哈尔滨师大附中度高三上学期期末考试数学试题（理科）

哈尔滨师大附中2007—2008学年度高三上学期期末考试

数学试题（理科）

一、选择题：（每小题5分，满分60分）

1．已知集合M?{x|ax2?1?0,x?R}是集合N?{y?N*||y?1|?1}的真子集，则实数a的取值个

数是

（ ）

A．0个

B．1个

C．3个

D．无数个 2．已知tan(???)?25,tan(???4)?14,则tan(???4)等于 （ ）

A．

2318 B．3 C．13D．32222

18 3．已知向量a?(?2,1),b?(?3,0),则a在b方向上的投影为 （ ）

A．?5

B．5

C．—2

D．2 4．若x?0,y?0,且x?4y?1,则1x?2y的最小值为

（ ）

A．9

B．82

C．9?42

D．42

5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，则S15：S5= （ ）

A．3：4

B．2：3

C．1：2

D．1：3

6．设直线m，n和平面?,?，对下列命题： （1）若?//?,m??,则m//?；

（2）若n??,m与n所成角的大小为?,则m与?所成角的大小也为?； （3）若???,m??,则m//?；

（4）若m,n为异面直线,且m,n??,则m,n在?上的射影为两条直交直线， 其中正确命题的个数为 （ ）

A．2个

B．1个

C．3个

D．4个

7．设函数f(x)?|log2x|,则f(x)在区间(m,2m?1)(m?0)上不是单调函数的充要条件是（

A．0?m?12 B．0?m?1

C．

12?m?1 D．m?1

8．设O在△ABC内部，且OA?OB?2OC?O，则△ABC的面积与△AOC的面积之比是（

A．3

B．4

C．5

D．6

） ）

9．把函数y?sin(x?小值为

A．

5?)的图象按向量a?(m,0)(m?0)平移所得的图象关于y轴对称，则m的最6 B．

（ ）

? 6? 3C．

2? 3D．

5? 610．已知数列{an}的前三项依次是—2，2，6，前n项的和Sn是n的二次函数，则a100等于（ ）

A．3900

B．392

C．394

D．396

11．函数f(x)的定义域为R，对任意实数x满足f(x?2)?f(4?x),且f(x?1)?f(x?3).当

1?x?2时,f(x)?x2,则f(x)的单调减区间为(以下k?Z)

A．[2k,2k?1]

B．[2k?1,2k]

C．[2k,2k?2]

?1 （ ）

D．[2k?2,2k]

12．设定义在R上的函数f(x)的反函数为f(x),且对任意的x?R,都有f(?x)?f(x)?3，则

D．2x—4

（ ）

f?1(x?1)?f?1(4?x)等于

二、填空题：（每小题5分，满分20分）

A．0

B．—2

C．2

13．若f(sinx)?2?cos2x,则f(cosx)= 。 14．已知f(x)?kx?61?4(k?R),f(lg2)?0,则f(lg)= 。 x215．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2?c2?a2?bc,且AC?AB?4，则△ABC

的面积等于 。

16．将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作 aij(i,j?N*)，

如第2行第4列的数是15，记作a24?15,则有序数对(a28,a84)是 。

1 4 5 16 17 36 ……

2 3 6 15 18 35 …… 9 8 7 14 19 34 …… 10 11 12 13 20 33 …… 25 24 23 22 21 32 …… 26 27 28 29 30 31 …… …… …… …… …… ……

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分） 17．（满分10分）

设向量a?(1?cos?,sin?),b?(1?cos?,sin?),c?(1,0),??(0,?),??(?,2?)，

a与c的夹角为?1,b与c的夹角为?2,且?1??2?

18．（满分12分）

已知a为实数，f(x)?(x2?4)(x?a).

?3,求sin???2的值。

（1）若f?(?1)?0,求f(x)在[—4，4]上的最大值和最小值； （2）若f(x)在???,?2?和?2,???上都是递增的，求a的取值范围。

19．（满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn,并且满足a1?2,nan?1?Sn?n(n?1). （1）求数列{an}的通项公式an；

{ （2）设Tn为数列

20．（满分12分）

an}的前n项和,求Tn. n2 如图，正方形ABCD中，AC?BD?O,PO?平面ABCD,PO?AD?3，点E在PD上，

PE：ED=2：1。

（1）证明：PD⊥平面EAC； （2）求二面角A—PD—C的余弦值；

（3）求点B到平面PDC的距离。

21．（满分12分）

已知二次函数f(x)?ax?bx?c的图像的顶点坐标是(,?),且f(3)?2. （1）求y?f(x)的表达式,并求出f(1),f(2)的值；

（2）数列{an},{bn}，若对任意的实数x都满足g(x)?f(x)?anx?bn?xn?1,n?N*，其中g(x)是

定义在实数集R上的一个函数，求数列{an},{bn}的通项公式；

（3）设圆Cn:(x?an)2?(y?bn)2?rn2,若圆Cn与圆Cn?1外切,{rn}是各项都是正数的等比数列，

设Sn是前n个圆的面积之和，求lim

22．（满分12分）

已知数列{an}满足a1?5,a2?5,an?1?an?6an?1(n?2且n?N*) （1）求出所有使数列{an?1??an}成等比数列的?值，并说明理由； （2）求数列{an}的通项公式； （3）求证：

23214Sn.

n??r2n1111?????(n?N*). a1a2an2哈尔滨师大附中2007—2008学年度高三上学期期末考试

数学试题（理科）参考答案

一、选择题

1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．B 9．B 10．C 11．A 12．A 二、填空题

13．2?cos2x 14．—8 15．43 16．（63，53） 三、解答题

17．a?2cos?22222????????????1,?1??2?,??,?sin?? c?(1,0),?1?,?2?22326221218．（1）f?(x)?3x?2ax?4,f?(?1)?2a?1?0?a?,?f?(x)?(3x?4)(x?1)

2444x (—∞,－1) —1 (?1,) (,4) 333(cos?2,sin?)b?2sin?(cos???,sin???)

f?(x) f(x) + 增 0 极大 — 减 0 极小 + 增 9450,f极小(x)?f()??,f(?4)??54,f(4)?42 2327fmin(x)?f(?4)??54,fmax(x)?f(4)?42f极大(x)?f(?1)? （2）f?(x)?0对一切x????,?2?及?2,???均成立，

?f?(?2)?0?f?(2)?0?? ?或??0a?2??2?3?????0即?2?a?2

19．（1）nan?1?(n?1)an?an?2n, a1?2,a2?s1?2,?a2?a1?2, （2）

an?1?an?2(n?2) 所以{an}等差an?2n

an2nn23n??,T?1????? n2222n2n2n?12n?1112n?1nTn??2???n?1?n22222

11n?2Tn?2?(n?2)n,Tn?4?n?122220．（1）

AC?PD???PD?平面EAC

CE?PD?1 5 （2）∠CEA为二面角A—PD—C的平面角，cos?CEA?? （3）点B到平面PDC的距离为21．（1）f(x)?a(x?)?215 53221 4

31因为f(3)?2,所以a(3?)2??2?a?124

321?f(x)?(x?)??x2?3x?2?f(1)?0,f(2)?024 （2）令x?1?an?bn?1?0,x?2?2an?bn?2n?1?0,

n?1??an?1?2则? n?1??bn?2?2 （3）(an?1?an)2?(bn?1?bn)2?(2n?2?2n?1)2?(2n?2?2n?1)2?22n?3 ?rn?1?rn?22n?32,rn?2?rn?1?22n?52,?q?2,?Sn??rn2

?Sn??(r12?r22???rn2)??r12[1?q2?q4???q2(n?1)]Sn1?q2???q2(n?1)14????? ?lim2?lim??2(n?1)n??rn??13qn1?422．（1）an?1??an?(1??)[an? （2）an?3n?(?2)n （3）当n?2k时，

66an?1],????2???6?0,???3或2 1??1??证明1an?1?113?2k?1??2k?12k2kan3?23?232k314?2k?32k3?22k32k??2232k?242??2k31334k?24k?22k32k22732k732k792k72k2k ?2(3?62)?0(??()???1)2k21221242?6?2111444491当n?2k时,??????????k???a1a2an98198294?32k?当n?2k?1时,111111?????????a1a2ana1an?12

31因为f(3)?2,所以a(3?)2??2?a?124

321?f(x)?(x?)??x2?3x?2?f(1)?0,f(2)?024 （2）令x?1?an?bn?1?0,x?2?2an?bn?2n?1?0,

n?1??an?1?2则? n?1??bn?2?2 （3）(an?1?an)2?(bn?1?bn)2?(2n?2?2n?1)2?(2n?2?2n?1)2?22n?3 ?rn?1?rn?22n?32,rn?2?rn?1?22n?52,?q?2,?Sn??rn2

?Sn??(r12?r22???rn2)??r12[1?q2?q4???q2(n?1)]Sn1?q2???q2(n?1)14????? ?lim2?lim??2(n?1)n??rn??13qn1?422．（1）an?1??an?(1??)[an? （2）an?3n?(?2)n （3）当n?2k时，

66an?1],????2???6?0,???3或2 1??1??证明1an?1?113?2k?1??2k?12k2kan3?23?232k314?2k?32k3?22k32k??2232k?242??2k31334k?24k?22k32k22732k732k792k72k2k ?2(3?62)?0(??()???1)2k21221242?6?2111444491当n?2k时,??????????k???a1a2an98198294?32k?当n?2k?1时,111111?????????a1a2ana1an?12

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