刚体力学

(二)刚体力学

1．质量分布均匀的两个滑轮A和B，用细绳相缠绕，其中A轮质量为M1，半径为R1，悬挂在天花板上，B轮质量为M2，半径为R2，B轮从静止状态沿铅直方向下落，试求B轮质心的速度与下落距离的关系。（忽略轮轴间摩擦及细绳质量）

A M1 T T 2 1 B

M2 2题图 1题图 2．如图所示，一人质量为m1，站在一起重机笼内，笼的质量为m2，半径为R的滑轮质量为M，滑轮与绳之间无滑动，滑轮与轴承之间的摩擦不计，绳的质量也不计，人用力拉绳，使人与笼一起以加速度a上升，两绳皆可视为铅直。 （1） 画出m1、m2 及滑轮受力图。 （2） 列出求解T1、T2所需的方程。

3．如图所示，定滑轮视为质量均匀分布的圆盘，质量为m，半径为R，物体A的质量为2m，物体B的质量为m，物体C的质量为2m，系统用轻绳连接 ，绳和滑轮间没有滑动，轴处无摩擦，求绳中张力T1 、T2 、 T3的大小。

R

R0 A T 2 B T 1 T3 2R0

A C B 3题图 4题图

4．匀质圆盘A质量为m，半径为Ro，匀质圆盘B，质量为4m，半径为2Ro，B盘静止于光滑水平面上，A盘以?o绕盘中心在水平面内转动，后将A盘轻轻的放到B盘上，A、B间的摩擦系数为?o， 求：

（1） A、B盘最终以多大的角速度转动？

（2） 从A放到B上开始经多长时间A、B以共同的角速度

转动？

5．一定滑轮，质量为m1，半径为r，挂于天花板上，如图所示，滑轮上跨过一不能伸长的均匀柔软的细链，链长为L，质量为

m2，链的两端各悬一碗，碗中盛粘土半满， 碗和土的总质量为m3，原来链长两边相等时，静止不动，现在质量m4很小的小球，在右碗的正上方高h处，由静止落入碗中，于是滑轮和链开始运动，假设滑轮与链间无滑动，轮轴是光滑的，试求当右碗下降s距离时，其速度是多少？

L r o m4 m2 h m3 m3 6题图 5题图 6．一根均匀细钢棒重w ，它的两端用两个垂直的支撑使它保持水在，t=0时。把其中一根支撑拿走，求另一根支撑物此刻所受的力。

7．一质量m，半径为R的圆盘。可绕过中心的竖直轴无摩擦地转动。一轻绳绕在圆盘上并跨过一个质量也为m。半径为r的定滑轮B，( 视为圆盘 )系在质量为M的物体C上。当物体C沿竖直方向下落时，绳与圆盘，滑轮间无滑动。求 （1） 物体C下落的加速度.

（2） 圆盘与滑轮间，滑轮间与物体C之间绳的张力 A T1 B

2a

T2

θ M C

8题图 7题图

8．有一架长为2a， 质量为M的匀质梯，以外力保持其靠在光滑的垂直壁和水平面上，梯与光滑水平面的初始交角为?。 问（1）当外力突然去后，求梯的运动， （2）在什么角度梯子与垂直壁脱离。

9．如图所示，一质量为M的人，站在铁道上的车上，小车以速度v沿无倾斜的半径为R的圆轨道上运动。人相对小车静止并保持相同的站立姿势，人的质心距小车平面的高度L，两脚间距为d，求人的每只脚对小车的压力。

L R O d

θ

10题图 9题图

10．一个刚性球体从与水平面成?角的斜面上无滑动的滚下，求质

心的平动加速度。

11．一个质量为m半径为R的实心均匀圆柱体放在与水平成?角的斜面上圆柱体与斜面间摩擦系数?，对?小于某个监界角?C 时，圆柱将无滑地往下滚动。问

(1) 角度 ?C 有多大？

(2) 对于?

F ω o 6R/7 v0 θ 11题图 12题图 13题图

12．使半径R=10cm重量 p=10kg 的均匀实心圆柱体以角速度?o =10转/秒、绕中心轴转动，然后将此匀速转动的圆柱体轻轻放在摩擦系数??0·1的水平面上。问径过多长时间后圆柱体变为纯滚动？

13．用杆猛击一个原来静止着的弹子球，球杆水平地打在中心线

6上R 处，设球被击中后质心C 以速度vo 向前运动，仅在击7球瞬时可忽略摩擦力的影响，由于球被击后旋转对地存在滑动，因此产生摩擦

求：球由有滑动到纯滚动开始后的速率。

14．如图所示，左边的球以速率v水平地向着静止的相同的球作无滑滚动，每个球都是质量为M 的均匀球，假设在碰撞时所有的摩擦力足够小，产生的效应均可忽略，并且瞬时碰撞是完全弹性的，计算

（1） 在碰后相当长的时间后每个球重新作无滑滚动时的速度。 （2） 由于摩擦力使初始能量转化为热能的百分数。

Ω ω1 Ω2 v M 1 M2 R 1 2 R 14题图 15题图

15．两均匀圆柱分别绕它们本身轴转动二轴平行，一圆柱的半径为R1 质量为M1, 另一圆柱半径为R2 ，质量为M2,开始它们沿同一转向分别以?1和?2的角速度转动，然后平移二轴使它们在共同切点接触。当最后达到稳定状态时，求每个圆柱的角速度。 16．一质量为m 半径为R 高为h=R 的圆柱体。可绕轴线OOˊ 转动，在圆柱侧面上开有一与水平成?=45o 角的螺旋槽,放一质量也为m 的小球于槽中,开始时小球由静止从柱顶端A 受重力作用下滑下，圆柱体同时发生转动，设各摩擦均不计，试求当小球滑落到圆柱体底部B 时，小球相对圆柱体的速度和圆柱体的角速度。

O R

m m v 0 v A

h 450 B

O’

17题图 16题图

17．如图所示、圆柱体的轴固定不动，最初圆柱体是静止的，一质量为 m的木块以速率vo 无摩擦地向右滑动，它经过圆柱体而到达虚线所示的位置，当它和圆柱体接触时，它就在圆柱体上滑动。但因摩擦足够大，以至于在它刚和圆柱体停止接触时，它在圆柱体上的滑动就同时停止。设圆柱体半径为R 转动惯量为J, 求木块最后速率.。

18．如图所示：半径为r 的均质小球自半径为R 的大球顶部由静止开始受微小扰动而无滑地滚下，大球固定不动。试求小球开始脱离大球时的角度。 O ˊ r

R V 0 θ m O 19题图 18题图

19．置于光滑水平面的均匀细长杆，与绕过杆心的竖直向上固定轴连结并可自由转动，杆长为L 质量为m, 质量也为m 的质点

1以vo 速度在水平面上垂直于杆运动，碰撞到距杆的一端为 L

4的位置并粘在其上。求:

（1）碰后杆绕固定轴的转动的角速度； （2）杆转动后，轴所受力的大小。

20．如图所示。质量为m 半径为r的实心球、由与固定环形轨道连接的直边一点从静止开始无滑动地滑下，环形轨道半径为R，R>r，求：

（1） 至少应在轨道最低点A 以上什么位置(高度h) 将球放下，

才能使小球滚到轨道最顶点C ?

（2） 假定该小球从轨道最低点以上6R(h=6R)处从静止开始滚

下，问在B处作用在小球上的力的水平分量为多少？B点与环形轨道中的O点在同一水平线上。

m C F 0

C h O B R A

21题图 20 题图

21．一质量为M半径为R均匀圆柱体，放在粗糙的水平面上，上面绕着细绳，现用水平力F0拉动细绳 ，使圆柱体在水平面上作无滑滚动。求：

（1） 圆柱体的加速度； （2） 水平面对它的摩擦力。

22．一半径为R 的圆柱体。静止于小车内，圆柱与底板间有足够 的摩擦力，使得圆柱体在其上仅能做纯滚动，现使小车从静止开始以加速度a做匀加速运动，求柱体质心相对小于小车的加速度（只讨论柱体与车壁碰撞前的情况）。

a O A

v0 m 22题图 23题图

23．如图所示、一质量为 m长为L 的细长杆可绕过杆一端的光滑固定轴O 在光滑水平面内自由转动,开始时，杆在水平面内处于静止状态，另一质量为 m的小球以初速度vo 垂直打杆的另一端点A 发生非完全弹性碰撞，恢复系数为e 。 求（1）碰后杆绕固定轴转动的角速度。

（2）小球的速度大小、方向。

24．如图置于水平光滑平面上的匀质细长杆，其质量为m 长为L, 此杆可绕过A 端的竖直固定转轴无摩擦地转动，杆处于静止状态，有一质量也为m 的质点以 速度vo 垂直地碰撞杆的B 端,设碰撞是完全弹性的.求:

（1） 碰后杆绕轴转动的角速度。

（2） 碰后杆的转轴所受杆的作用力的大小和方向 。

O

A B v0 L m V0 25题图 24题图 m

25．在光滑水平面上有一长为L ，质量为m 的匀质细长杆、可绕中心 O垂直于水平面的轴自由转动，一质量为m 的质点在光滑水平面内垂直地碰撞杆的左端，速度为vo，，质点与杆的碰撞的恢复系数e=0·5 。求碰后杆绕轴转动的角速度及质点运动速度？

26．质量为M、半径为r的均质圆柱体放在粗糙水平面上，柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m 的物体，设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平

的。求圆柱体质心的加速度，物体的加速度及绳中张力。

r M m 26题图

27．如图所示，均匀细长麦杆长为

L/4 m v0 O 27题图 L ，可绕通过中心O 的固定

水平轴在铅直面内自由转动，开始时麦杆静止于水平位置，一质

1量与麦杆相同的甲虫以速度 vo垂直落到麦杆的 长度处，落下

4后立即向端点爬去。试问

（1） 为使麦杆以均匀的角速度转动甲虫沿麦杆的爬行速度应是

多少？

（2） 甲虫轨迹的参变方程是什么？

（3） 为使甲虫在麦杆转到铅直位置前能爬到端点，甲虫下落的

速度vo的最高值是多少？

28．在一倾角为45o 的固定斜面的下端有一质量为m半径为R的圆柱体，给圆柱体质心以速度vo，使其沿斜面向上运动，圆柱

1体与斜面间最大静摩擦系数为? = ，分别就下两种情况求出

2圆体沿斜面上升的最大距离 S。

（1） 圆柱体运动一开始便作纯滚动 即质心速度vo ,柱体绕质心

V转动角速度为?o ，?o =O 。

R（2） 质心速度为vo ，绕质心转动的角速度为零。

m

R 0 H h 45

28题图 29题图

29．如图所示，一固定的抛物状斜面，以斜面最低点为分界线。斜面右侧是粗糙的，现有一质量为m 半径为r 的实心小球，在小球质心距斜面最低高为H 处，在左侧光滑斜面上由静止释放。问小球第一次在右侧粗糙斜面上能够上升的最大高度h 为多少？设小球一经接触粗糙斜面便做纯滚动，且r<

m 1 r h m 0 2 k O

A

31题图 30题图

31．在光滑水平面上有一弹簧，其一端固定于光滑的轴承O上，另一端拴一质量为m=2kg 的质点，弹簧的质量很小及原长很短，因此都可忽略，质点m沿半径为ro的圆周做匀速率圆周运动，弹簧作用与质点m上的弹性力为3ro 牛顿，此时系统的总能量为12 焦耳。

（1） 求质点m 的运动速率及圆轨道半径。

（2） 设一沿半径向外的瞬时冲量作用于质点上，使质点得到一

沿半径向外的速度 vr =1m/s，求新轨道的极大极小值。 32．如图，质量分别为m1 和m2 的二滑块，分别穿于二平行水平光滑导杆上，二导杆间距离为d ，再以一弹性系数为k 原长为d的弹簧连接二滑块，如图所示，设开始时m1 位于x1 =0处，m2 位于x2 =L处，且其速度均匀为零，试求释放后两滑块的最大速度分别是多少？

m 1

x m 1 d m2 F x2 33题图 32题图

33．一质量为m的小球放在光滑的水平桌面上，用一穿过桌面中心光滑小孔的绳与小球相连。

（1） 要使小球保持在半径为r1的圆周上，以角速度?1绕中

心作圆周运动，求绳的一端的拉力F1。

（2） 增大绳的拉力，使小球的转动半径自r1减小到r2，并

使小球保持在的r2圆周上，求此时的拉力F2。 （3） 分析F1和F2那个大？

（4） 将小球自半径r1减小到r2的过程中，拉力F所作的功。 34．两圆盘可绕以贯穿二者中心并垂直于盘面的轴转动，转动时摩擦可忽略不计。设圆盘对于此轴的转动惯量各为I1和I2，两圆盘用扭转系数为D的弹簧相连。

（1） 将两盘反向扭转，再放之，求振动周期。 （2） 若圆盘中一个被固定，问周期如何变化？

35．如图，将一实心圆柱体的光滑轴O系于水平轻弹簧上 ，使它可以沿着水平面无滑动的滚动，弹簧的倔强系数k=3N/m，假设将这系统从弹簧被拉长0·25m的位置由静止释放，试求： （1） 当圆柱体通过平衡位置时的平动和转动动能。

（2） 当圆柱体的质量为0·5kg时，系统谐振动的周期。

k

35题图

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