不定积分的典型例题

不定积分的典型例题

不定积分的典型例题

x2 1

例1．計算 4

x 1

解法1

x4 1 (x2

2x 1)(x2 2x 1).

而 (x2 2x 1) (x2 2x 1) 2(x2 1) 所以

x2 1111

( x4 12 x2 2x 1 x2 2x 1) 1 [ 2

1

221(x )

22

1d(2x 1)

1

221

(x )

22

1d2x 1)

)

2(

2

2x 1) 1

2

2(

2x 1) 1

2

1

2x 1) 2x 1)] c.

x2 1(x2 2x 1) 2x

22

解法2 x4 1(x 2x 1)(x 2x 1)

dx2x

4 2

x 1x 2x 1

11 2x 1) arctanx2 c.

22 解法3

11

1d(x )2x 1当x 0, 4dx x 1x2 2x2 2xx

2

1

d(x )

1x2 1 c

1222x(x ) 2x lim

x 0

12

x2 1x

22

,

不定积分的典型例题

1x2 1 lim , x 0

22x22由拼接法可有

2

x 1

dx x4 1

1x2 1 22x22

1x2 1 22x22

c,x 0

x 0. c

x 0

x3 2

例2.求 . 22

(x 1)(x 1)解 将被积函数化为简单的部分分式

x3 2ABCx D

(*) 2222

(x 1)(x 1)x 1(x 1)x 1两边同乘以(x 1)2，约去x 1的因子后令x 1得

( 1)3 21B .

( 1)2 12

两边同乘以(x 1)2，对x求导，再令x 1，施以上运算后，右端得A,而左端为

dx3 2lim[(x 1)2

22x 1dx(x 1)(x 1)

dx3 23x2(x2 1) 2x(x3 2)

lim[2] lim22x 1dxx 1x 1(x 1)

6 2 2. A 2.

4在分解式（*）中令x 0,得2 A B D,所以

1

D .分解式（*）两边同乘以x，再令x ,得

2

1 A C, C 1.故有

x3 2ABCx D

dx [ (x 1)2(x2 1) x 1(x 1)2x2 1]dx

111

2lnx 1 arctanx c.2

2(x 1)2ln(x 1)2

不定积分的典型例题

例3. 求

x

. 4242

(x 1)(x x)

解 令 u x2,再用部分分式，則

x1du

(x4 1)(x4 x2)2 (u2 1)(u2 u)

1ABCu D ,两边乘以u,再

(u2 1)(u2 u)uu 1u2 1

令u 0,得A 1.两边乘以u 1,再令u 1,得

1

B .两边乘以u,再令u ,得

2

11

0 A B C, C .令u 1, D .

22

x1du

4

(x 1)(x4 x2)2 (u2 1)(u2 u)

11 u

111 [ 2]du2u2(u 1)u 11111

lnu lnu ln(u2 1) arctanu c 24841111

lnx2 ln(x2 1) ln(x4 1) arctanx2 c24841x81 ln2 arctanx2 c.24

8(x 1)(x 1)4

x15x81x8 1 187

例4 8 8 xdx 8 222

(x 1)(x 1)8(x 1)

1118

[ ]d(x 1) 882 8x 1(x 1)

11 ln(x8 1) c. 88(x8 1)

1 cosx

dx.

1 cosx sinxx1 cosx

解 令 tan t,则

21 cosx sinx

例5.求

不定积分的典型例题

1 t21

222

dx 1 t22t1 t2 (1 t2)(1 t)1

1 t21 t2 1t 1

( )dt

t 1t2 1

1

lnt 1 ln(t2 1) arctant c

2

1x ln(1 sinx) c.

22

*例6 x2x2 1dx 1422 x xdx2

112121112222

(x ) ()d(x ) u ()du 222222

分部积分

1111

uu2 ()2 ln(u u2 ()2) c4216211

x(2x2 1)x2 1 lnx x2 1 c.88

(x 1)2

22

x (x 2x x2)dx分项

3

1

1

例7

45

2x x x c.

32

3

252

例8．

1111 [ 1 x42 1 x21 x2]dx

11 x1 ln arctanx c. 41 x2

例9．

x1 x 1 dx x x

124

dx x x x c.

33 x

xdx

例10．

不定积分的典型例题

dxdx

1 sinx 1 2

x

tan( ) c.

42例

11

xd( ) x)cos2( )

42

x

dxx 1

2

x

1t

dt t

2

arcsint c

1

arcsin c,x 1 x

1

arcsin c,x 1.

x

例12． 求 x a)(b x)dx, 其中a b. 解 由配方得

(x a)(b x) R2 (x

x u

a b

,则有原式 2

2

2

u Rsint

a b2b a

),其中R ，令22

R udu R2 cos2tdt R2

2

1 cos2t

dt2

t1R2R2

R( sin2t) c t sintcost c

2422 12x (a b) (b a)2arcsin4b a

2x (a b) (x a)(b x) c.

4

cos3xsin3x

dx,J dx, *例13．求I

cosx sinxcosx sinx11

解 I J (1 sin2x)dx x cos2x c.

24

1

(cosx sinx)(1 sin2x)

I J dx

cosx sinx

1

(cos2x sin2x)(1 sin2x)

(cosx sinx)2

不定积分的典型例题

1

(1 sin2x)cos2x

11 sin2x ln(sin2x 1) c.

1 sin2x44解上面的联立方程可得出I,J.（略）。 *例14． 计算I

1

. 1 x3

11 x xI dx 33 1 x1 x

1xx dx ,令J .可求出233 1 x x1 x1 x

221

I J 3(x ) c,

3321 x1 x x2 x2

I J dx 33

1 x1 x1x21 ln(x 1) ln(x3 1) c,3

1 x1 x3从而可解出I.(略)

例15． arcsin

分部积分

2x2x

arcsin(x 1) 1 x1 x

（x 1）arcsin

2x1

1 xx

(1 x)arcsin

2x

2x c.1 x

dxx x x 1

2

例16． 求 I 解 令

t2 1t2 t 1

x x 1 x t, x ,dx 2dt,

1 2t(1 2t)2

2

t2 t 1133

I 2 dt 2[ ]dt22 t(1 2t)t2(2t 1)2(2t 1)

3

2lnx x2 x 1 ln2x 1 2x2 x 1

2

3

c.

2

2(2x x 1 2x 1)例17．设f(x)有一个原函数

sinx

,求 xf (x)dx. x

不定积分的典型例题

解 用分部积分法有

xf (x)dx xdf(x) xf(x) f(x)dx

f(x)dx

(*)

sinx

c1 f(x) [ f(x)dx] x

sinxxcosx sinx [ c1] .

xx2

代入（*）有

sinxsinx

c1， xx2sinx

c. 即 xf (x)dx cosx x

12sinx cosx

dx. 例18．求

5sinx 2cosx

xf (x)dx cosx

解 [5sinx 2cosx] 5cosx 2sinx.被积函数的

分子是cosx,sinx的线性组合，故有

12sinx cosx A(5sinx 2cosx) B(5sinx 2cosx)

(5A 2B)sinx (5B 2A)cosx, A 2,B 1.

于是

12sinx cosx2(5sinx 2cosx) (5sinx 2cosx)

dx 5sinx 2cosx 5sinx 2cosx

2x ln5sinx 2cosx c.

sinxdx

2

3 sinxsinxdxd(cosx)cosx tdt

解 222 3 sinx3 1 cosxt 411112 cosx [ ]dt ln c.4t 2t 242 cosxdxdx

例20．

1 2cos2x (1 2)cos2x

cos2x

例19．求

d(tanx)d(tanx)dt

3 tan2x 3 t2 22

cosx

1t1tanx c c.

333例21．

不定积分的典型例题

x tx 2

x x23

3

x 6x 9x 18x 18ln(1 x) c.2

tx 1

例22．

25 x

3 xx 1dx ln

5 x x 15 x

2 c.

x 15 x x 1

*例23．

x

dx x2

x sint

1

[arctanx lnx x2] c. 2t

2

*例24．

x2dx

x3

x tant

x21 x2 1

ln c, 2x22xt2

x

e tdx

例25． 2x

e 3ex 2

例26． arcsinxdx 例27．e例28．

分部积分

xarcsinx x2 c.

x

ex

ex x

dx e(e)dx e c.

ex

cos2xdxd(1 sinxcosx)

1 sinxcosx 1 sinxcosx

ln sinxcosx c(妙用“1”）

例29. (x2 x)ex(x 3x 1)exdx.

[(x2 x)ee] (x2 3x 1)e3

原式 (x2 x)exd[(x2 x)ex]

322x2

[(x x)e] c.3

例30.

不定积分的典型例题

1 11) c. 1) 1.

1 x2

2xx1 x2

例31

sin2x

a2cos2x b2sin2x1d(a2cos2x b2sin2x)

2

b a2 a2cos2x b2sin2x

22222

acosx bsinx c.22

b a

(a2cos2x b2sin2x) (b2 a2)sin2x.

例32.

1 lnx

1 lnx (x lnx)2 x lnx2()

x

1x lnx

()

2x()x

1x

c c.

x lnxx lnxx

例33.

11

d(x )2x 1 x4 1dx 21 12

x 2(x ) 2

xx

1

x 1 c arctan

2 2

2

1

x2 1 1

c.(x 0) arctan 2 2x 当x 0,利用原函数的连续性......

*例34．

(x

xdx

2

x sint2

1) x

122

ln

2 x22 x

2

c.

不定积分的典型例题

例35．

x3(1 x)

2

2

3

2

x tant

1 x2

x2 c.

例36． 例37

x ax4

2

dx

x asecta 0

1 x2 a2

2 x3a

c.

3

dx1 x2

x sint

costcost cos2t dt 2

1 cost1 cost1 x2

arcsinx c.

xx

例38．

()7 2 t

11

ln2 x7 lnx c.142

例39．

dxdx

33 123222

(1 x x)[(x ) ]

24

11

x 2t

dx

x(x7 2)

x

1t

t

(

1)dtt2

tdt2(2x 1)

c.3

3223 x x2(1 t)

4

例40．

x2exx2ex1x 2x2x

dx (xe)dx e c. (x 2)2 x 2x 2x 2例41．

dxx9dx1110

lnx ln(x 2) c. x(2 x10) x10(2 x10)220*例42．

(1 x7)dx(1 x7)x6dx2 lnx ln1 x7 c. x(1 x7) x7(2 x10)7例43．

不定积分的典型例题

x2n 1dxxn xn 111

(1 )d(xn)n xn 1 1 xn n1 x 1

(xn lnxn 1) c.n

2x3

1

例44．dx. (x 1)100

u2x 1113

dx (x 1)100

33(x 1)9949(x 1)98

3

x 1

1

不定积分的典型例题

x + sin x 例 51. ∫ dx = ∫ 1 + cos x

x x x + 2 sin cos 2 2 = 2 x 2 cos 2 x (分项分部积分) = x tan + c. 2

*例 52.求 ∫

f ′(ln x) f ′(ln x) dx = ∫ d (ln x) x f (ln x) f (ln x)

=∫

d ( f (ln x)) = 2 f (ln x) + c. f (ln x)

*例 53.求

∫ max(

x 3 , x 2 ,1 ) dx .

x3 , x ≥ 1 解 令 f ( x) = max( x 3 , x 2 ,1) = x 2 , x ≤ 1 1, x < 1

1 4 4 x + c1 , x ≥ 1 1 max( x 3 , x 2 ,1)dx = x 3 + c2 , x ≤ 1. ∫ 3 x + c3 , x < 1 利用原函数的连续性,有1 lim ( x 4 + c1 ) = lim ( x + c3 ); + x →1 4 x →1 1 lim+ ( x + c3 ) = lim ( x 3 + c2 ), x → 1 x → 1 3 3 2 + c, c2 = c, 4 3 1 4 3 4 x + 4 + c , x ≥1 1 2 故 ∫ max( x 3 , x 2 ,1)dx = x 3 + c , x ≤ 1. 3 3 x + c, x <1

从而解出 c3 = c, c1 =

315

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