零件的变形

零件的变形及强度计算

? 零件的拉伸和压缩 ? 零件的剪切和挤压 ? 圆轴的扭转 ? 直粱的弯曲

? 零件的组合变形强度计算 ? 交变应力作用下零件的疲劳强度 学习任务

1. 明确材料力学的基本任务，理解构件的强度与刚度和稳定性的力学意义。 2. 理解内力的概念，能熟练利用截面法求解内力。 3. 理解应力、变形和应变的概念。 4. 能够熟练地计算轴力，作轴力图。

5. 理解零件强度条件，能够熟练解决强度校核、设计截面和确定许可载荷问题。

变形分析的基本知识

一、变形固体及其基本假设

任何物体受载荷（外力）作用后其内部质点都会产生相对运动，从而导致物体的形状和尺寸发生变化，称为变形。

例如，橡皮筋在两端受拉后就发生拉伸变形；工厂车间中吊车梁在吊车作业时，梁轴线由直变弯，发生弯曲变形。在外力的作用下会发生变形的物体可统称为变形固体。

变形固定在外力的作用下会产生两种不同的变形：

? 当外力消除后，变形也会随着消失，这种变形称为弹性变形；

? 外力消除后，变形不能完全消除并且具有残留的变形，称为塑性变形。 当物体的外力在一定的范围时，塑性变形很小，可以把构件当作只发生弹性变形的理想弹性变形体。

假设弹性体内连续不断地充满着物质，各点处的材料性质完全相同，且各方向上的性质都相同。这就是变形固体的基本假设。

二、杆件在各种不同方式的外力作用下产生不同形式的变形。 变形的基本形式有四种： ? 轴向拉伸（压缩）变形 ? 剪切（挤压）变形 ? 扭转变形 ? 弯曲变形

其他复杂的变形都可以看成是这几种基本变形的组合

零件变形过大时，会丧失工作精度、引起噪声、降低使用寿命、甚至发生破坏。 为了保证机械设备在载荷作用下能安全可靠的工作，必须要求每个构件具有足够的承受载荷的能力，简称承载能力。 构件的承载能力分为： 强度、刚度、稳定性 一、强度

构件抵抗破坏的能力（强度要求是对构件的最基本的要求）。 构件在外力作用下不破坏必须具有足够的强度，例如房屋大梁、机器中的传动轴不能断裂，压力容器不能爆破等。

二、刚度

构件抵抗变形的能力。 在某种情况下，构件虽有足够的强度，但受力后变形过大，即刚度不够，也会影响正常工作。例如机床主轴变形过大，将会影响加工精度；吊车梁变形过大，吊车行驶时会发生较大震动，使行驶不平稳，有时还会产生“爬坡”现象，需要更大的驱动力。因此对这类构件要保证有足够的刚度。 三、稳定性

构件受载后保持原有平衡状态的能力。 例如千斤顶的螺杆、内燃机的连杆等等。

本单元主要研究构件在载荷（外力）作用下的变形、受力与破坏的规律，在保证构件即安全适用又尽可能经济合理的前提下，为构件选择合适的材料、确定合理的截面形状和尺寸提供必要的基础知识和实用计算方法。

第一节 零件的拉伸和压缩

一、拉伸和压缩的概念

工程上经常遇到承受拉伸或压缩的零件。如图a所示的起重吊架中的拉杆AB(拉伸），图b所示的建筑物的立柱（压缩）。

受力零件的共同特点是：外力作用线与零件的轴线重合，零件的变形是沿轴线方向伸长或缩短。

二、轴向拉伸和压缩时的内力

构件上的载荷和约束力统称为外力。

零件受到外力作用时，由于内部各质点之间的相对位置的变化，材料内部会发生一种附加内力，力图使各质点恢复原来位置。

附加内力的大小随外力的增加而增加，附加内力增加到一定限度时，零件就会发生破坏。因此，在研究零件承受载荷的能力时，需要讨论附加内力。后面的讨论中所述的内力，都是指这种附加内力。 1、截面法

截面法是用以确定零件内力的常用方法

通过取截面，使零件内力显示出来以便于确定其数值的方法。

如图a所示的杆在外力Fp的作用下处于平衡状态，力Fp的作用线与杆的轴线重合，求截面m-m上的内力。

用假象平面在m-m处将杆截开，分成左右两段，根据作用力与反作用力定理，FN和FN’大小相等、方向相反。

取左段为研究对象

?FX?0FN?FP?0 FN?FP综上所述，用截面法求内力的步骤为：

1.一截为二：即在欲求内力处，假想用一截面将零件一截为二； 2.弃一留一：即选其中一部分为研究对象并画受力图（包括外力和内力）； 3.列式求解：即列研究对象的静力平衡方程，并求解内力。 2.轴力

与杆轴线重合的内力又称为轴力。

轴力的符号规定如下：轴力的方向与所在截面的外法向方向一致时，轴力为正；反之为负。由此可知，拉杆的轴力为正，压杆的轴力为负。

为了形象直观地表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘制成轴力图。

做法是：以杆的左端为坐标原点，取平行于轴线的X轴为横坐标轴，其值表示个

横截面位置，取垂直于X轴的FN为总坐标轴，其值表示对应截面的轴力值，正值画在Z轴上方，负值画在X轴下方。

例1 试计算如图a所示等直杆的轴力，并画出轴力图。

解： 求约束反力

取全杆为研究对象，做受力图，如图b所示。

根据平衡方程：

?Fx?0

则P1-P2-P3?R?0得R?P1?P2?P3?18?8?4kN?6kN分段计算轴力

按外力作用的位置，将杆分为三段，并在每段内任意取一个截面，用截面法计算截面上的轴力，如图c所示：

AB段

?Fx?0FN1?R?0得 FN1?R?6kN

计算结果为正值，表明图示N1的方向正确，AB段受拉伸。 BC段

?F得x?0FN2?P1?R?0FN2?R?P1??6?18?kN??12kN

计算结果为负值，表面图示N2的方向相反，BC段受压缩。 CD段

?Fx?0?FN3?P3?0得 FN3?-P3?-4kN

计算结果为负值，表明图示N3的方向相反，BC段受压缩。 绘制轴力图

正轴力画在x轴上方，负轴力画在x轴下方，如图d所示

轴力图不仅显示了轴力随截面位置的变化情况和最大轴力所在的截面位置，而且

还明显的表示了杆件各段是受拉还是受压。

三、拉伸和压缩时的应力

? 杆件是否破坏，不取决于整个截面上的内力大小，而是取决于单位面积上所

分布的内力大小。

? 单位面积上的内力称之为应力，它所反映的是内力在截面上的分布集度。 ? 其单位为帕斯卡（Pa），工程上常用兆帕（MPa）。

1Pa=1N/㎡，1MPa=106Pa 通过观察拉杆的变形情况来推测内力的分布情况

取一等直杆，在其侧面上两条垂直于轴线的直线ab、cd，

如图a所示，并在杆的两端加一对轴向拉力FP,使其产生拉伸变形。

如将杆件设想为由无数纵向纤维所组成，由此推想它们的受力是相同的，在横截面上各点的内力是均匀分布的，横截面上各点的应力也是相等的。若以FN表示内力（N)，A表示横截面的面积（mm2），则应力σ(MPa）的大小为

FN??A

这就是拉（压）杆横截面上的应力计算公式。σ的方向与FN一致，即垂直于横截面。垂直于横截面的应力，称之为正应力，都用σ表示。和轴力的符号规

定是一样的，规定拉应力为正；压应力为负。

四、拉伸和压缩时的变形 1，变形与应变

杆件在受轴向拉伸时，轴向尺寸伸长，横截面尺寸缩小。受轴向压缩时，轴向尺寸缩短，横截面尺寸增大。设等直杆的原长为l，横向尺寸为b，变形后，长为l1,横向尺寸为b1，如图所示。

杆件的轴向变形量为?l?l1?l 横向变形量为：?b?b1?b

Δl称之为轴向绝对变形，Δb称之为横向绝对变形。 拉伸时，Δl为正，Δb为负；压缩时，Δl为负，Δb为正。

绝对变形与杆件的原有尺寸有关，为消除原长度的影响，通常用单位长度的变形来表示杆件的变形程度，即

?l?b??,?'?lb ?、?'分别称为轴向线应变和横向线应变，显然，二者的符号总是相反的，

它们是无量纲量。

2、胡克定律

实验证明，轴向拉伸或压缩的杆件，当应力不超过某一限度时，轴线变形 Δl与轴向载荷及杆长l成正比，与杆的横截面积成反比。这一关系称为胡

克定律，即

FNl?l?A 引进比例常数E,则有

FNl?l?AE 其中：Δl的单位为mm（毫米） L的单位为 mm(毫米） A的单位为 mm2（平方毫米） E的单位为 MPa（兆帕） FN的单位为 N（牛）

比例常数E称为弹性模量，其值随材料的不同而异。 EA乘积越大，零件变形越小，EA称为抗拉（压）刚度。 则有

??E?

上式是胡克定律的又一表达式，即胡克定律可以表述为： 当应力不超过某一极限时，应力与应变成正比。 五、零件拉伸与压缩时的强度计算 （一）极限应力

在应力作用下，零件的变形和破坏还与零件材料的力学性能有关。力学性能是指材料在外力的作用下表现出来的变形和破坏方面的特性。 金属材料在拉伸和压缩时的力学性能通常由拉伸试验测定。

把一定尺寸和形状的金属试样（图a）装在拉伸试验机上，然后对试样逐渐施加

拉伸载荷，直至把试样拉断为止（图b）

根据拉伸过程中试样承受的应力σ和产生应变ε之间的关系，可以绘出该金属的σ-ε曲线。

通过对低碳钢σ-ε曲线分析可知，试样在拉伸过程中经历了弹性变形（oab段）、塑性变形（bcde段）和断裂（e点）三个阶段。

上述比例极限σp、屈服点σs和抗拉强度σb分别时材料处于弹性比例变形时和塑性变形、断裂前能承受的最大应力，称为极限应力（σb）。 塑性变形阶段，试样产生的变形时不可恢复的永久变形。该阶段又分屈服阶段（be-塑性变形迅速增加）、强化阶段（cd-材料恢复抵抗能力）和颈缩阶段（de-试样局部出现颈缩）。应力σs为屈服点，当零件实际应力达到屈服点时，将会引起显著的塑性变形。应力σb称为抗拉强度，当零件实际应力达到抗拉强度的应力值时，将会出现破坏。

（二）许用应力

零件由于变形和破坏而失去正常的工作的能力，称为失效。零件在失效前，允许材料承受的最大应力称为许用应力，常用[σ]表示。为了确保零件的安全可靠，需有一定的强度储备，为此用极限应力除以一个大于1的系数（安全系数）所得的商作为材料的许用应力[σ]。 对于塑性材料，当应力达到屈服点时，零件将发生显著的塑性变形而失效。考虑到其拉压时的屈服点相同，故拉、压许用应力同为

[?]??sns

式中，ns是塑形材料的屈服安全系数。

对于脆性材料，在无明显塑性变形下即出现断裂而失效（如铸铁）。 考虑到其拉伸与压缩时的强度极限值一般不同，故有

??l??

?blnbbl

???? ，

yby

?bynb

式中，nb是脆性材料的断裂安全系数；[σbl]和[σby]分别是拉伸许用应力和压缩许用应力；σ

和σ

分别时材料的抗拉强度和抗压强度。

（三）强度条件

为了保证零件有足够的强度，就必须使其最大工作应力σ力[σ]即可。即

max

不超过材料的许用应

?maxFN?????

A上式称为拉（压）强度条件式，是拉（压）零件强度计算的依据。式中，FN是危险截面上的轴力；A是危险截面面积。 根据强度条件式，可以解决三类问题：

强度校核：已知零件的尺寸、所承受的载荷以及材料的许用应力。 设计截面：已知零件所承受的载荷和材料的许用应力。 确定许用载荷：已知零件的尺寸及材料的许用应力。

例2.某车间自制一台简易吊车（图a）。已知在铰接点B处吊起重物最大为FP=20kN,杆AB与BC均用圆钢制作，且dBC=20mm，材料的许用应力[σ]=58MPa。试校核BC杆的强度，并确定AB杆的直径dAB

解：由受力分析可知，

AB杆和BC杆分别为轴向受拉和轴向受压的二力杆，受力图如图b所示。

（1）确定AB、BC两杆的轴力

用截面法在图a上按m-n截面取研究对象，其受力图如图c所示，可得

FN2?FBC,FN1?FAB

列平衡方程求解：

?Fy?0FN1sin60?-FP?0?20*103?FP?FN1???N?23.09kN??sin60??0.866??Fx?0 -FN2-FN1cos60??0FN2?-FN1cos60??-23.09kN*0.5??11.55kN

(2)校核BC杆强度

FN2FN24*11.55*103?BC???Pa2?32ABC?dBC?*(20*10)4

?36.76*106Pa?36.76MPa????故BC杆满足强度要求。 （3）确定AB杆直径

A????FN其中 AAB??d2AB/44*23.09*103-3??m?22.5*10m?22.5mm6 ?????*58*104FN1所以 dAB取dAB?23mm

第二节 零件的剪切与挤压

工程实际中常用的一些连接件，例如螺栓、螺钉、铆钉、销钉、键、剪板机中的板材、木榫接头、焊接接头等，在外力作用下将主要产生剪切变形和挤压变形。

实例一

用铆钉链接两块钢板如图所示，铆钉受到钢板传递来的两个横向力F（垂直于零件轴线方向作用的力）的作用如图b所示。

实例二

用键连接轴和轴上的传动件（如齿轮、皮带轮等）如图a所示，使轴和传动件不发生相对转动，以传递扭矩。键的受力如图b

如图b所示，在外力Fp的作用下，截面发生相对错动的变形称为剪切变形。产生相对错动的截面m-m称为剪切面，剪切变形是零件的一种基本变形。剪切变形的受力特点是作用在零件两侧面的外力大小相等、方向相反、作用线相距很近。 螺栓除受剪切作用外，还在螺栓圆柱形表面和钢板圆孔表面相互压紧（图d），

二、剪切和挤压的实用计算 （一）剪切强度实用计算

应用截面法假想的沿剪切面m-m将螺栓分为两段，任取一段为研究对象，如图c所示。由平衡条件可知，剪切面上必有一个与该外力Fp等值、反向的内力，该内力称为剪力，常用符号FQ表示。

剪力FQ形成与剪切面相切的工作应力称为切应力，用符号τ表示。切应力分布规律比较复杂，工程上常采用以实际经验为基础的实际计算法来确定。即假设切应力是均匀地分布在剪切面上，切应力的计算公式为：

??FQA

式中，FQ是剪切面上的剪力；A是剪切面的面积。 为了保证零件安全可靠的工作，其强度条件为

??FQA????

式中，τ为材料的许用剪应力。实验表明，许用剪应力与许用拉应力之间有如下关系： 塑性材料 脆性材料

????(0.6~0.8)???

????(0.8~1.0)???

（二）挤压强度实用计算

如图d所示为了计算简化，假定挤压应力是均匀分布的挤压面的。由此，挤压强度的条件为

?jy?式中，σ

pjyAjyjy

??jy??

为挤压应力：MPa（兆帕）；

Pjy为挤压力：N（牛）；

Ajy为挤压计算面积:mm2（平方毫米）；

[σjy]是材料的许用挤压应力，可查设计手册而得。 对于钢材，有

jy????(1.7~2.0)???

如果两个相互接触零件的材料不同，应对许用挤压应力低者进行挤压强度计算。

挤压面积的计算，要根据实际接触情况而定。

挤压面为平面，则挤压面面积及时接触面面积，如图a所示的键连接，其挤压面积为

hlAjy?2

若接触面为半圆柱面，如螺栓、铆钉、销等，其挤压面面积为半圆柱面的正投影面积，如图c所示

Ajy?d*t

d为螺栓或铆钉的直径； t为螺栓或铆钉与孔的接触长度。

例3.如图a所示的铆接件，主钢板通过上下两块盖板对接。铆钉与钢板的材料相同，[σ]=160MPa ,[τ]=140MPa,[σjy]=320MPa,铆钉直径d=16mm，主板厚度t1=20mm，盖板厚度为T2=12mm，宽度b=140mm。在P=240kN作用下，试校核铆接件的强度。

刚度校核：

IP?0.1D4(1??4)?1.35?106mm4T1801.5?106180???????0.8?/m?[?]6GIP?80*1.35?103.14如果将传动轴改为同材料的实心轴,必须满足WP’=WP

W3P'?0.2D'?WP?0.2D'3?30.02*103mm3?D'?53.14mm

所以空心传动轴与实心传动轴的质量比：

?D2?d2??4?4?D'2?0.311

4所以空心轴比实心轴更节省材料。

第四节 直粱的弯曲

1.

直粱平面弯曲的概念

直杆类零件（图a、b、c），其受力变形特点是：外力垂直于杆件的曲线，使杆的轴线变形后成曲线，这种形式的变形称为弯曲变形.以弯梁变形为主的杆件习惯上称为梁。

当作用在梁上的所有载荷都在纵向对称面内时，则弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。

一、梁的计算简图

作用在梁上的载荷通常由以下几种形式： ? 集中力 ? 集中力偶 ? 分布载荷

经过简化，梁有三种典型的形式：

1．简支梁 梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座，如图f所

示。

2．外伸梁 外伸梁的支座与简支梁完全一样，所不同的是梁的一端或者两

端伸出支座以外，如图d所示。

3．悬臂梁 一端固定，另一端自由的梁，如图e所示。

以上三种梁的未知约束反力最多只有三个，应力静力平衡条件就可以确定。

三、梁横截面上的内力-剪力和弯矩

梁如图a所示AB，用截面沿n-n将梁分为左、右两段（图b、c）。若以左段为研究对象，由于外力FA有使左段上移和顺时针转动的作用力，因此，在横截面n-n上必有垂直向下的内力FQ和逆时针转动的内力偶矩．．．．M．与之平衡，如图b所示。

由静力平衡方程即可以求出FQ与M之值

?F?My?0,FA?FQ?0,FQ?FA (F)?0,Fx?M?0,M?FxCAA上面分析可知，AB梁发生弯曲变形时，横截面上的内力有两部分组成：作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内的力FQ和位于纵向对称面的力偶M,它们分别称为剪力和弯矩。 工程中，对于一般的梁（跨度与横截面高度之比l/h>5），弯矩起着主要的作用，而剪力则是次要因素，在强度计算中可以忽略。因此，下面仅讨论有关弯矩的一些问题。

弯矩符号规定：梁变形后，若凹面向上，截面上的弯矩为正；反之，若凹面向下，截面上的弯矩为负，如下图所示。 弯矩的计算有以下的规律：若取梁的左段为研究对象，横截面上的弯矩的大小等于此截面左边梁上所有外力（包括力偶）对截面形心力矩的代数和，外力矩为顺时针时，截面上的弯矩为正，反之为负。若取梁的右段为研究对象，方法类似。 有了上述规律后，在实际运算中不必用假想截面将截面截开，再用平衡方程去求弯矩，而可直接利用上述规律求出任意截面上弯矩的值及其转向。

三、弯矩图

为了更形象地表达弯矩沿梁长的变化情况，常需画出梁各截面弯矩的变化规律的图像，这种图像称为弯矩图。

例2-6 简支梁如图所示。咋跨度内某一点集中力的作用，试作此梁的弯矩图。

四、弯矩图的作图规律

由以上例题可以总结弯矩图与载荷之间的几点普遍规律： 1)在两集中力之间的梁段上，弯矩图为斜直线； 2)在集中力的作用处，弯矩图出现折角； 3)在均布载荷作用的梁段上，弯矩图为抛物线。

4)在集中力偶作用处，其左右两截面上的弯矩值发生突变，突变值等于集中力偶矩之值。

利用以上规律，不仅可以检查弯矩图的正确性，而且无需列出弯矩方程式，只需直接求出几个点的弯矩值，即可画出弯矩图。

例2-9 试作简支梁（图a）受集中力FP和集中力偶M=FPl作用时的弯矩图。

六、平面弯曲时梁横截面上的正应力

由于一般的梁（通常指跨度与截面高度之比大于5的梁）影响其弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，所以这里只讨论梁横截面上的弯曲正应力。

（一）纯弯曲时来梁横截面上弯曲正应力的分布规律

在弯曲小变形的情况下，可以推出这样的假设：梁作平面弯曲时，其横截面仍保持为平面，只是产生了相对转动，梁的一部分纵向“纤维”伸长，一部分纵向“纤维”缩短。由缩短区到伸长区，存在一层即不伸长也不缩短的“纤维”，称为“中性层（图c）。距中性层越远的纵向”纤维“伸长量（或缩短量）越大。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

中性层与梁横截面的交线称为中性轴（图c）。中性轴是横截面上压、拉应力的分界线，中性轴以上各点的压应力，中性轴以下的各点为拉应力。由胡克定律可知，横截面上各点的应力大小应与所在点到中性轴z的距离y成正比，距中性轴越远的点应力越大。离中性轴距离相同的各点（截面宽度方向)正应力相同，中性轴上各点（y=0）正应力为0.

?y??maxymax （二）弯曲正应力的计算

如图所示，当梁横截面上的弯矩为 时，该截面距中心轴为轴的任一点处的正应力计算公式为

??MyIz

式中，Iz是横截面对轴的惯性矩，是只与截面的形状、尺寸有关的几何量，其单位为m4或mm4。

由上式可知，当y=ymax时， 弯曲正应力达到最大值，即

?max?MymaxIz

Iz令Wz?ymax

M则?max?Wz

式中WZ称为抗弯截面系数，也是衡量截面看弯强度的一个几何量

常用的截面的I、W计算公式

七、梁弯曲时的强度计算

梁的弯曲强度条件是：梁内危险截面上的最大弯曲正应力不超过材料的许用弯曲应力，即

?maxM????? Wz式中，M是梁危险截面处的弯矩（N·m）； Wz是危险截面的抗弯截面系数（m3）； [σ]是材料的许用应力（Pa）。

运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷等三类问题。

例2-10 螺栓压板夹具如图a所示，已知板长3a=150mm，压板材料的许用应力[σ]=140MPa。试计算压板传给工件最大允许压紧力P。

T = 9550 P / n; T，扭矩，Nm； P，功率，KW； n，转速，r/min； 9550是系数。

扭矩、功率、转速之间，有关系。

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