a?12及?217.设总体?服从正态N(a,1)，总体?服从正态N(a,?)，?1,?,?n2?1,?,?n1为总体?的子样，为总体?的子样，且这两个子样相互独立.

?. （1）试求a?a1?a2的无偏估计量a?的方差达到最小. （2）如果n1?n2?n固定，问n1及n2如何配置，可使a18.设总体?及?的数学期望及方差分别为a1,a2及?1,?2,?1,?,?n及?1,?,?n分别为它们的

221n1n子样，这两个子样相互独立，????i,????i，试证???为a1?a2的最优线性无偏估计

ni?1ni?1量.

19.设总体?的密度函数为：

11?1, ???x????f(x;?)??22

??0, 其它,??????,?1,?,?n为其子样.

（1）求参数?的极大似然估计量. （2）证明子样平均?及1?max?i?min?i?都是?的无偏估计量，问哪个较有效？ 21?i?n 1?i?n20.设总体?的密度函数为

?1?, 0

1?i?3431?i?3?及??的参数?的两个独立的无偏估计量，且??的方差为??的方差的两倍，试确定常数 21.设?1212??c???c1及c2，使得c1?122为参数的无偏估计量，并且在所有这样的线性估计中方差最小.

23.设T1及T2分别是常数?的可估计函数g1(?)及g2(?)的最优无偏估计量，试证

bT11?b2T2是b1g1(?)?b2g2(?)的最优无偏估计量，其中b1和b2是常数.

25.设总体?服从正态N(a1,?1)，总体?服从正态N(a2,?2)，?1,?,?n1，?1,?,?n2分别为其子样，并且这两个子样相互独立. （1）试建立?122的置信水平为1??的区间估计； ?2 （2）假定?1??2，试建立a1?a2的置信水平为1??的区间估计.

26.设总体?服从正态N(a1,?)，总体?服从正态N(a2,?)，其中?未知，?1,?,?n及?1,?,?n分别为其子样，并且这两个子样相互独立，求a1?a2的置信水平为0.95的区间估计. 27.设总体?服从正态N(a,?)，已知

?xi?115i?8.7,?xi2?25.05，试分别求置信水平为0.95的

i?115a及?2的区间估计.

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