数字信号处理期末复习题2015-2016

一. 填空题

1) 一线性时不变系统，输入为 x（n）时，输出为y（n） ；则输入为2x（n）时，输出为 2y（n） ；输入为x（n-3）时，输出为 y（n-3） 。

2) 从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率f与信号最高频率fs关系为： f大于等于2fs 。 3) 若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。

4) 序列x(n-2)可以通过x(n)__右____移两位得到

5) 根据采样定理，若采样频率小于信号的2倍最高频率，则采样后信号的频率会产生______混叠________。

6) 若已知x(n)的z变换为X(Z)， x(n-m)的z变换为 _ Z

-m

X(Z)______。

二．选择填空题

1 从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率f与信号最高频率fs关系为： A 。

A. f≥ 2fs B. f≤2fs C. f≥ fs D. f≤fs

2 序列x1（n）的长度为4，序列x2（n）的长度为3，则它们线性卷积的长度是 ，5点圆周卷积的长度是 B 。

A. 5, 5 B. 6, 5 C. 6, 6 D. 7, 5 3 无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构是__B____型的 A. 非反馈 B. 反馈 C. 不确定

4 若正弦序列x(n)=sin(60nπ/120)是周期的,则周期是N= C 。 A. 2π B. 4π C. 4 D. 8

5 一线性时不变系统，输入为 x（n）时，输出为y（n） ；则输入为2x（n）时，输出为

A ；输入为x（n-3）时，输出为 。

A. 2y（n），y（n-3） B. 2y（n），y（n+3） C. y（n），y（n-3） D. y（n），y（n+3）

6 在N=32的时间抽取法FFT运算流图中，从x(n)到X(k)需 B 级蝶形运算 过程。

A. 4 B. 5 C. 6 D. 3

7 设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为（ C ） A．当n>0时，h(n)=0 B．当n>0时，h(n)≠0 C．当n<0时，h(n)=0 D．当n<0时，h(n)≠0

8 若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时输出为( C )。

A.R3(n) B.R2(n) C.R3(n)+R3(n-1) D.R2(n)+R2(n-1)

9 .下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统?( D ) A.h(n)=δ(n) C.h(n)=u(n)-u(n-1)

B.h(n)=u(n) D.h(n)=u(n)-u(n+1)

10.一个线性移不变系统稳定的充分必要条件是其系统函数的收敛域包括( A )。 A.单位圆 B.原点 C.实轴 D.虚轴

11.已知序列Z变换的收敛域为｜z｜<1，则该序列为( C )。 A.有限长序列 B.右边序列 C.左边序列 D.双边序列 三，判断题

1． 在时域对连续信号进行抽样，在频域中，所得频谱是原信号频谱的周期延拓。（ 对 ） 2、x(n)=cos（w0n)所代表的序列一定是周期的。（ 错 ） 3、y(n)=x(n)+3所代表的系统是线性系统。 （ 错 ）

4、一个线性时不变离散系统是因果系统的充分必要条件是：系统函数H(Z)的极点在圆内。（ 错 ）

5、y(n)=cos[x(n)]所代表的系统是线性系统。（ 错 ）

6、x(n) ,y(n)的线性卷积的长度与x(n) ,y(n)的长度无关。（ 错 ）

2

7、在N=8的时间抽取法FFT运算流图中，从x(n)到x(k)需3级蝶形运算过程。（ 对 ） 8、一个线性时不变的离散系统，它是因果系统的充分必要条件是：系统函数H(Z)的极点在单位圆内。（ 错 ）

9、一个线性时不变的离散系统，它是稳定系统的充分必要条件是：系统函数H(Z)的极点在单位圆内。（ 对 ）

10.因果稳定系统的系统函数的极点可能在单位圆外。( 错 )

?2n?5,?4?n??1?1, 给定信号：x(n)??6,0?n?4

?0,其它?（1）画出x(n)序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； （3）令x1(n)?2x(n?2)，试画出x1(n)波形； （4）令x2(n)?2x(n?2)，试画出x2(n)波形； （5）令x3(n)?2x(2?n)，试画出x3(n)波形。 解：

（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2）

x(n)??3?(n?4)??(n?3)??(n?2)?3?(n?1)?6?(n)

?6?(n?1)?6?(n?2)?6?(n?3)?6?(n?4)（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2。 （4）x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2。

（5）画x3(n)时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，在乘以2。

2 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）y(n)?x(n)?2x(n?1)?3x(n?2)； （2）y(n)?x(n?n0)，n0为整常数； （3）y(n)?x(n)；

2（4）y(n)?解：

m?0?x(m)。

n（1）令：输入为x(n?n0)，输出为

y'(n)?x(n?n0)?2x(n?n0?1)?3x(n?n0?2)y(n?n0)?x(n?n0)?2x(n?n0?1)?3x(n?n0?2)?y(n)故该系统是时不变系统。

'

y(n)?T[ax1(n)?bx2(n)] ?ax1(n)?bx2(n)?2(ax1(n?1)?bx2(n?1))?3(ax1(n?2)?bx2(n?2))T[ax1(n)]?ax1(n)?2ax1(n?1)?3ax1(n?2) T[bx2(n)]?bx2(n)?2bx2(n?1)?3bx2(n?2) T[ax1(n)?bx2(n)]?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]

故该系统是线性系统。

（2）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。 令输入为x(n?n1)，输出为y'(n)?x(n?n1?n0)，因为

y(n?n1)?x(n?n1?n0)?y'(n)

故延时器是一个时不变系统。又因为

T[ax1(n)?bx2(n)]?ax1(n?n0)?bx2(n?n0)?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]

故延时器是线性系统。

（3） y(n)?x(n )令：输入为x(n?n0)，输出为y'(n)?x2(n?n0)，因为

2y(n?n0)?x2(n?n0)?y'(n)

故系统是时不变系统。又因为

T[ax1(n)?bx2(n)]?(ax1(n)?bx2(n))2 ?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]

2 ?ax12(n)?bx2(n)因此系统是非线性系统。

（4） y(n)?m?0?x(m)

n令：输入为x(n?n0)，输出为y(n)?'m?0?x(m?n)，因为

0ny(n?n0)??x(m)?y'(n)

m?0n?n0故该系统是时变系统。又因为

T[ax1(n)?bx2(n)]??(ax1(m)?bx2(m))?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]

m?0n故系统是线性系统。

3. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。

1N?1（1）y(n)??x(n?k)；

Nk?0（2）y(n)?n?n0k?n?n0?x(k)；

（3）y(n)?ex(n)。

解：

（1）只要N?1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果x(n)?M，则y(n)?M，因此系统是稳定系统。 （2）如果x(n)?M，y(n)?n?n0k?n?n0?x(k)?2n0?1M，因此系统是稳定的。系统是非因

果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.

（3）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果x(n)?M，则

y(n)?ex(n)?ex(n)?eM，因此系统是稳定的。

4. 设系统由下面差分方程描述：

y(n)?11y(n?1)?x(n)?x(n?1)； 22设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。

解：

令：x(n)??(n)

h(n)?11h(n?1)??(n)??(n?1) 22

11h(?1)??(0)??(?1)?12211n?1,h(1)?h(0)??(1)??(0)?122 11n?2,h(2)?h(1)?2211n?3,h(3)?h(2)?()222n?0,h(0)?归纳起来，结果为

1h(n)?()n?1u(n?1)??(n)

25设X(ejw)和Y(ejw)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换： （1）x(n?n0)； （2）x(?n)； （3）x(n)y(n)； （4）x(2n)。 解：

（1）FT[x(n?n0)]?n????x(n?n)e0??jwn

令n'?n?n0,n?n'?n0，则

FT[x(n?n0)]???jwn*n??????x(n')e?jw(n?n0)?e?jwn0X(ejw)

'（2）FT[x(n)]?*n?????x(n)en????[?x(n)ejwn]*?X*(e?jw)

n????jwn（3）FT[x(?n)]??x(?n)e

令n??n，则

'FT[x(?n)]?n'????x(n)e'?jwn'?X(e?jw)

jwjw（4） FT[x(n)*y(n)]?X(e)Y(e)

证明： x(n)*y(n)?m?????x(m)y(n?m)

??jwn?FT[x(n)*y(n)]?令k=n-m，则

n???m????[?x(m)y(n?m)]ee

FT[x(n)*y(n)]? ?k???m?????[?x(m)y(k)]e?jwk?m??????jwk?jwnk????y(k)e?x(m)e?jwn

?X(ejw)Y(ejw)6. 试求如下序列的傅里叶变换: （2）x2(n)?11?(n?1)??(n)??(n?1)； 22（3）x3(n)?anu(n),0?a?1 解：

（2）

1jw1?jw?jwnx(n)e?e?1?e?222n???

1 ?1?(ejw?e?jw)?1?cosw2X2(e)?jw?（3） X3(e)?jwn????au(n)en??jwn??ane?jwn?n?0?1

1?ae?jw7. 设系统的单位取样响应h(n)?au(n),0?a?1，输入序列为x(n)??(n)?2?(n?2)，完成下面各题：

（1）求出系统输出序列y(n)；

（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解： （1）

ny(n)?h(n)*x(n)?anu(n)*[?(n)?2?(n?2)] ?au(n)?2a（2）

nn?2u(n?2)

X(e)?H(e)?jwjwjwn?????[?(n)?2?(n?2)]e?au(n)enjw?jwn?n?0??jwn?1?2e?j2w1 ?jw1?aen?????ane?jwn?1?2e?j2wY(e)?H(e)?X(e)?1?ae?jwjw8 求以下序列的Z变换及收敛域： （1）?2?nu(?n?1)； （2）2?nu(?n)；

（3）2?n[u(n)?u(n?10)] 解：

（1） ZT[2u(n)]?（2）

?nn????2u(n)z?n??n??2?nz?n?n?0?11 ,z??1?11?2z2ZT[?2u(?n?1)]? ?（3）

?nn?????2??nu(?n?1)z?n?n??1??2??nz?n???2nznn?1??2z11?,z?1?2z1?2?1z?12

ZT[2u(n)?u(n?10)]??2?nz?n?nn?09 ?n1?2z,0?z??1?2?1z?1?10?10

9. 已知x(n)?au(n),0?a?1，分别求： （1）x(n)的Z变换； （2）nx(n)的Z变换； （3）au(?n)的z变换。 解：

（1）X(z)?ZT[au(n)]?n?nn????anu(n)z?n??1,z?a

1?az?1daz?1（2）ZT[nx(n)]??zX(z)?,z?a ?12dz(1?az)（3）ZT[au(?n)]??n?an?0???n?nz??anzn?n?0?1,z?a?1 1?az10. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率F?50Hz，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数： （1）最小记录时间Tpmin； （2）最大取样间隔Tmax； （3）最少采样点数Nmin；

（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。 解：

（1）已知F?50HZ

Tpmin?（2）Tmax?11??0.02s F501fminTpT?11??0.5ms 2fmax2?103（3）Nmin??0.02s?40 ?30.5?10（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）

Nmin?0.04s?80

0.5msy(n)?311y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1)， 48311. 设系统用下面的差分方程描述：

试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。

解：

y(n)?将上式进行Z变换

311y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1) 483311Y(z)?Y(z)z?1?Y(z)z?2?X(z)?X(z)z?1

48311?z?13 H(z)?3?11?21?z?z48（1）按照系统函数H(z)，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图（一）所示。 （2）将H(z)的分母进行因式分解

11?z?13 H(z)?3?11?21?z?z4811?z?13 ? 1?11?1(1?z)(1?z)24按照上式可以有两种级联型结构：

11?z?113(a) H(z)? ?1?11?1(1?z)(1?z)24画出级联型结构如题1解图（二）（a）所示

11?z?113(b) H(z)? ?1?11?1(1?z)(1?z)24画出级联型结构如题1解图（二）（b）所示 （3）将H(z)进行部分分式展开

11(1?z?1)(1?z?1)241z?H(z)AB3 ???1111z(z?)(z?)z?z?24241z?1103 A?(z?)?1112z?3(z?)(z?)2241z?173B?(z?)?? 1114z?3(z?)(z?)424107H(z)?3?3

11zz?z?24H(z)?11?z?13

107107zz?33 H(z)?3?3??1111z?z?1?z?11?z?12424根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。

12. 设数字滤波器的差分方程为

y(n)?(a?b)y(n?1)?aby(n?2)?x(n?2)?(a?b)x(n?1)?abx(n)，

试画出该滤波器的直接型、级联型结构。 解：

将差分方程进行Z变换，得到

Y(z)?(a?b)Y(z)z?1?abY(z)z?2?X(z)z?2?(a?b)X(z)z?1?abX(z)

Y(z)ab?(a?b)z?1?z?2 H(z)??X(z)1?(a?b)z?1?abz?2（1）按照Massion公式直接画出直接型结构如题2解图（一）所示。 （2）将H(z)的分子和分母进行因式分解：

(a?z?1)(b?z?1)H(z)??H1(z)H2(z)

(1?az?1)(1?bz?1)按照上式可以有两种级联型结构：

z?1?a(a) H1(z)?

1?az?1z?1?bH2(z)? ?11?bz画出级联型结构如题2解图（二）（a）所示。

z?1?a(b) H1(z)? ?11?bzz?1?bH2(z)?

1?az?1画出级联型结构如题2解图（二）（b）所示●。 13. 设系统的系统函数为

4(1?z?1)(1?1.414z?1?z?2)， H(z)?(1?0.5z?1)(1?0.9z?1?0.18z?2)试画出各种可能的级联型结构。 解：

由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。

H(z)?H1(z)H2(z)

（1） H1(z)?4?1?z?1?1?0.5z?1，

1?1.414z?1?z?2H2(z)? ?1?21?0.9z?0.81z画出级联型结构如题3解图（a）所示●。

1?1.414z?1?z?2（2） H1(z)?,

1?0.5z?1H2(z)?4?1?z?1?1?0.9z?1?0.81z?2

画出级联型结构如题3解图（b）所示。

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