第一章(行列式和线性方程组的求解)

几何与代数

主讲: 张小向e33b1d3543323968011c92d7

第一章行列式和线性方程组的求解

第一节二阶, 三阶行列式

第二节n阶行列式的概念

第三节行列式的性质

第四节线性方程组的求解

第五节用Matlab解题

学代数

方程组

多项式的次数

未知量

的个数方程

的个数

线性代数线性方程组未知

已知

涉及

的函数

多项式一次≥1

≥1

线性方程组的应用: 平面的位置关系

电路

化学方程式配平

交通流量

营养配方

搜索引擎

投入产出模型……W. Leontief [美]

(1905.8.5-1999.2.5)

1973

Nobel 经济学奖

投入(元)

产出(元)

煤运费电

0.20.31煤

0.50.11运费

0.60.10.11电

订单(元)

60000

100000

x y

0.9x-0.65y= 60000

-0.32x+ 0.89y= 100000

第一章行列式和线性方程组的求解§1.1 二阶, 三阶行列式§1.1 二阶, 三阶行列式

历史上,

行列式因线性方程组的求解而被发明G. W. Leibniz [德]

(1646.7.1~1716.11.14

)S. Takakazu [日] (1642?~1708.10.24)

第一章行列式和线性方程组的求解§1.1 二阶, 三阶行列式(a11a22-a12a21)x1= b1a22-a12b2

(a11a22-a12a21)x2= a11b2-b1a 21

?

当a

11a22-a12a21≠0时,

a11x1+ a12x2= b1

a21x1+ a22x2= b 2

x1=

b1a 22-a 12b 2

a11a 22-a 12a 21

, x

2

= a

11

a22-a12a21

a11b2-b1a21

.

第一章行列式和线性方程组的求解§1.1 二阶, 三阶行列式

a 11 a 12 a 21a 22 记D = ,

b 1a 12 b 2a 22 D 1= , a 11 b 1 a 21b 2

D 2= , 则当D = a 11a 22-a 12a 21≠0时,

, =D 1 D =D 2 D

. a 11x 1+ a 12x 2= b 1a 21x 1+ a 22x 2= b 2

x 1= b 1a 22-a 12b 2 a 11a 22-a 12a 21 有唯一确定的解

x 2= a 11a 22-a 12a 21 a 11b 2-b 1a 21

= 33+ a 1231+ 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-.

第一章行列式和线性方程组的求解§1.1 二阶, 三阶行列式对角线法则

a 11 a 12 a 21a 22= a 11a 22-a 12a 21a 11a 12a 13a 21a 22 a 23 a 31a 32a 33

a 13a 21a 32 a 11 a 22 a 33 a 23a 31 32 a 13a 22a 31

第一章行列式和线性方程组的求解§1.1 二阶, 三阶行列式

a 11

a 12a 13a 21a 22a 23a 31

a 32a 33记D = , 则当D 0时,

a 11x 1+ a 12x 2+ a 13x 3=

b 1a 21x 1+ a 22x 2+ a 23x 3= b 2a 31x 1+ a 32x 2+ a 33x 3= b 3

, D 1 D x 1= 有唯一确定的解b 1a 12a 13b 2a 22a 23b 3a 32a 33D 1= , a 11b 1a 13a 21b 2a 23a 31b 3a 33D 2= , a 11a 12b 1a 21a 22b 2a 31a 32b 3

D 3= , , D 2 D x 2= . D 3 D x 3=

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2 n 阶行列式的概念

§1.2 n 阶行列式的概念

110 0120 00 0 1-10 0 12

仿照三阶行列式的对角线法则可得

1?2?1?2-1?1?(-1)?1= 4+1 = 5.

310 0520 000 1-130 12

3?2?1?2-1?5?(-1)?1= 12+5 = 17.

但方程组

???

x 1+ x 2= 3x 1+ 2x 2

= 5

x 3-x 4= 0

x 3+ 2x 4= 3

有唯一解???

x 1= 1x 2= 2x 3= 1x 4= 1

≠175

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2 n 阶行列式的概念

一. 排列的逆序数与奇偶性

1.全排列(简称排列)P n = n 个不同元素的所有排列的种数

= 1?2?…?(n -1)?n

例如, 1, 2有个全排列: 1 23, 13 2, 3 1 2, 2 13, 23 1, 3 2 112, 21. 1, 2, 3有个全排列:

2 6 =n !

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2 n 阶行列式的概念

2. 逆序数先规定一个标准次序偶排列如自然次序: 1 2 3 4 … (n 1) n n = 6时, 1 2 3 4 5 6 ——标准次序1 4 2 3 5 6 ——有逆序 4 2 4 3 2 个3 2

3 2 1

4

5

6 ——有逆序

2 1

3 1

3 个逆序数奇排列

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2 n 阶行列式的概念例1. 求下列排列的逆序数

(1) 32514,

(2) (2n)(2n-2)…4213…(2n-3)(2n-1).

3. 对换/邻对换

1 53 4 26 3

2 14 5 6

1 3 24 5 6 1

2 4 35 6

注: ①任一邻对换都改变排列的奇偶性.

②任一对换都可通过奇数次邻对换来实现.

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2 n 阶行列式的概念定理1.1. 每一个对换都改变排列的奇偶性. ?? ???? ?? ???? ?? ??? ? 1 ?? ?? ??2 ?? ? ???3 ??? ????4 ??? ????5 ?? ? ???6 ?? ?? ??7 ?? ??? ?89

?? ??? ? ?? ?? ??1 ?? ? ???2 ??? ????3 ??? ????4 ?? ? ???5 ?? ?? ??6 ?? ??? ?7推论. n 2时, n 个元素的所有排列中, 奇、偶

排列各占一半, 即各有n !/2个.

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2 n 阶行列式的概念

二. n 阶行列式的定义

1.三阶行列式的特点

每一项都是三个元素的乘积. a 11 a 12a 13 a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33= a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-a 13a 22a 31. 每一项的三个元素都位于不同的行和列.

行列式的6项恰好对应于1, 2, 3的6种排列. 各项系数与对应的列指标的排列的奇偶性

有关.

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2 n 阶行列式的概念()()=

-∑123123

1231231j j j j j j j j j a a a τa 11 a 12a 13 a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33j 1j 2j 3的逆序数对所有不同的三级排列j 1j 2j 3求和()()=-∑1212

12121j j j j j j a a τa 11 a 12a 21a 22

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2 n 阶行列式的概念

2. n 阶行列式的定义a 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …

a n 1 a n 2 … a nn

()()=

-∑121212121 n n

n j j j j j nj j j j a a a τ注: 当n = 1时, 一阶行列式|a 11| = a 11,

这与绝对值符号的意义是不一样的.

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2 n 阶行列式的概念例如, 四阶行列式

中, 负a 12a 23a 34a 411234a a 13a 14222331324144a 14a 23a 32a 41前面带____号,正a 11121314 a 21a 22a 23a 24a 31a 32a 33a 34a 41a 42a 43a 44

a 31a 22a 13a 44前面带____号.负没有,

a 11a 22a 31a 44前面带____号, a 13a 22a 31a 44

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2 n 阶行列式的概念 3. 几个特殊的行列式

λ1 0 0

0λ2 … 0… … … …

0 0 … λn

0 … 0 λ1 0 … λ20… … … …

λn … 0 0

= λ1λ2…λn , (1) 对角行列式

λ1λ2…λn .= (-1) n (n -1) 2

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2 n 阶行列式的概念(2) 上(下)三角形行列式

a 11 a 12 (1)

0a22 ... a 2n ... ... ... ...00... a nn a11 0 0

a21a22 0

… … … …

a n 1 a n 2 … a nn = a 11 a22…a nn . = a11 a22…a nn .

事实上, 只有p

i i(i= 1,2,…n)时,

12

12

n

p p np

a a a

才有可能不为0.

若有某个p

k

> k, 则必然有若有某个p l< l,

否则1+2+…+n= p

1

+p2+…+p n>1+2+…+n, 矛盾!

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k61q.html