培优班下振动和波动参考答案01

振动和波作业参考解答 姓名 序号

练习十

1. 已知一个谐振子的振动曲线如图所示。 （1）求和a，b，c，d，e各状态相应的相； （2）写出振动表达式；（3）画出相量图。 解：（1）由参考圆可得，各点对应的相位

xa?A，?a?0；

5.02.5O?2.5x/cmabcd?5.0ec2.2t/sxb?Aπ，?b?； 23πxc?0，?c?；

2A2πxd??，?d?；

23A4πxe??，?e?

23dbOaxt?0e2.2s（2）由参考圆可知t?0时，???π3π；t?2.2s时，??，则 32??11π15π?=???

?t62.265ππt? )振动的表达式为 x?0.05cos(63Ox?A?????3（3）相量图如右图所示

?2. 作简谐运动的小球，速度最大值为vm=3cm/s，振幅A＝2cm，若从速度为正的最大值的某时刻开始计算时间。

（1）求振动的周期；（2）求加速度的最大值；（3）写出振动表达式。 解：(1)由vm??A?2πA/T，可得

T?2πA2?π?0.02??4.2s vm0.032（2）am??2A?vm/A?0.032/0.02?4.5?10?2m/s2

（3）由于t?0时，v??vm，可知???vπ?1，而??m?0.03/0.02?1.5s，所以有 2Ax?Acos(?t??)?0.02cos(1.5t?π/2)

3. 一质量为10g的物体作简谐运动，其振幅为24cm，周期为4s，当t＝0时，位移为＋24cm。求：（1）t＝0.5s时，物体所在位置和物体所受的力； （2）由起始位置运动到x＝12cm处所需最少时间。 解： 由题给条件可以知道??0，于是有

x?Acos(2ππt??)?0.24cost T229

振动和波作业参考解答 姓名 序号

π?0.5)?0.17m，2πF?ma??m?2x??10?10?3?()2?0.17??4.2?10?3N

2（2）x?0.12m时，物体的相的最小值为arccos(1/2)?π/3，

（1）t?0.5s时，x?0.24cos(由

4. 两个谐振子作同频率、同振幅的简谐运动。第一个振子的振动表达式为x1?Acos(?t??)， （1） 当第一个振子从振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方向位移的端点。求第

二个振子的振动表达式和二者的相差；

（2） 若t＝0时，x1＝－A/2，并向x负方向运动，画出二者的x－t曲线及相量图。 解：（1）第一谐振子的相为π/2时，第二谐振子的相为零，于是

ππ2tmin?， 可得tmin?s 233?2??1?0?

π2?2??1?ππ??? 22第二谐振子的振动表达式为

πx2?Acos(?t??2)?Acos(?t???)

2x Ax （2）由t?0时，x1? 且v?0

2A 2πω A可知 ??。则 2 π/6 32π O O x1?Acos(?t?) 3πx2?Acos(?t?)

6-A 两谐振子的x－t曲线和相量图如右图所示。

x1 x2 t 5. 一弹簧振子，弹簧劲度系数为k＝25N/m，当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，试回答： （1）振幅是多大？

（2）位移是多大时，势能和动能相等？ （3）位移是振幅的一半时，势能多大？ 解：（1）A?2E/k?2(Ek?Ep)/k?2?(0.2?0.6)/25?0.25m

（2）Ep?Ek时，Ep? x??12E12kx??kA 22222A???0.25??0.18m 22 30

振动和波作业参考解答 姓名 序号

(3) Ep?

1A21121k()?(kA)?(0.2?0.6)?0.2J 224246. 有一轻弹簧，下面挂一质量为10g的物体时，伸长量为4.9cm。用此弹簧和一质量为80g的小球构成一弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后，给予向上的初速度v0＝5.0cm/s。试求振动的周期及振动表达式。 解：由平衡条件m1g?kx1，可得

k?m1g/x1?0.01?9.8/(4.9?10?2)?2.0N/m

此弹簧阵子的周期为 T?2πm2/k?2π0.08/2.0?1.26s

以竖直向下为x轴，并以平衡位置为原点，则x0?0.01m，v0??0.05m/s，

0.052?2由此可得 A?x?2?0.01??2?10m 2?（5.0）v?0.05π5π ?0?arctan(?0)?arctan(?)?,?x05.0?0.01442022v0由x0?0，v0?0，取?0?π。于是有 4πx?2?10?2cos(5t?)

4

7. 一物体放在水平木板上，物体与板面间的最大静摩擦系数为0.50。

（1）当此板沿水平方向作频率为2.0Hz的简谐运动时，要使物体在板上不致滑动，振幅的最大值应是多大？

（2）若令此板改作竖直方向的简谐运动，振幅为5.0cm，要使物体一直保持与板面接触，则振动的最大频率是多少？

解：（1）物体不沿板滑动，要求

?smg?mam?mA?2?mA(2π?)2

A??sg/(2π?)2＝0.50?9.8/(2π?2.0)2?3.1?10?2m

(2) 物体总与板保持接触，要求mg?mam?mA(2π?)2

??

12πg1?A2?9.8?2.2Hz 0.05 31

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练习十一

1． 一单摆在空气中摆动，摆长为1.00cm，初始振幅为θ0＝5。经过100s，振幅减为 θ1＝4。再经过多长时间，它的振幅减为θ2＝2。此单摆的阻尼系数多大？Q值多大？ 解：由?1??0e??t，得阻尼系数为

o

o

o

??ln?05/t?ln/100?2.2?10?3s?1 ?14又?2??1e???t，所以从?1到?2经过的时间为

?t?ln?14/??ln/(2.2?10?3)?311s ?22g1?l2?g19.8??712 l2?2.2?10?31.00O Q?

?ππ??2??T2π?2． 一质量为m的刚体在重力力矩的作用下绕固定的水平轴O作小幅度无阻尼自由摆动，如图所示。设刚体质心C到轴线O的距离为b，刚体对轴线O的转动惯量为I。试用转动定律写出此刚体绕轴O的动力学方程，并

b θ C 证明OC与竖直线的夹角θ的变化为简谐运动，而且振动周期为 T?2πI mgb解：如图所示，刚体所受的对轴线的力矩为?mgbsin?，于是由转动定律可得

d2???mgbsin? Idt2d2?mgb???0 对小幅度的振动，sin???，则有： 2dtI所求振动周期为： T?

3． 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐运动，其表达式为?试写出合振动的表达式。 解：A?2A12?A2?2A1A2cos(?2??1)

2???2?I mgb?π/6)?x1?0.04cos(2t ?π/6)?x2?0.03cos(2t?0.042?0.032?2?0.04?0.03cos(?ππ?)?0.06m 66??arctanA1sin?1?A2sin?20.04sin(π/6)?0.03sin(?π/6)?arctan?0.08

A1cos?1?A2cos?20.04cos(π/6)?0.03cos(?π/6)x?Acos(?t??)?0.06cos(2t?0.08)

合振动的表达式为：

32

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4． 日光灯电路中的灯管相当于一个电阻R，镇流器是一个电感L，二者串联。若灯管两端电压和镇

u1?902cos100πt(V)流器两端电压分别为：

解：总电压u为u1和u2的合成，?1?0,?2?π/2 U?22Ucos?(??1?U2?2U1U22?1)2U?12U?22(90?2)2(20?02)，试求总电压u的表达式。 πu2?2002cos(100πt?)(V)2 310(V)??arctanU2200?arctan?0.37π U190u?Ucos(?t??)?310cos(100πt?0.37π)V

ππx?0.06cos(t?)?335． 质量为0.1kg的质点同时参与互相垂直的两个振动：?，试写出质点运动

ππ?y?0.03cos(t?)33的轨迹方程，画出图形，并指明是左旋还是右旋。 解：????x??y?ππ2π?(?)?。由垂直振动的合成轨迹标准方程 333x2y2xy2??2cos???sin? 22ABAB将相关数值带入化简可得所求轨迹方程为

x2?2xy?4y2?2.7?10?3

由于???0，所以合运动是左旋的，轨迹如下图所示：

y （-0.03，0.03） （0，0.026） （-0.06，0.015） -0.06 （-0.052，0） 0.06 0.03 O （0.052，0） （0.06，-0.015） x （0，-0.026） -0.03 （0.03，-0.03）

33

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练习十二

1．一简谐横波以0.8m/s的速度沿一长弦线传播。在x＝0.1m处，弦线质点的位移随时间的变化关系为y= 0.05sin (1.0-4.0 t )。试写出波函数。

解：由x?0.1m处质点的振动函数 y?0.05sin(1.0?4.0t)

?1可得 ??4.0s，??2?u/??2??0.8/4.0?0.4πm

任意x处的质元振动的相和x?0.1m的相之差为???2π(x?0.1)/??5x?0.5 这样，波函数可以是

y?0.05sin(1.0?4.0t???)?0.05sin(5x?4.0t?0.5)?0.05sin(4.0t?5x?2.64)

这表示的是沿x轴正向传播的波。 波函数也可以是

y?0.05sin(1.0?4.0t???)?0.05sin(1.5?5x?4.0t)?0.05sin(4.0t?5x?1.64)

2．一横波沿绳传播，其波函数为 y＝2?10－2sin2π（200t－2.0x） （1） 求此横波的波长、频率、波速和传播方向； （2） 求绳上质元振动的最大速度并与波速比较。 解：（1）将所给波函数和标准式

xy?Asin2π(?t?)

?比较，即可得

??1/2.0?0.50m，??200Hz，u????100m/s，

由于t和x的系数反号，知波沿x轴正向传播。

dyx?2π?Acos2π(?t?)，所以 （2）由于振动速度为 v?dt?vmax?2π?A?2π?200?2?10?2?25m/s

3．一平面简谐波在t＝0时的波形曲线如图所示。 （1） 已知u＝0.08m/s，写出波函数； （2） 画出t＝T/8时的波形曲线。 解：（1）由图可知，??0.4m

0.04ymu??u/??0.08/0.4?0.2Hz

由图知，t?0，x?0时，y?0

因而有：??π/2 代入y?Acos[2π(?t?可得波函数为

?0.04O0.20.40.6xmx?)??]

ym0.04y?0.04Acos(0.4πt?5πx?π/2)m t?T/8的波形曲线可以将原曲线向x（2）

正向平移

u?8?0.05m而得，如图所示

O?0.040.050.250.450.65xm 34

振动和波作业参考解答 姓名 序号

4．已知波的波函数为y=Acosπ(4t+2x)。

(1) 写出t＝4.2s时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何时通过原点？

(2) 画出t＝4.2s时的波形曲线。

解：（1）t?4.2s时波峰的位置由波函数中y?A决定，即要求

π(4t?2x)?2π?n，

将t?4.2s代入可得波峰的位置为

x?n?8.4n?0,?,?2,??

离原点最近要求x为最小。据此，n应取8，而x??0.4m。此波峰通过原点的时刻应

''是对应于n?8而x?0的时刻t，即 π（4t'?2?0)?2π?8

由此得 t?4s

（2）此波长为??2π/(2π)?1m。按此?值和波峰在?0.4m即可画出波形曲线如图所示。

y/m A 'O -0.4 -A 0.6 1.6 x/m 5．频率为500Hz的简谐波，波速为350m/s。 （1）沿波的传播方向，相差为60o的两点间相距多远？

（2）在某点，时间间隔为103s的两个振动状态，其相差为多大？

－

解：（1）由??u/??350/500?0.7m 和 ???2π?x/?可得

?x?????/(2π)?0.7?π/(2π)?0.12m 3?3（2）???2π?t/T＝2π??t?2π?500?10?π

练习十三

1．根据原书（2.17）式，气体的体积模量为K??V应为u?dp。在由原书（2.23）式，空气中声波波速dVRTγRTVdp。试证明：对于等温变化，u?；对于绝热变化，u?。用此二式

MMρdV分别计算标准状况下空气中声速的数值并与实测值332m/s比较。你如何解释从比较中得出的结论？（空气的γ＝1.4，M＝29g/mol。）

解：对于等温变化，pV?C，dp/dV?p/V，代入波速公式中，可得

uT?Vp??Vp??RT M 35

振动和波作业参考解答 姓名 序号

对于绝热变化，pV??C，dp/dV??p/V，代入波速公式中，可得

uS?V?p?p???V??RT

M

将给定数据代入，可得在标准情况下，

uT?uS?8.31?273?280m/s，

29?10?31.4?8.31?273?331m/s ?329?10很明显，us和实际空气中声速相近。因而，设想空气中声波传播时，空气质元的压缩和膨胀的过程为绝热过程更符合实际。所以绝热，是因为声音频率相当高，在压缩和膨胀的短时间内每一空气质元还来不及和周围空气发生热交换所致。

2．一弹性波在介质中传播的速度u＝103m/s，振幅A＝1.0 ? 104m，频率υ＝103Hz。若该介质的密

－

度为ρ＝800kg/m3，求：（1）该波的平均能流密度；（2）一分钟内垂直通过一面积S＝4 ?10-4m2的总能量。 解：I?11?(2π?)2A2u??800?(2π?103)2?(1.0?10?4)2?103?1.6?105W/m2 22W?IS?t?1.6?105?4?10?4?60?3.8?103J

3．行波中能量的传播是后面介质对前面介质做功的结果。参照原书图2.13，先求出棒的一段长度Δx的左端面ΔS受后方介质的推力表示式，再写出此端面的振动速度表示式，然后求出此推力的功率。此结果应与原书（2.30）式相同。

解：在棒中有纵波 y?Acos(?t?kx)

向右传播时，棒的一段长度?x的左端面?S受后方介质的推力为

F??Y该端面的振动速度为

dy?S??YkA?Ssin(?t?kx) dxv?dy???Asin(?t?kx) dx后方介质推动该端面的功率为

P?Fv?Yk?A2?Ssin2(?t?kx)

由于Y?u

4．一线波源发射柱面波，设介质为不吸收能量的各向同性均匀介质，试求波的强度以及振幅和离开波源的距离有何关系？

解：由能量守恒可知，通过以线波源为轴的同一长度l而半径分别为r1和r2的两个圆柱面的能流相等，即 2πr1lI1?2πr2lI2，

36

2?，k?2?/??2??/u??/u，所以又有

P???2A2u?Ssin2(?t?kx)

振动和波作业参考解答 姓名 序号

由此得 I1r1?I2r2，

即波的强度与r成正比，又因I和A成正比，所以振幅A应与r成反比。

5．据报道，1976年唐山大地震时，当地某居民曾被猛地向上抛起2m高。设地震横波为简谐波，且频率为1Hz，波速为3km/s，它的波长为多大？振幅多大？ 解：人离地的速度即地壳上下振动的最大速度，为

vm?22gh

2?9.8?2?1.0m

2π?12gh地震波的振幅为 A?vm/2π???2π?地震波的波长 ??u/??3/1?3km

练习十四

1. 北京春节播放钟声的是一种气流扬声器，它发声的总功率为2 ?104W。这声音传到12km远的地方还可以听到。设空气不吸收声波能量并按球形波计算，这声音传到12km处的声强级是多大？约相当于原书表2.3中的哪种声音？ 解：在12km处的声强级为

IP2?104L?10lg?10lg?10lg?12＝70dB

I0I04πr210?4π?(12?103)2约相当于闹市车声。

2. 一日本妇女的喊声创吉尼斯世界记录，达到115dB。这喊声的声强多大？ 解：

I?I010L/10?10?12?10115/10?0.32(W/m2)

3. 在海岸抛锚的船因海浪传来而上下振荡，振荡周期为4.0s，振幅为60cm，传来的波浪每隔25m有一波峰。

（1） 求海波的速度。

（2） 求海面上水的质点作圆周运动的线速度，并和波速比较。由此可知波传播能量的速度可以比

介质质元本身运动的速度大得多。 解： （1）u??/T?25/4.0?6.25m/s

（2）v?2πr/T?2πA/T?2?π?0.6/4.0?0.94(m/s)?u

4. P，Q为两个振动方向和频率都相同的同相波源，它们相距3?/2，R为PQ连线上Q外侧的任意一点，求自P，Q发出的两列波在R点处引起的振动的相差。 解： ???2π?PR?2π?QR??P??Q?2π?PQ??P??Q

37

振动和波作业参考解答 姓名 序号

由于两波源同相，即?P??Q，而PQ?3?，因此 2???

2π3???3π或π ?25. 位于A，B两点的两个波源，振幅相等，频率都是100Hz，相差为π，若A，B相距30m，波速为400m/s，求AB连线上二者之间叠加而静止的各点的位置。 解：考虑AB间距离A为x的一点，两波由A和B传到此点的相差为

????A??π?2π?x?[?B?2π?(l?x)]??A??B?2π?(l?2x)u2π?100(l?2x)?π?π(l?2x)/2400两波叠加而质点静止的条件是 ???(2n?1)π，因而有

π?π(l?2x)/2?(2n?1)π

x?l/2?2n?15?2n

n为整数，0?x?30，所以有x?1,3,5,?,29(m)

（20x）?cos（750t）6. 一驻波波函数为 y?0.02cos

求：（1）形成此驻波的两行波的振幅和波速各为多少？ （2）相邻两波节间的距离多大？ （3）t ＝2.0 ?103s时，x ＝5.0 ?10

－

－2

m处质点振动的速度多大？

解：(1) 与 y?2Acoskxcos?t比较，可得A?0.01m

u??/k?750/20?37.5m/s

（2）由于??2?/k，相邻两波节之间的距离为

?x??/2?π/k?π/20?0.157m

（3）v?dy??0.02?750cos20xsin750t dt?3 ＝－0.02?750cos(20?0.05)sin(750?2.0?10) ??8.08m/s

7. 一平面简谐波沿x正向传播，如图所示，振幅为A，频率为υ，传播速度为u。

（1）t＝0时，在原点O处的质元由平衡位置向x轴正方向运动，试写出此波的波函数；

（2）若经分界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，试写出反射波的波函数，并求出在x轴上因入射波和反射波叠加而静止的各点的位置。

解： （1） 原点O处质元的振动表达式为

分界面 波疏 波密 u O P x 3λ/4 反射面 38

振动和波作业参考解答 姓名 序号

y0?Acos(2πvt?π/2)

入射波的波函数为

yi?Acos(2π?t?2π?π33ux?)，(0?x???) u244?2π?3?π2π?3?2π?π??π?(?x)]?Acos(2π?t?x?)

u42u4u2（2）由于反射时有?的相位跃变，所以反射波波函数为

yr?Acos[2π?t?yi和yr叠加，P点肯定是波节，另一波节与P点相距?/2，即x??/4处。

练习十五

1．一声源的频率为1080Hz，相对地面以30m/s < u向右运动。在其右方有一反射面相对地面以65m/s的速率向左运动。设1080空气中声速为331m/s。求： （1） 声源在空气中发出的声音的波长； （2） 反射回的声音的频率和波长。 解： (1) 在声源运动的前方

在声源运动的后方

?b?(u?vs)/?s?(331?30)/108?00.27m9， ?a?(u?vs)/?s?(331?30)/1080?0.334m

u?vR?s，反射后声音的频率为 u?vs

(2) 反射面接收到的频率为 ?R?,Ru(u?vR)u???R??su?vR(u?vs)(u?vR)331?(331?65)?1080?1.77?103Hz(331?30)(331?65)‘,3 波长为?m a?u/?R?331/(1.77?10)?0.187＝

2．海面上波浪的波长为120m，周期为10s。一只快艇以24m/s的速度迎浪开行。它撞击浪峰的频率是多大？多长时间撞击一次？如果它顺浪开行，它撞击浪峰的频率又是多大？多长时间撞击一次？ 解：波浪的速度 u??/T?120/10?12m/s，

快艇迎浪开行时，撞击浪峰的频率为

?f?(u?v)/??(24?12)/120?0.30Hz

周期为 Tf?1/?f?1/0.30?3.3s

顺浪开行时，撞击浪峰的频率为 ?s?(v?u)/??(24?12)/120?0.10Hz

周期为 Ta?1/?a?1/0.10?10s

3．一驱逐舰停在海面上，它的水下声纳向一驶近的潜艇发射1.8 ? 104 Hz的超声波。由该潜艇反射回来的超声波的频率和发射的相差220Hz，求该潜艇的速度。已知海水中声波为1.54 ? 103m/s。 解：驱逐舰发射的超声波的频率为?s，潜艇反射回来而被驱逐舰接收到的超声波的频率为

39

振动和波作业参考解答 姓名 序号

?s'?u?v?s u?v,二者相差为 ????s??s?(u?v2v?1)?s??s u?vu?v一般的，u??v，所以???2v?s/u，而潜艇速度为

v?u??/(2?s)?1.54?103?220/(2?1.8?104)?9.4m/s

4．主动脉内血液的流速一般是0.32m/s。今沿血液方向发射4.0 MHz的超声波，该红血球反射回的波与原反射波将形成的拍频是多少？已知声波在人体内的传播速度为1.54 ?103m/s。 解：

???(1?u?v2v2v?)????u?vu?vu 62?0.32?4.0?10??1.66?103Hz31.54?10

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