二次函数根的分布专题

一元二次方程根的分布专题

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个不等实根为x1，x2

????b2??①方程有两个不等正根 x1?0,x2?0 ?x1?x2???x1x2???4ac?0??caba?0

?0②方程两根一正一负 ：x1?0?x2，则ca?0

????b2??③方程有两个不等负根：x1?0,x2?0 ?x1?x2???x1x2???4ac?0??caba?0

?0即时应用：

(1)若一元二次方程(m?1)x?2(m?1)x?m?0有两个不等正根，求m

2(2)k在何范围内取值，一元二次方程kx?3kx?k?3?0有一个正根和一个负根？

2的取值范围。

二、一元二次方程的非零分布——k分布

设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两不等实根为x1，x2， k为常数。则一元二次方程根的k分布（即x1，x2相对于k的位置）如下表所示： 根的分布①x10????-b0??ì?D>0????-b>k í?2a???f(k)>0?? 充要条件f(k)<0 ④k10f(k1)>0f(k2)>0<-b2a0???f(k)<0 í2?????f(k3)0ì?f(k1)=0?或?ík1+k2 b?k1<-

即时应用：

(1) 若方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则求m的取值范围.

(2) 方程x+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p的取值范围.

2

二、典型例题

例1

例2若方程x2?(k?2)x?4?0有两负根，求k的取值范围.

例3..若关于x的方程x2?(k?2)x?2k?1?0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围

若一元二次方程kx?(2k?1)x?k?3?0有一根为零，则另一根是正根还是负根？

2

例4.已知关于x的方程2x2?3x?2m?3?0的两根都在［－1，1］上.求实数m的取值范围.

例5.方程mx+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m的取值范围

2

拓展提升： 已知集合A??x

x?(2?a)x?1?02?，若A??x?Rx?0?，求a的取值范围

一元二次方程根的分布巩固作业

1．对于二次函数y??2x2?8x，下列结论正确的是（ ）

Ａ．当x?2 时，y有最大值8 Ｂ．当x??2 时，y有最大值8 Ｃ．当x?2 时，y有最小值8 Ｄ．当x??2 时，y有最小值?8

2．二次函数y?x2?ax?1在区间[0，3]上有最小值－2，则实数a的值为（ ）

A．－2

B．4

C．?103 D．2

3．设函数f(x)?2x2?3ax?2a(x,a?R）的最小值为m（a），当m（a）有最大值时a的值为（ ）

A．

43 B．

34 C．

89 D．

98

4．函数f(x)?ax2?2(a?3)x?1在区间??2,???上递减，则实数a的取值范围是（ ）

A．[－3，0]

B．???,?3?

C．??3,0?

D．[－2，0]

5．设二次函数f(x)?x2?x?a,若f(?m)?0,则f(m?1)的值为（ ） A．正数 B．负数 C．正、负不定，与m有关 D．正、负不定，与a有关

26．已知x1,x2是方程x2?(k?2)x?(k2?3k?5)?0（k为实数）的两实数根，则x12?x2的最大值为（ ）

A．19

2B．18 C．559 D．不存在

7．设函数f(x)?ax?bx?c(a?0)，对任意实数t都有f(2?t)?f(2?t)成立，则函数值f(?1),f(1),f(2),f(5)中，最小的一个不可能是（ ）

A．f(－1) B．f(1) C．f(2) D．f(5)

8．一元二次方程x2?(a2?1)x?(a?2)?0的一根比1大，另一根比－1小，则实数a的取值范围是

9．函数f(x)?ax?ax?1，若f(x)?0在R上恒成立，则a的取值范围是 10．函数f?x??ax?2ax?2?b?a?0?在?2,3?上有最大值5和最小值2，求a,b的值。

2211．(1)方程x-2ax+4=0的两根均大于1，求实数a的范围．

(2)方程x-2ax+4=0的两根一者大于1，一者小于1求实数a的范围．

(3)方程x-2ax+4=0的两根一者在(0,1)内，一者在（6，8）内，求实数a的范围．

222探究创新： 已知A??x

x?2x?2?p?02?，且A??x?Rx?0???，求p的取值范围

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