2015一模好题精选（教师）（定稿）

2015一模好题精选

普陀区

x2y27. 若方程??1表示双曲线，则实数k的取值范围是

|k|?23?k(?2,2)?(3,??) .

?loagxx?013. 设a为大于1的常数，函数f(x)??x?1，若关于x的方程

x?0?aP1 f2(x)?b?f(x)?0

恰有三个不同的实数解，则实数b的取值范围是 0

P5 P3 P2 P P8P4 9第14题

P6 P10 P7 ??nx的图像，只需将函数y?co?217.要得到函数y?si2sx?像????????????（ B ）

?????的图4???个单位 (B)向右平移个单位 88??(C)向左平移个单位 (D)向右平移个单位

44(A)向左平移

18. 若在边长为1的正三角形ABC的边BC上有n(n?N*，n?2)等分点， 沿

向

量

BC的方向依次为

P1,P2,?,Pn?1，记

Tn?AB?AP1?AP1?AP2???APn?1?AC，

若给出四个数值:①

2322991197 ② ③ ④，则Tn4181033的值不可能的共有???????（ 5n2-2/6n D ）

(A)1个 (B)2个 (C)3个 A (D)4个

B P1 P2 P3 Pk 第18题

Pn?1C

21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）. （1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；

（2）若每块钢板的厚度为12mm，求钉身的长度（结果精确到1mm）.

19 19 20 12 12 20 38 38 图1 图2

21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 【解】设钉身的高为h，钉身的底面半径为r，钉帽的底面半径为R，由题意可知： 圆柱的高h?2R?38??2分

圆柱的侧面积S1?2?rh?760???3分 半球的表面积S2?1?4?R2??R2?1083???5分 22所以铆钉的表面积S?S1?S2?760??1083??1843?(mm)??7分

（2）V1??r?h1?100?24???2400???8分 V2?214213718?????R3??193?????9分 23332设钉身长度为l，则V3??r?l?100?l??10分

由于V3?V1?V2,所以2400??13718??100?l，??12分 3解得l?70mm??13分

?mm，钉身的长度约为70mm。 答：钉身的表面积为1843

错位相减 若

2an?22?n,数列{bn}，对于任意的正整数n，均有

n?1?n?2成立，求证：数列{bn}是等差数列； b1an?b2an?1?b3an?2???bna1????22?? (3)b1an?b2an?1?b3an?2n?2?1???① ???bna1????2?2?nn?1，b1a1?131???1，其中a1?2，所以b1??????11分

222当n?2时，b1an?1?b2an?2?1??b3an?3???bn?1a1????2?n?1?n?1??②??12分 2n1n?1?1?②式两边同时乘以得，b1an?b2an?1?b3an?2???bn?1a2??????③13分

24?2?①式减去③得，bna1??n?3n3，所以bn?????14分 4881且bn?1?bn????15分

811所以数列{bn}是以?为首项，公差为?的等差数列。??16分

28静安区

10.已知tan?、tan?是方程x2?33x?4?0的两根，?、??(???,)，则

22???= . ?2? 3y?2的取值范围是 [?2,2] . x13：一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是 1?S?2 .

12.已知实数x、y满足x?y?1，则

14：两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分. 两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有 7,14 名高二年级的学生参加比赛.（结果用数值作答）

已知函数f(x)?loga(x2?1?x)（其中a?1）. （1）判断函数y?f(x)的奇偶性，并说明理由；

（2）文：求函数y?f(x)的反函数y?f理：判断

?1(x)；

f(m)?f(n)（其中m,n?R且m?n?0）的正负号，并说明理由；

m?n（3）若两个函数F(x)与G(x)在闭区间[p,q]上恒满足F(x)?G(x)?2，则称函数F(x)与

G(x)在闭区间[p,q]上是分离的.

试判断y?f(x)的反函数y?f?1(x)与g(x)?ax在闭区间[1,2]上是否分离？若分离，

求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由.

22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分. （1）因为

x2?1?x?x?x?0，所以函数y?f(x)的定义域为实数集

R；??????????（ 1分）

又f(x)?f(?x)?loga(x2?1?x)?loga(x2?1?x)?loga(x2?1?x2)?0， 所以函数y?f(x)是奇函数．??????????（4分）

（2）因为a?1，所以f(x)?loga(x2?1?x)在[0,??)上递增，以下给出证明：任取

0?x1?x2，

2设

22u1?x1?1?x12，

u2?x2?1?x22，则

u1?u2?x1?x22x1?1?x2?1?(x1?x2)

u1?1，u2=(x1?x2)(x1?x2x1?1?x2?122?1)?0，所以0?u1?u2，即0?f(x1)?f(x2)?logau1?0．????????（ 6分） u2又f(x)?loga(x2?1?x)为奇函数，所以f(?n)??f(n)且f(x)?loga(x2?1?x)在

(??,??)上递增．

所以m?n?m?(?n)与f(m)?f(n)?f(m)?f(?n)同号，所以，当a?1时，

f(m)?f(n)?0．

m?nf(m)?f(n)?0．??（ 8分）

m?n11（3）f?1(x)?ax?，x?R ??????????（ 10分） x22a1x111a?x?ax?2在区间[1,2]上恒成立，即ax?x?2， 222aa或ax?1?4在区间[1,2]上恒成立，??????????（ 12分） xa令ax?t

因为a?1，ax?t?[a,a2]，t?111在t?[a,a2]递增，所以(t?)min?a??4，解得ttaa?2?3；

所以，a?(2?3,??)．??????????（ 16分） 文：(1)同理22（1）；

（2）由x2?1?x?0且当x???时x2?1?x?0，当x???时x2?1?x???得

f(x)?loga(x2?1?x)的值域为实数集。

解y?loga(x2?1?x)得f（3）

?1(x)?1x1a?，x?R??（ 8分） x22a1x111a?x?ax?2在区间[1,2]上恒成立，即ax?x?2， 222aa1?4在区间[1,2]上恒成立，??????????（ 11分） xa或ax?令ax?t

因为a?1，ax?t?[a,a2]，t?111在t?[a,a2]递增，所以(t?)min?a??4，解得ttaa?2?3；

所以，a?(2?3,??)．??????????（ 16分）

理：本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分3分，第3小题满分7分. 在数列?an?中，已知a2?1，前n项和为Sn，且Sn?（1）求数列?an?的通项公式； （2）求limn(an?a1).（其中n?N*） 2Snn2n???；

（3）设lgbn?an?1n3比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p,q)；否则，说明理由.

，问是否存在正整数p、q（其中1?p?q），使得b1，bp，bq成等

（1）因为Sn?n(an?a1)2(a2?a1)，令n?2，得a1?a2?，所以

22a1?0；?????????（ 2分）

(a1?a1)?0） 2(n?1)(an?1?a1)(n?1)an?1当n?2时， Sn?1? ?22（或者令n?1，得a1?an?1?Sn?1?Sn?aa(n?1)an?1nannn，n?1?，推得n?1?，????（5分） ?ann?1a33?122又a2?1，a3?2a2?3，所以an?1?n当n?1,2时也成立，所以an?n?1，（n?N*）???（ 6分） （2）limSnn2n???=

1?????????（ 9分） 2（3）文理相同：假设存在正整数p、q，使得b1，bp、bq成等比数列，则lgb1，lgbp、lgbq2p1q??，（**）?????????（ 11分） 3p33q2p1p11由于右边大于，则p?，即p?．

33633成等差数列，故

p?1p1?2p?p??p?考查数列?p?的单调性，因为p?1?p?p?1?0，所以数列?p?为单调递减数

333?3??3?列．?????????（ 14分）

p21q1p1当p?2时，p??，代入（**）式得q?，解得q?3；当p?3时，p?（舍）．

9639933综上得：满足条件的正整数组(p,q)为(2,3)．?????????（ 16分）

黄浦区

6若函数f(x)?2x6．(??,0]；

2?ax?1?3a是定义域为R的偶函数，则函数f(x)的单调递减区间是

．

11．已知 m、n、?、??R,m?n,???，若?、?是函数f(x)?2(x?m)(x?n)?7的零点，则m、n、?、?四个数按从小到大的顺序是 11．a

“?” (用符号连接起来)．

13．已知x?R，定义：A(x)表示不小于x的最小整数．如A(3)?2,A(?0.4)?0,

A(?1.1). (理科)若A(2x?A(x))?5，则正实数x的取值范围是 ?? 113． (理)1?x?51；(文) ?x?1； ． 42 (文科) 若A(2x?1)?3，则实数x的取值范围是 ．

14．(理科)已知点O是?ABC的重心，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且 2a?OA?b?OB?

23c?OC?0,则角C的大小是 ? . 3311若数列?zn?是首项为z1?()m?1，公比为q?k(m,k?N*)的无穷等比数列，且数列?zn?22各项的和为1，求正整数k、m的值．

3整除问题

(文) (3)由题意可知，无穷等比数列

?zn?的首项z1?12m?1,公比

1*(k、m?N且、k为常数m) ，k21m?112?? ． 11?k3213化简，得k?m?1?1．

22131313 若m?1?3，则k?m?1?k+?+?1.这是矛盾！

222828 ?m?1?2.

13 又m?1?0或1时，k?m?1?1,

22 ? m?1?2,即m?3. ?13k?1?,2?4,解得k?2. 2k4?m?3, ???k?2.六校

9.（理）函数y?f(x)的图像如图所示，在区间[a,b]上可找到

y n(n?2)个不同的数

x1,x2,,xn，使得

o a f(x1)f(x2)??x1x2?f(xn)，则n的所有可能取值组成的集合xnb x 为 {2,3,4} .

10.（理）设函数f(x)的定义域为D，若存在非零常数L使得对于任意x?M(M?D) 有

x?L?D且f(x?L)?f(x)，则称f(x)为M上的L高调函数. 对于定义域为R的

22奇函数f(x)，当x?0时，f(x)?x?a?a，若f(x)为R上的4高调函数，则实

数a的取值范围是 10．（理）?1?a?1；

??1x?M（文）对于集合M，定义函数fM(x)??；对于两个集合A、B，定义集合

1x?M?.已知A?{2,4,6,8,10}，B?{1,2,4,8,12}，则用列举A?B?{x|fA(x)?fB(x)??1}法写出集合A?B的结果为 （文）{1,6,10,12} . . 13.已知数列{an}满足an?2n，在该数列的第1项与第2项之间插入1个1，在第2项与第3项之间插入2个1，…，在第n项与第n?1项之间插入n个1，…，由这些数构成新数列{bn}，则数列{bn}的前2014项和为 【 D 】 A.2?1951 B.2?1950 C.2?1951 D.2?1950 13校

11、已知函数f?x??x?k?x?2k(k?0)，若当3?x?4时，f?x?能取到最小值，则实数k的取值范围是 【2,3】 12、已知数列?an?中，a1?2,an?1??626263631，若k是5的倍数，且ak?2，则k? 15m-5 an?114、已知m?0，m?点A,B，直线l2:y?17?1，直线l1:y?m与函数y?log2x的图象从左至右相交于24与函数y?log2x的图象从左至右相交于点C,D，记线段ACm?1b和BD在x轴上的投影程长度分别为a,b，当m变化时，的最小值是 8

a

虹口区

0?x??，?2sinx，7、若f?x???2则方程f?x??1的所有解之和等于 p-1 .

x?0，?x，

14、右图为函数f?x?=Asin??x???(A?0,??0,0????2的部分图像，)yEDM、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，E?0,1?是线段MD的中点，且MD?MN??28，则函数f?x?的解析式为 MONCxy?2sin(2x?)； . 4

4217、关于曲线C:x?y?1，给出下列四个命题：

?①曲线C关于原点对称； ②曲线C关于直线y?x对称 ③曲线C围成的面积大于? ④曲线C围成的面积小于?

上述命题中，真命题的序号为 （ D ）

A.①②③

B.①②④

C.①④

D.①③

18、若直线y?kx?1与曲线y?x?（ A ）.

11?x?有四个不同交点，则实数k的取值范围是 xx?11?A.??,0,? ?88??11?B.??,? ?88??11?C.??,? ?88??11?D.??,? ?88?单调性

22、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知各项均不为零的数列?an?的前n项和为Sn，且4Sn?an?an?1?1n?N?，其中a1?1.

??（1）求证：a1,a3,a5成等差数列； （2）求证：数列?an?是等差数列； （3）设数列?bn?满足2bn?1?等式2Tn?log2an?1恒成立.

22. （1）解：4Sn?anan?1?1 ①；4Sn?1?an?1an?1 ②；①－②得an?1?an?1?4，得证；

（2）解：由a1?1，得a2?3，S2m-S2m-1=2结合第（1）问结论，即可得{an}是等差数列；

（3）解：根据题意，bn?log21n?N??，且Tn为其前n项和，求证：对任意正整数n，不?an2n2462n，Tn?log2?????； 2n?11352n?1 要证2Tn?log2an?1?log2(2n?1)，即证 当n?1时，2?3成立； 假设当n?k时， 当n?k?1时，

2462n??????2n?1； 1352n?12462k??????2k?1成立； 1352k?12k?22462k2k?22k?2???????2k?1??； 1352k?12k?12k?12k?1 要证2k?2?2k?3，即证(2k?2)2?(2k?1)(2k?3)，展开后显然成立， 2k?1 所以对任意正整数n，不等式2Tn?log2an?1恒成立；

三点共线，渐进线合并

23、（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题5分，第2小题7分，第3小题6分.

x2y2已知F1、F2为为双曲线C：2?2?1的两个焦点，焦距F1F2=6，过左焦点F1垂直于x轴的

ab直线，与双曲线C相交于A,B两点，且?ABF2为等边三角形. （1）求双曲线C的方程；

（2）设T为直线x?1上任意一点，过右焦点F2作TF2的垂线交双曲线C与P,Q两点，求证：直线OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；

（3）是否存在过右焦点F2的直线l，它与双曲线C的两条渐近线分别相交于R,S两点，且使得?F1RS的面积为62？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

yA

x2y2??1；23. （1）c?3，∵等边三角形，∴AF2?43，AF 1?23，a?3，∴36（2）解：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，中点为T?(x0,y0)，然后点差法，

即得

2(x1?x2)y1?y213?12， ??kPQ????(y1?y2)x1?x2kPF2yTyTy0yT??kOT，即点T?与点T重合，所以T为PQ中点，得证； x01∴kOT??（3）解：假设存在这样的直线，设直线l:x?my?3，R(xR,yR)，S(xS,yS) 联立???32?32?y?2x?y??2x得yR?；联立?得yS?；

1?2m1?2m???x?my?3?x?my?31?6?(y2R SF1RS??yS)?6，即2(yR?yS)?22；

∴

3232??22，该方程无解，所以不存在这样得直线l

1?2m1?2m杨浦区

14．如图所示，已知函数 y?log24x图像上的两 点 A、 B 和函数 y?log2x上的点 C，线段 AC 平行于 y 轴， 三角形 ABC 为正三角形时， 点 B的坐标为

?p,q?, 则

p2?2q的值为___123_____. 第14题图

面积的最大值。

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第一小题3分，第二小题7分，第三小题6分 如图，曲线?由曲线C1:x2a2?y2b2?1?a?b?0,y?0?和曲线C2:x2a2?y2b2?1?y?0?组

成，其中点F1,F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3,F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点， （1）若F2?2,0?,F3??6,0?，求曲线?的方程；

（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点 M必在曲线C2的另一条渐近线上；

（3）对于（1）中的曲线?，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求?CDF1面积的最 大值。

22．（本题16分，第一小题3分，第二小题7分，第三小题6分）

222??a?b?36??a?20??2（1）?2 ????2分 2?a?b?4?b?16??yF3F1OF2BF4xAx2y2x2y2??1?y?0?和??1?y?0?。 ????3分 则曲线?的方程为

20162016（2）曲线C2的渐近线为y?? 如图，设直线l:y?bx ????4分 ab?x?m? ????5分 ab?y??x?m???a222则?2?2x?2mx?m?a?0 ????6分 ??2?x?y?1??a2b2???2m??4?2??m2?a2??4?2a2?m2??0??2a?m?2a

2又由数形结合知m?a，?a?m?2a ????7分 设点A?x1,y1?,B?x2,y2?,M?x0,y0?，

?x1?x2?m?则?m2?a2， ????8分 ?x1?x2?2??x0?x1?x2mbbm?，y0??x0?m???? ????9分 22aa2bb?y0??x0，即点M在直线y??x上。 ????10分

aax2y2??1?y?0?，点F4?6,0? （3）由（1）知，曲线C1:2016 设直线l1的方程为x?ny?6?n?0?

?x2y2?1?? ?2016??4n2?5?y2?48ny?64?0 ????10分

?x?ny?6? ???48n??4?64?4n?5?0?n?1 ????11分

222?? 设C?x3,y3?,D?x4,y4?

?48n?y?y?4??34n2?5 由韦达定理：? ????12分

?y?y?64?344n2?5? ?y3?y4?

?y3?y?42n2?1?4y?3y?4165?2

4n?5S?CDF1?S?CF1F4?S?DFF111n2?1n2?1?F1F4?y3?y4??8?165?2?645?2 4224n?54n?5 ????13分 令t?n2?1?0，?n?t?1， ?S?CDF?645?1221 ????14分 ?64?5294t?94t?t9313?12，当且仅当t?即n?时等号成立 ????15分

2t2t

t?0，?4t? ?n?131165时，?S?CDF1?645? ????16分 ?max2123

ⅳ ????18分

等差与等比构造：交替

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

3数列?an?各项均不为0，前n项和为Sn，bn?an，bn的前n项和为Tn，且Tn?Sn2

（1） 若数列?an?共3项，求所有满足要求的数列； （2） 求证：an?nn?N*是满足已知条件的一个数列；

（3） 请构造出一个满足已知条件的无穷数列?an?，并使得a2015??2014；若还能构造其他 符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）。 23．（本题18分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分）

3（1）n?1时，T1?S12?a1?a12?a1?1?a1?0舍去? ??1分

??2333 n?2时，T2?S2?a1?a2??a1?a2??1?a2??1?a2?

22 ?a2?2或a2??1a2?0舍去 ????2分

2333 n?3时，T3?S3?a1+a2+a3??a1+a2+a3? 3 当a2?2时，1+8+a3??1+2+a3?

22?? ?a3?3或a3??2?a3?0舍去? 当a2?3?1时，1-1+a3??1-1+a3??a3?1?a3?0舍去? ????3分

2所以符合要求的数列有：1,2,3；1,2,-2；1,-1,1 ????4分 （2）

an?n，即证13?23?33??n3??1?2?3??n?，

2 用数学归纳法证：

1．n?1时，1?1成立 ????6分

3332．假设n?k，1?2?3?32?k3??1?2?3?3?k?成立 ????7分

?k???k?1?

232 则n?k?1时，13?23?33??1?k?k??1?k3????k?1????22????????k3??k?1???1?2?3???2?????????2??1?k?k?22k?4k?4???2????????? ???2?1?k?1?k?1???2??????????1?2?3??????2 ?k?k?1?????2等式也成立 ????9分 综合12，对于n?N*，都有13?23?33??an?n3??1?2?3??n?

2?n?n?N*?是满足已知条件的一个数列。 ????10分

33Sn2?a1?a2?3① an（3）

233 Sn?1?a1?a2?33?an?an?1②

23 ②-①得2an?1?Sn?an?1?an?1

22an?1?0,2Sn?an?1?an?1?2Sn?an?1?an?1③ ????11分

2?an?an④

n?2时2Sn?12222 ③-④得2an?an?1?an?1?an?an?an?1?an?an?1?an ????12分

??an?1?an??an?1?an?1??0

?an?1??an或an?1?an?1?n?2? ????14分 构造:

ⅰ)an?n???n?2014??1??n?2014,n?N? ????15分

???n?2015,n?N?**?n???ⅱ)an??n?4029??n?4028???n?2014,n?N?*?2015?n?4028,n?N? ????16分

?n?4029,n?N?**?n???ⅲ)an???2014??n?2???n?2014,n?N?*?n?2015? ????17分

*?n?2016,n?N?*?n???-2014??)an??2014???2014??n?4???n?2014,n?N??n?2015??n?2016??n?2017?

?n?2018,n?N?*青浦区

9.抛物线y?8x的动弦AB的长为6，则弦AB中点M到y轴的最短距离是 9/8 .

12.已知正实数x,y满足xy?2x?y?4，则x?y的最小值为 26?3 ． 13. 设函数y?f(x)在R上有定义，对于任意给定正数M，定义函数

2?f(x),f(x)?MfM(x)??，则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”，若给定函数

M,f(x)?M?f(x)?2?x2，M?1，则fM(2)? -2 .

14.当x和y取遍所有实数时，f(x,y)?(x?5?cosy)?(x?siny)?m恒成立，则m22的最小值为 8 .

17．设a,b为正实数，则“a?b”是“a?11?b?”成立的??????（ C ）． ab（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

18.设函数f(x)?n?1,x?[n,n?1),n?N，函数g(x)?log2x，则方程f(x)?g(x)实数根的个数是?????????????????????????????（ B ）. （A）1个 （B）2个 （C） 3个 （D）4个 20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.

如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y?Asin(?t??)?b，?????,??，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．

（1）根据条件写出y（米）关于t（分钟）的解析式；

（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米?

20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分. 解：（1）由题设可知A?50，b?60， ???????? 2分

又T?第20题图

*2?2?3，所以???， ???????? 4分 ?3从而y?50sin(2?t??)?60， 32?t??)?60，得3再由题设知t?0时y?10，代入y?50sin(sin???1，从而???因此，y?60?50cos?2， ???????? 6分

2?t,(t?0). ???????? 8分 32?t?85，??? 8分 3（2）要使点P距离地面超过85米，则有y?60?50cos即cos2?12?2?2?4?t?? ，又0?t?2?,(t?0)解得?t?,(t?0)， 323333即1?t?2 ???????? 10分

所以，在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过85米的时间有1分钟.?? 14分

23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6

分.

[来源:学|科|网Z|X|X|K]已知函数

f(x)?|x?11|?|x?|. xx11|?|x?|的基本性质（结论不要求证明）并作出函数f(x)xx（1）指出的图像；

f(x)?|x?（2）关于x的不等式kf2(x)?2kf(x)?6(k?7)?0恒成立，求实数k的取值范围； （3）关于x的方程

f2(x)?mf(x)?n?0（m,n?R）恰有6个不同的实数解，

求n的取值范围.

23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.

解：（1）解：D????,0??0,???

?2??xx????,?1????2xx???1,0?f(x)?? ????????????????1分

2xx?0,1????2?x??1,????xf(x)是偶函数????????????????????????2分

在区间???,?1?和?0,1?上单调递增，在区间??1,0?和?1,???上单调递减???3分

f(x)的最大值是2，无最小值，值域为(0,2]????????????????4分

（说明：在端点?1和1处可开可闭，在0处必须是开的，两个区间可以用“和”连接，但不能用“”连接；写对值域给分） （作图如下：）

??????????6分

2（2）因为关于x的不等式kf(x)?2kf(x)?6(k?7)?0恒成立，令f(x)?t，则

t??0,2????????7分

即不等式k(t?2t?6)?42在t??0,2?上恒成立????????????????8分

2当t??0,2?时，

t2?2t?6??5,6? ?????????????????????9分

?k?42t2?2t?6 ????????????????????????????10分

4242?42???7,?22?又t?2t?6(t?1)?5?5? ????????????????????11分 ?k?425????????????????????????????????12分

（3）关于x的方程

f2(x)?mf(x)?n?0（m,n?R）恰有

6个不同的实数解即

f2(x)?mf(x)?n?0有6个不同的解，????????????????13分

数形结合可知必有f1(x)?2和f2(x)?t，t??0,2? ????????????14分

令u?f(x)，则关于u的方程g(u)?u2?mu?n?0有一根为2，另一根在?0,2?间 ??????????????????????????????????15分

?2m?n?4?0?g?0??0???n?(0,4)???????????????????18分 ?m?-2?(0,2)?2??m?4n?0

宝山 点差法

29.（本题满分 12 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分4分，第 3 小题满分5分．

已知抛物线x2?4y，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点P又过点1，

11P1作斜率为的直线交抛物线于点P2，再过P2作斜率为的直线交抛物线于点P3，，如

241此继续。一般地，过点Pn作斜率为n的直线交抛物线于点Pn?1，设点Pn(xn,yn)．

2（1）求x3?x1的值；

（2）令bn?x2n?1?x2n?1，求证：数列{bn}是等比数列；

（3）记Px奇,y)奇 为点列P1,P3,???,P2n?1,??? 的极奇(限点，求点P的坐标． 奇

?x2?4y29. 解：（1）直线OP解得P1 的方程为y?x，由 ?1(4,4)，??1分

?y?x直线P2P1的方程为y?4?11?x?4?，即y?x?222

?x2?4y?由 ?得P2(?2,1)，?????????????2分 1?y?x?2?2直线P2P3的方程为y?1?113?x?2?，即y?x?442

?x2?4y9?由 ?13解得，P3(3,)

4?y?x??42所以x3?x1?3?4??1． ?????????????????????3分 （2）因为Pn(xn,xn2)，Pn?1(xn?1,xn?12)，由抛物线的方程和斜率公式得到

44111xn?12?xn214?n?xn?1?xn?n ??????????????????5分

4xn?1?xn2284，两式相减得 ??????????6分 x?x??n?1n?12n2n

4用2n代换n得bn?x2n?1?x2n?1??n，

4所以xn?xn?1?由（1）知，当n?1时，上式成立， 所以{bn}是等比数列，通项公式为bn??（3）由x2n?1?x2n?1??4． ??????????????7分 n44 得， 4n444x3?x1??，x5?x3??2，??，x2n?1?x2n?1??n， ????????8分

44484以上各式相加得x2n?1??，????????????????????10分 n33?481219所以x奇?limx2n?1?，y奇?x奇?．

n??349即点P的坐标为?,奇?816??． ???????????????????????12分

?39?浦东新区

23.设?为两个非零向量a,b的夹角，已知对任意实数t，|b?ta|的最小值是2，则（ B ） A.若?确定，则|a|唯一确定 C.若|a|确定，则?唯一确定

B.若?确定，则|b|唯一确定 D.若|b|确定，则?唯一确定

0两个实数根，则经过两点24.已知x1,x2是关于x的方程x2?mx?(2m?1)?的

x2y2A(x1,x),B(x2,x)的直线与椭圆??1公共点的个数是（ A ）

164A.2 B.1 C.0 D.不确定 解法：y+mx-(2m+1)=0

2122

双数列

29.（本题满分13分，第1小题6分，第2小题7分）

b?4a?4在数列?an?,?bn?中，a1?3,b1?5,an?1?n,bn?1?nn?N*? ?22（1）求数列?bn?an?，?an?bn?的通项公式；

（2）设Sn为数列?bn?的前n项的和，若对任意n?N*，都有p?Sn?4n???1,3?，求实数p的取值范围. 29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）

bna1?2，bn?1?n?2，bn?1?an?1??(bn?an)，

2221即数列{bn?an}是首项为2，公比为?的等比数列，

21n?1所以bn?an?2?(?).??????????????????????3分

211 an?1?bn?1?(an?bn)?4，an?1?bn?1?8?(an?bn?8)，a1?b1?8?0，

22所以，当n?N*时，an?bn?8?0，即an?bn?8.??????????6分

解：（1）因为an?1??an?bn?81n?121n?b?4?(?)S?4n?[1?(?)]， （2）由? 得，1n?1nn232b?a?2?(?)nn??22p12p1[1?(?)n]，1?[1?(?)n]?3， p(Sn?4n)?32321n12p3因为1?(?)?0，所以.?????????8分 ??1n1n231?(?)1?(?)2211 当n为奇数时，随n的增大而增大， ?1n1n1?(?)1?()222p312p3?2，?p?3；?????????10且，1???13231?(1)n1?()n22分

当n为偶数时，

111?(?)n212p3且??131?(1)n1?()n22综上，2?p?3.?????????????????????????13分

?1随n的增大而减小， 1n1?()242p9?3，2?p?. ，?332

放缩法

30.（本题满分8分）

某风景区有空中景点A及平坦的底面上景点B.已知AB与地面所成角的大小为60，点A在

AB?BM地面上的射影为H，如图，请在地面上选定点M，使得达到最大值.

AM A

H

M

B 30．（本题满分8分） 解：因为AB与地面所成的角的大小为60，AH垂直于地面，BM是地面上的直线，

所以?ABH?60?,?ABM?60?.

?ABBMAM??,??????????????????????2分

sinMsinAsinBAB?BMsinM?sinAsinM?sin?B?M???∴ AMsinBsinBsinM?sinBcosM?cosBsinM1?cosB??sinM?cosM

sinBsinBB2cos22sinM?cosM?cotBsinM?cosM???????????4分 ?sinB2?cot30sinM?cosM?3sinM?cosM?2sin(M?30).?????6分

∵

AB?BM达到最大值，

AM此时点M在BH延长线上，BH?HM处.??????????????8分

当?M??B?60时，

，0

sinx???设函数f?x???0?x??

x?2??0?x??（1）设x?0，y?0且x?y??2，试比较f?x?y?与f?x?的大小；

（2）现给出如下的3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由. ???①对任意x??0,?都有cosx?f?x??1成立；

?2?x2x4x6x8x10???②对任意x??0,?都有f?x??1?????成立；

3!5!7!9!11!?3?????2?③若关于x的不等式f?x??k在?0,?上有解，则k的取值范围是?,???.

?2????31．(满分10分，第1小题4分、第2小题6分) 解：（1）方法一（作商比较）：

显然f(x)?0，f(x?y)?0，

f(x?y)sin(x?y)xxsinxcosy?xcosxsiny. ???1分 ???f(x)x?ysinxxsinx?ysinx0?cosy?1?因为??0?xsinxcosy?xsinx.???????????2分

xsinx?0?0?siny?y?又??0?xcosxsiny?ysinx.??3分 0?x?tanx?0?xcosx?sinx?所以0?xsinxcosy?xcosxsiny?xsinx?ysinx. f(x?y)即?1?f(x?y)?f(x).????????????????4分

f(x)于是

方法二（作差比较）：

0?cosy?1???xsinx(cosy?1)?0.?????????????1分

xsinx?0?0?siny?y?又??xcosxsiny?ysinx?0.??2分 0?x?tanx?0?xcosx?sinx?xsin(x?y)?(x?y)sinxf(x?y)?f(x)?

(x?y)xxsinx(cosy?1)?(xcosxsiny?ysinx)??0.

(x?y)x即f(x?y)?f(x).????????????????????????4分

?x1?（2）结论①正确，因0?x?.?0?sinx?x?tanx?1?.

2sinxcosx?cosx?f(x)?1.????????????6分

因为

x2x4x6x8x10结论②错误，举反例: 设g(x)?1?.（利用计算器）????3!5!7!9!11!f(0.5)?g(0.5)?3.309313576?10?14?0等????????????8分

（f(0.6)?g(0.6)?3.493766163?10?13?0， f(1)?g(1)?1.598273549?10?10?0，

f(0.7)?g(0.7)?0,f(0.8)?f(0.8)?0,f(0.9)?g(0.9)?0均可）.

sinx?结论③正确，由f(x?y)?f(x)知f(x)?在区间(0,]上是减函数.

2x?2所以f(x)?f()?f(x)?，又f(x)?1，

2?sinx2所以f(x)?的值域为[,1).

?x?2要使不等式f(x)?k在(0,]有解，只要k?即可.?????????10分

2?

奉贤区

11．如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB?1，BC?2，分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧EB、EC（E在线段AD上）.由两圆弧EB、EC及边BC所

2?围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .

3DEC?34?8x???212．定义函数f(x)???1f(x)??22内的所有零点的和为 21/2 .

1?x?2x?2，则函数g(x)?xf(x)?6在区间?1,8?AB24．定义两个实数间的一种新运算“?”：x*y?lg(10x?10y)，x、y?R。对于任意实

数a、b、c，给出如下结论：①a?b?b?a；②(a?b)?c?a?(b?c)；③(a?b)?c?(a?c)?(b?c)．其中正确结论的个数是 （ D ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

新定义

29．曲线C是平面内到直线l1:x??1和直线l2:y?1的距离之积等于常数k2(k?0)的点的轨迹，设曲线C的轨迹方程f(x,y)?0． （1）求曲线C的方程f(x,y)?0；

（2）定义：若存在圆M使得曲线f(x,y)?0上的每一点都落在圆M外或圆M上，则称圆M为曲线f(x,y)?0的收敛圆．判断曲线f(x,y)?0是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由．

29．（1）设动点为(x,y)，则由条件可知轨迹方程是x?1?y?1?k； 3分 （2）设P为曲线C上任意一点，可以证明

则点P关于直线x??1、点(?1,1)及直线y?1对称的点仍在曲线C上 6分 根据曲线C的对称性和圆的对称性，若存在收敛圆，

则该收敛圆的方程是(x?1)2?(y?1)2?r2(r?0) 7分

2??(x?1)(y?1)?k (1)讨论：x??1,y?1时?最多一个有一个交点r满足条件 8分 222??(x?1)?(y?1)?r(2)2k42（1）代入（2）得r?(x?1)? 10分 ?2k2(x?1)22曲线f(x,y)?0存在收敛圆 11分 收敛圆的方程是(x?1)2?(y?1)2?r2(0?r?2k)

缩放数列

30．对于正项数列{an}，若成立是真命题．

an?1?q对一切n?N*恒成立，则an?a1?qn?1对n?N*也恒an1?(3c)n，求证：数列{an}前n项和Sn?；

1?3ca1（1）若a1?1，且n?1?3(cc?,c?1)an?0，

an3（2）若x1?4，xn?

30．（1）?222xn?1?3(n?2,n?N*)，求证：3?()n?1?xn?3?()n?1．

33an?1n?1?3c,?an?a1??3c?， 2分 anan??3c?n?1?a2?3c,a3?9c2,Sn?a1?a2?n， 4分

n?1?an?1?3c?9c2??3c?， 6分

1??3c?； 7分 ?Sn?1?3c(2)xn?3? ?xn?3?2xn?1?3?3??2xn?1?3?3??2xn?1?3?32xn?1?3?3??2xn?1?32xn?1?3?3， 10分

2xn?1?3， 11分 3n?1?2??xn?3?x1?3????3??2??xn?3????3??2??3????3?

n?1n?1， 12分

13分

n?1?2??xn?3????3?。 14分

31．设f(x)是定义在D上的函数，若对任何实数??(0,1)以及D中的任意两数x1、x2，恒有f??x1?(1??)x2???f(x1)?(1??)f(x2)，则称f(x)为定义在D上的C函数．

2（1）证明函数f1(x)?x是定义域上的C函数；

1(x?0)是否为定义域上的C函数，请说明理由； x（3）若f(x)是定义域为R的函数，且最小正周期为T，试证明f(x)不是R上的C函数．

（2）判断函数f2(x)?

31．（1）证明如下：

对任意实数x1,x2及???0,1?，

有f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2????x1??1???x2???x12??1???x22 2分

2????1???x12???1???x22?2??1???x1x2????1????x1?x2??0， 4分

即f2??x??1???x???f?x???1???f?x?， 5分

1212∴f1?x??x2是C函数； 6分 （2）f2?x??1?x?0?不是C函数， 7分 x说明如下(举反例)： 取x1??3，x2??1，??则f121， 212??x??1???x???f?x???1???f?x?

?f??2??即f111111f??3??f??1??????0， 22262212??x??1???x???f?x???1???f?x?，

1?x?0?不是C函数； 10分 x∴f2?x??（3）假设f?x?是R上的C函数， 11分

若存在m?n且m,n??0,T?，使得f?m??f?n?。 （i）若f?m??f?n?， 记x1?m，x2?m?T，??1?那么f?n??f12n?m，则0???1，且n??x1??1???x2， T12??x??1???x???f?x???1???f?x?

??f?m???1???f?m?T??f?m?，

这与f?m??f?n?矛盾； 13分 （ii）若f?m??f?n?，

记x1?n，x2?n?T，??1?n?m，同理也可得到矛盾； 14分 T∴f?x?在?0,T?上是常数函数， 15分 又因为f?x?是周期为T的函数，

所以f?x?在R上是常数函数，这与f?x?的最小正周期为T矛盾. 16分

所以f?x?不是R上的C函数。

线性规划，两线联立好

32.（本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分） 已知?ABC的三个顶点分别为A??1,0?、B?1,0?、C?0,1?.

（1）动点P在?ABC内部或边界上，且点P到三边AC、AB、BC的距离一次成等差数列，求点P的轨迹方程；

（2）若0?a?b，直线l：y?ax?b将?ABC分割为面积相等的两部分，求实数b的取值范围.

32．(满分12分，第1小题5分、第2小题7分) 解：（1）法1：设点P的坐标为?x,y?，则由题意可知：

yC?0,1?xA??1,0?OB?1,0?x?y?12?x?y?12?2y，由于x?y?1?0，x?y?1?0，y?0，?2分

所以x?y?1x?y?1??2y，???????????????????4分 22化简可得：y?2?1（2?2?x?2?2）??????????????5分 法2：设点P到三边AC,AB,BC的距离分别为d1,d2,d3，其中d2?y，??.所以 |AB|?2|AC|?2|BC|?2???于是点P的轨迹方程为y?2?1（

?y?2?1???4分 22d1?y?d3?1222?2?x?2?2）????????5分 d1?d3?2y（2）由题意知道0?a?b?1，

情况（1）b?a.

直线l：y?a(x?1)，过定点A??1,0?，此时图像如右下： 由平面几何知识可知，直线l过三角形的重心?0,?，

??1?3?1从而b?a?.??????????????????7分

3b??1，a故直线l与两边BC,AC分别相交，设其交点分别为D,E，则直线l与三角形两边的两个交点坐标D?x1,y1?、E?x2,y2?应该

情况（2）b?a.此时图像如右下：令y?0得x???y?ax?b满足方程组：?. ????y?x?1??x?y?1??0因此，x1、x2是一元二次方程：??a?1?x??b?1????a?1?x??b?1???0的两个根.

即a?1x?2a(b?1)x?(b?1)?0, 由韦达定理得：x1x2?2?22?b?1??2a2?1而小三角形与原三角形面积比为?x1x2，即x1x2??.

12?b?1?所以

2211?a1?a2亦即b?1?. ??b?1???2a?12，22，

1再代入条件b?a，解得0?a?， 32??从而得到b??1?2,1?.???????????????????????11分

?23?????综合上述（1）（2）得：b??1?2,1?.?????????????????12分

?23??解法2：由题意知道0?a?b?1 情况（1）b?a.

直线l的方程为：y?a(x?1)，过定点A??1,0?， 由平面几何知识可知，直线l应该过三角形的重心?0,?， 从而b?a???1?3?1.??????????????????????????7分 3情况（2）b?a.

设直线l：y?ax?b分别与边BC:y??x?1,x??0,1?， 边AC:y?x?1,x???1,0?的交点分别为点D,E， 通过解方程组可得：D(1?ba?b1?ba?b,)，E(,)，又点C(0,1)， a?1a?1a?1a?10∴S?CDE1111?b?2a?11?ba?1a?b11?a221=，同样可以推出?1?b??.

2a?12a?b1a?1211?a亦即b?1?，再代入条件b?a，解得0?a?，

23从而得到b??1???21?.?????????????????????11分

,?23?综合上述（1）（2）得：b??1???21?,?.???????????????12分 23?

解法3：

情况（1）b?a.

直线l的方程为：y?a(x?1)，过定点A??1,0?， 由平面几何知识可知，直线l过三角形的重心?0,?， 从而b?a?分

情况（2）b?a.

??1?3?1.???????????????????????????73b??1，故直线l与两边BC,AC分别相交， a设其交点分别为D,E，当a不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则b也不断减小.

当DE//AB时，?CDE与?CBA相似，由面积之比等于相似比的平方.

21?b2可知，所以b?1?， ?122?21?,?.??????????????????????12综上可知b??1??23??令y?0，得x??分

徐汇区

11212．已知函数fn(x)?1??()?221nn2?()?2(x?1)，其中n?N*． 2n?2015，，， 2 3 时，fn(x)的零点依次记作x1，当n?1 x2， x3， ，则limxn? -3 ．

n??13．在平面直角坐标系中，对于函数y?f?x?的图像上不重合的两点A,B，若A,B关于原点对称，则称点对?A,B?是函数y?f?x?的一组“奇点对”（规定?A,B?与?B,A?是相

1?lg?x?0???x同的“奇点对”）．函数f?x???的“奇点对”的组数是 3 ．

1?sinx?x?0???214．设集合A???x,x,x,123,x10?|xi???1,0,1?,i?1,2,3,,10?，则集合A中满足条件

“1?x1?x2?x3?18．对于方程为

?x10?9”的元素个数为 58024 ．

11+=1的曲线C给出以下三个命题： |x||y|（1）曲线C关于原点中心对称；

（2）曲线C既关于x轴对称,也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴； （3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M,N,P,Q都在曲线C上，则四边形MNPQ每一条边的边长都大于2． 其中正确的命题是（ B ） (A)（1）（2） (B)（1）（3） (C)（2）（3） (D)（1）（2）（3） 21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

如图所示，某传动装置由两个陀螺T1,T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的且T1,T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角??arctan1，32．若陀螺T2中圆锥的底面半径为3r?r?0?．

（1）求陀螺T2的体积；

（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离． 21、解：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，则得陀螺T2圆柱的底面半径和高为

2r23?，即h?r……………………..2’

2h3r……………………..3’ 3?r?r1V柱=?????r3……………………..5’

?3?327131V椎=?r2r??r3……………………..7’

32229VT2?V柱?V椎??r3……………………..8’

54（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O， 则PP，……………………..10’ 1?2?r得?POP1?PP2?r4?1……………………..12’ ??3OP3r2在?POP1?3OP?1中，PP33r……………………..14’ 2

22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

x22已知椭圆?:2?y?1（常数a?1）的左顶点为R，点A(a,1),B(?a,1)，O为坐标原点．

a（1）若P是椭圆?上任意一点，OP?mOA?nOB，求m?n的值； （2）设Q是椭圆?上任意一点，S?3a,0?，求QS?QR的取值范围；

（3）设M(x1,y1),N(x2,y2)是椭圆?上的两个动点，满足kOM?kON?kOA?kOB，试探究

22?OMN的面积是否为定值，说明理由．

22、解：（1）OP?mOA?nOB??ma?na,m?n?， 得P?ma?na,m?n?……………………..2’

?m?n?2??m?n??1，即m2?n2?21……………………..4’ 2（2）设Q?x,y?，则QS?QR??3a?x,?y???a?x,?y?

x2??x?3a??x?a??y??x?3a??x?a??1?2……………………..5’

a2a2?12?2x?2ax?1?3a2a

a2?1?a3?4a4?4a2?1?2?x?2????a?x?a?……………………..6’

a?a?1?a2?12a3?a……………………..7’ 由a?1，得2a?1∴ 当x??a时，QS?QR最大值为0；……………………..8’

当x?a时，QS?QR最小值为?4a；……………………..9’

2?4a,0?即QS?QR的取值范围为???……………………..10’

2（3）（解法一）由条件得，

y1y21??2，……………………..11’ x1x2a平方得x12x22?a4y12y22?(a2?x12)(a2?x22),

即x12?x22?a2……………………..12’

S?OMN?1x1y2?x2y1……………………..13’ 21x22x122x12x221222222?x1y2?x2y1?2x1x2y1y2= x1(1?2)?x2(1?2)?222aaa1ax12?x22?……………………..15’ 22a故?OMN的面积为定值……………………..16’

2?（解法二）①当直线MN的斜率不存在时，易得?OMN的面积为②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y?kx?t

a……………………..11’ 2?x22?2?y?1??1?a2k2?x2?2kta2x?a2?t2?1??0……………………..12’ ?a?y?kx?t?a2?t2?1??2kta2由M(x1,y1),N(x2,y2)，可得x1?x2?， ,x1x2?22221?ak1?akt2?a2k2y1y2??kx1?t??kx2?t??kx1x2?kt?x1?x2?x?t? 221?ak22又kOM?kON?y1y21??2，可得2t2?a2k2?1……………………..13’ x1x2a因为MN?1?k?x1?x2，……………………..14’ 点O到直线MN的距离d?2t1?k2……………………..15’

S?OMNtt1??MN?d??x1?x2??222?x1?x2?2?4x1x2?t2?4a2?1?a2k2?t2??1?a2k2?2?a 2综上：?OMN的面积为定值

a……………………..16’ 2

23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知有穷数列{an}各项均不相等，将{an}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新．．．．．．．．．数列{pn}，称{pn}为{an}的“序数列”．例如数列：a1,a2,a3满足a1?a3?a2，则其序数列{pn}为1,3,2．

（1）写出公差为d(d?0)的等差数列a1,a2,L,an的序数列{pn}；

*（2）若项数不少于5项的有穷数列{bn}、{cn}的通项公式分别是bn?n?()(n?N)，

35ncn??n2?tn(n?N*)，且{bn}的序数列与{cn}的序数列相同，求实数t的取值范

围；

*（3）若有穷数列{dn}满足d1?1，|dn?1?dn|?()(n?N)，且{d2n?1}的序数列单调

12n递减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{dn}的通项公式．

23、解：(1)当d?0时，序数列{pn}为n,n?1,L,2,1；……………………..2’ 当d?0时，序数列{pn}为1,2,L,n?1,n……………………..4’

(2)因为bn?1?bn?()?35n3?2n，……………………..5’ 5当n?1时，易得b2?b1，当n?2时，bn?1?bn， 又因b1?33334，b3?3?()，b4?4?()，b4?b1?b3， 555即b2?b3?b1?b4?L?bn，

故数列{bn}的序数列为2,3,1,4,L,n，……………………..8’ 所以对于数列{cn}有2?t5?， 22解得：4?t?5……………………..10’

(3)由于{d2n?1}的序数列单调递减，因此{d2n?1}是递增数列，故d2n?1?d2n?1?0，于是

(d2n?1?d2n)?(d2n?d2n?1)?0，

而()122n1?()2n?1，所以|d2n?1?d2n|?|d2n?d2n?1|，从而d2n?d2n?1?0， 2d2n?d2n?112n?1(?1)2n?()?2n?1 (1) ……………………..12’ 22因为{d2n}的序数列单调递增，所以{d2n}是递减数列，同理可得d2n?1?d2n?0，故

d2n?1?d2n12n(?1)2n?1??()? (2) ……………………..14’ 2n22(?1)n?1由(1)(2)得：dn?1?dn?……………………..15’

2n于是 dn?d1?(d2?d1)?(d3?d2)???(dn?dn?1)……………………..16’

11?(?)n?111(?1)12?1??2???n?1?1??……………………..17’

122221?241(?1)n???n?1 332n41(?1)n*即数列{dn}的通项公式为dn???n?1(n?N)……………………..18’

332金山区

x2y214．已知点P(x0, y0) 在椭圆C：2?2?1(a>b>0)上，如果经过点P的直线与椭圆只有

ab一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P称为切点，这条切线方程可以表示为：

x0xy0y?2?1． a2b根据以上性质，解决以下问题：

x2y2??1，若Q(u，v)是椭圆L外一点(其中u，v为定值)，经过Q点已知椭圆L：

169作椭圆L的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程是 松江区

22．已知数列?an?的首项为1，记

12f(n)?a1Cn?a2Cn?k?akCn?*n(n?N). ?anCnuxvy??1 ． 169（1）若?an?为常数列，求f(4)的值；

（2）若?an?为公比为2的等比数列，求f(n)的解析式；

（3）是否存在等差数列?an?，使得f(n)?1?(n?1)2n对一切n?N都成立?若存在，求

*出数列?an?的通项公式；若不存在，请说明理由．

解:（1）∵?an?为常数列，∴an?1(n?N?).

1234∴f(4)?C4?C4?C4?C4?15?????4分

（2）∵?an?为公比为2的等比数列，∴an?2n?1(n?N?).?????6分

123∴f(n)?Cn?2Cn?4Cn?n， ?2n?1Cnn，(1?2)n?3n?????8分 ?2nCn123∴1?2f(n)?1?2Cn?22Cn?23Cn?3n?1故f(n)?. ?????10分

2（3）假设存在等差数列?an?，使得f(n)?1?(n?1)2对一切n?N都成立，设公差

n*12为d，则f(n)?a1Cn?a2Cn?k?akCn?n?1n ?????12分 ?an?1Cn?anCnnn?1且f(n)?anCn?an?1Cn?k?akCn?21， ?a2Cn?a1Cnk?Cn?n?1?Cn)

12相加得 2f(n)?2an?(a1?an?1)(Cn?Cn?n?1?Cn)，

∴f(n)?an?a1?an?112(Cn?Cn?2k?Cn??an?a1?an?1n(2?2)?1?(n?1)d??2?(n?2)d?(2n?1?1). 2n?1∴f(n)?1?(d?2)??2?(n?2)d?2即(d?2)?(d?2)(n?2)2n?1?(n?1)2n恒成立，

?0 n?N?恒成立，∴d?2.?????15分

故?an?能为等差数列，使得f(n)?1?(n?1)2n对一切n?N?都成立，它的通项公式为an?2n?1....................... 16分 （也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分）

闸北

5．设n∈N，圆4π ．

*

的面积为Sn，则

=

逆否恒成立

8．如果不等式x＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是 （﹣∞，5] ．

9．（6分）关于曲线C：x﹣y=1，给出下列四个结论： ①曲线C是双曲线； ②关于y轴对称； ③关于坐标原点中心对称； ④与x轴所围成封闭图形面积小于2． 则其中正确结论的序号是 ②4 ．（注：把你认为正确结论的序号都填上）

11．已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下列一定成立的是（ ） A．若a3＞0，则a2013＜0 B． 若a4＞0，则a2014＜0 C．若a3＞0，则S2013＞0 D． 若a4＞0，则S2014＞0 考点： 等比数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 对于选项A，B，D可通过q=﹣1的等比数列排除，对于选项C，可分公比q＞0，q＜0来证明即可得答案．

解答： 解：对于选项A，可列举公比q=﹣1的等比数列1，﹣1，1，﹣1，…，显然满足a3＞0，但a2013=1＞0，故错误；

对于选项B，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但a2014=0，故错误；

对于选项D，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a2＞0，但S2014=0，故错误；

对于选项C，因为a3=a1?q＞0，所以 a1＞0．

2013

当公比q＞0时，任意an＞0，故有S2013＞0；当公比q＜0时，q＜0，故1﹣q＞0，1﹣q

2013

24

3

2

＞0，仍然有S2013 =

＞0，故C正确，

故选C． 点评： 本题主要考查等比数列的定义和性质，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题． 12．对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R，

运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．

下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①A=R，运算“⊕”为普通减法；

**

②A={Am×n|Am×n表示m×n阶矩阵，m∈N，n∈N}，运算“⊕”为矩阵加法； ③A={X|X?M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A．①② B． ①③ C． ①②③ D．②③ 考点： 进行简单的合情推理． 专题： 计算题；推理和证明． 分析： 根据单位元素的定义，对三个集合及相应的运算“⊕”进行检验即可． 解答： 解：①若A=R，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素； ②A={Am×n|Am×n表示m×n阶矩阵，m∈N，n∈N}，运算“⊕”为矩阵加法， 其单位元素为全为0的矩阵； ③A={X|X?M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集， 其单位元素为集合M． 故选D． 点评： 本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于基础题．

*

*

弦长公式变形

15．（20分）已知F1，F2分别是椭圆C：

2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，椭圆C

过点且与抛物线y=﹣8x有一个公共的焦点． （1）求椭圆C方程；

（2）斜率为k的直线l过右焦点F2，且与椭圆交于A，B两点，求弦AB的长； （3）P为直线x=3上的一点，在第（2）题的条件下，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （1）由题意得c=2，

，由此能求出椭圆方程．

（2）直线l的方程为y=k（x﹣2）．联立方程组，得（3k+1）x﹣12kx+12k

2222

﹣6=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出|AB|．

（3）设AB的中点为M（x0，y0）．由中点坐标公式得MP的斜率为

，．直线

，又xP=3，由此利用弦长公式能求出k=±1，从而求出直线l的方程．

解答： 解：（1）由题意得F1（﹣2，0）， c=2…（2分） 又

4

2

，

2

2

得a﹣8a+12=0，解得a=6或a=2（舍去），…（2分）

2

则b=2，…（1分） 故椭圆方程为

．…（1分）

（2）直线l的方程为y=k（x﹣2）．…（1分）

2

2

2

2

联立方程组，消去y并整理得（3k+1）x﹣12kx+12k﹣6=0．…（3分）

设A（x1，y1），B（x2，y2）． 故

，

．…（1分）

则|AB|=

|x1﹣x2|=

=．…（2

分）

（3）设AB的中点为M（x0，y0）． ∵

=2x0，∴

，…（1分）

∵y0=k（x0﹣2），∴直线MP的斜率为

．…（1分）

，又 xP=3，

所以．…（2分）

当△ABP为正三角形时，|MP|=，

可得，…（1分）

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