北京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程

北京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设F为抛物线y??12x的焦点，与抛物线相切于点P（-4，-4）的直线l与x轴的交点为Q，4则?PQF等于( ) A．30° 【答案】D

B．45°

C．60°

D．90°

x2y22．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，

ab??????????????则双曲线的离心率e为( ) F1F2在F1P上的投影的大小恰好为|F1P|且它们的夹角为，6A．

2?1 2B．3?1 2C．3?1

D．2?1

【答案】C

y2?1长轴的端点，3．若双曲线的顶点为椭圆x?且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，22则双曲线的方程是( ) A．x2?y2?1

B．y2?x2?1

C．x2?y2?2

D．y2?x2?2

【答案】D

4．在抛物线y?x2?ax?5(a?0)上取横坐标为x1??4，x2?2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2?5y2?36相切，则抛物线顶点的坐标为( )

A．(?2,?9) 【答案】A 5．抛物线

B．(0,?5)

C．(2,?9)

D．(1,?6)

y?2x2的准线方程是( )

1 2B． y??A．x??【答案】D

1 2C． x??1 8D．y??1 86．椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为( )

x2y2A． +=1

1612x2y2C． +=1

84【答案】C

x2y2B． +=1

128x2y2D． +=1

124

x2y21?57．双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率e?，点A与F分别是双曲线的左顶点和

2ab右焦点，B（0，b），则∠ABF等于( )

A．45° B．60° 【答案】C

2C．90° D．120°

8．方程x=1?(y?1)所表示的曲线是( )

A．四分之一圆 C．半个圆 【答案】C

9．如图，过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F的直线l交抛物线于点A．B，交其准线于点C，若BC?2BF，且AF?3，则此抛物线的方程为( )

B．两个圆 D．两个半圆

3x 29C．y2?x

2【答案】B

A．y2?10．抛物线

B．y2?3x D．y2?9x

y2??4x 的准线方程是( )

B．y??1

C．x?1

D．x??1

A．y?1 【答案】C

11．已知P是抛物线值为( ) A． 5 【答案】A

y2?4x上一动点，F是抛物线的焦点，定点A(4,1)，则|PA|+|PF|的最小

B． 2 C．

17

D．

10

12．动点在圆x＋y=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是( )

A．（x＋3)＋y=4

2

2

22

B．（x－3)＋y=1

22

322221C．（2x－3)＋4y=1 D．（x＋ )＋y=

22【答案】C

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

x2y213．设F1，F2分别是以曲线2?2?1的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使?F1AF2?90?，

ab且|AF1|?3|AF2|，则双曲线离心率= 。

10 22【答案】

14．若直线y?kx?1与双曲线x?y2?4始终有公共点，则k取值范围是 。

【答案】?1,?5 22215．已知双曲线C:x?y?1(a?0,b?0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的

a2b2交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为____________．

【答案】

2?1

16．抛物线C的顶点在原点，对称轴为y轴，若过点M(0,1)任作一条直线交抛物线C于A(x1，

y1)，B(x2,y2)，且x1x2=-2，则抛物线C的方程为____________。

2

【答案】x=2y

三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

x2y21C:2?2?1ab17．已知椭圆经过点（0，3），离心率为2，直线l经过椭圆C的右焦点F

交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E. (Ⅰ）求椭圆C的方程；

??????????????????? A?A?FMB,BF??(Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且M，当直线l的倾斜角变化时，探求

的值是否为定值？若是，求出

???的值，否则，说明理由；

(Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

【答案】 (Ⅰ)依题意得b=3，e?c1222?，a?b?c，∴ a=2，c=1， a2x2y2 ∴ 椭圆C的方程??1.

43(Ⅱ)因直线l与y轴相交，故斜率存在，设直线l方程为：y?k(x?1)，求得l与y轴交于M(0，-k)，又F坐标为 (1，0)，设l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)，

?y?k(x?1),2222由? 消去y得(3?4k)x?8kx?4k?12?0， ?x2y2?1,???438k24k2?12， ?x1?x2?,x1?x2?223?4k3?4k又由 MA??AF, ∴(x1,y1?k)??(1?x1,?y1)，

???x1x,同理???2， 1?x11?x2x1xx?x?2x1?x2， ?2?121?x11?x21?(x1?x2)?x1?x2?????88k2/(3?4k2)?2(4k2?12)/(3?4k2)?? ?222231?8k/(3?4k)?(4k?12)/(3?4k)8. 3(Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于

所以当直线l的倾斜角变化时，???的值为定值?FK的中点N??5??5,0?，猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N?,0??，

?2??2?证明：由（Ⅱ）知A(x1,y1),B(x2,y2)，?D(4,y1),E(4,y2)， 当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点N??5?,0?, ?2??lAE:y?y2?y2?y1?(x?4)，

4?x1当x?5y?y1?3?2(4?x1)?y2?3(y2?y1)时，y?y2?2 ?????24?x1?2?2(4?x1)?2(4?x1)?k(x2?1)?3k(x2?x1)?8k?2kx1x2?5k(x1?x2) ?2(4?x1)2(4?x1)?8k(3?4k2)?2k(4k2?12)?5k?8k2??0. 22(4?x1)?(3?4k)∴点N??5??5?,0?在直线lAE上，同理可证，点N?,0?也在直线lBD上； ?2??2?∴当m变化时，AE与BD相交于定点??5?,0?， ?2?，

18． 已知双曲线

．

(1）求双曲线的方程；

的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，

(2）设Q是双曲线上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若l的斜率．

【答案】（1）由条件知

， ，

，求直线

，

∴，代入中得，

∴，．故双曲线的方程为，∴可设直线l的方程为，即

．设

．

，

得

(2）∵点F的坐标为令

，得

，则由

，即，即

∵，∴，得，．

故直线l的斜率为．

（

）与曲线

交于不

x2y2119．已知椭圆2?=1 (a?3）的离心率e?. 直线

2a3同的两点M,N,以线段MN为直径作圆

⑴求椭圆的方程； ⑵若圆与,圆心为

． ，且的面积为轴相交于不同的两点的标准方程.

5，求圆2

【答案】（1）∵椭圆的离心率

.

∴ 椭圆

的方程为

, ∴ . 解得

．

．

(2）依题意，圆心为

由∵ 圆

∴

与，即

得. ∴ 圆的半径为

到

轴的距离

． ，

轴相交于不同的两点

． ∴ 弦长

，且圆心

． ∴

.

∴ 圆

的标准方程为

的面积

．

2A(a,0)y?x?1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点． x20．过轴上动点引抛物线

(1）若切线AP，(2）求证：直线

AQ的斜率分别为k1和k2，求证： k1?k2为定值，并求出定值；

PQ恒过定点，并求出定点坐标；

????????S?APQ?最小时，求AQ?AP的值． (3）当???|PQ|

【答案】（1）y'?2x，lAP:y?2xp(x?a)， 即yp同理

?2xp(xp?a)，即yp?2xpa?2，

yQ?2xQa?2，所以lQP:y?2xa?2。联立PQ的直线方程和抛物线方程可得：

x2?2xa?1?0，所以xpxQ??1,xp?xQ?2a，所以k1?k2?2xp?2xQ??4

(2）因为lQP:y?2xa?2，所以直线PQ恒过定点(0,2)

(3）S?APQS?APQd2a2?2a2?1d2????PQ?，所以???，设t?4a?1?1，所?2|PQ|224a2?14a2?1S?APQt2?323??以???，当且仅当t?3取等号，即a??。 ?24t2|PQ|????????2

因为AQ?AP?(xp?a,yp)?(xQ?a,yQ)?xpxQ?a(xp?xQ)?a?ypyQ因为

ypyQ?(2xpa?2)(2xQa?2)?4a2xpxQ?4?4a(xp?xQ)?4a2?4

????????92所以AQ?AP?3a?3?2S

21．双曲线C的中心在原点，右焦点为F?(Ⅰ）求双曲线C的方程；

(Ⅱ）设直线l：y?kx?1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB 为直径的圆过原点。

【答案】（Ⅰ）易知 双曲线的方程是3x2?23???3,0?，渐近线方程为 y??3x. ???y2?1.

得

(Ⅱ）① 由?2?y?kx?1,?3x?y?1,22?3?k?x22?2kx?2?0，

由??0,且3?k设A?0，得?6?k?6,且 k??3.

?x1,y1?、B?x2,y2?，因为以AB为直径的圆过原点，所以OA?OB，所以

?2k2xx?，， 12k2?3k2?3x1x2?y1y2?0.

又x1?x2?所以 所以

y1y2?(kx1?1)(kx2?1)?k2x1x2?k(x1?x2)?1?1，

2?1?0，解得k??1. 2k?3，经过点（3，—2）与向量（—1，1）平行的直线l

22．已知椭圆

交椭圆C于A，B两点，交x轴于M点，又(I）求椭圆C长轴长的取值范围；

(II）若，求椭圆C的方程.

【答案】（I）设直线l与椭圆C交于由

点.

将 ①

由韦达定理，知

得

对方程①由

④

⑤

将④代入⑤，得意又由

及④，得

因此所求椭圆长轴长的取值范围是 (II）由（I）中②③得，

⑥

联立④⑥，解得

∴椭圆C的方程为

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