专题1.4 追及与相遇问题

1 专题1.4 追及与相遇问题

追及和相遇是一类常见的运动学问题。解答此类问题的关键条件是：两物体能否在同一时刻到达同一位置。可见，相遇的物体必然存在以下两个关系。一是相遇位置与各物体初始位置之间存在一定的位移关系；二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系。因此要抓住题目中的研究对象，看其是否同时同地出发。

方法提炼

一、解决追及与相遇问题的三个关系

1. 位移关系：根据两物体的初始运动的位移，画出运动示意图，简称位移关系。

2. 时间关系：根据两物体初始运动的时间差，建立时间关系。

3. 速度关系：在追及问题中，如果二者存在速度相等的时刻，一定要注意速度相等这个临界条件。 在后面物体没有追上前面物体的情况下，当后面物体比前面物体运动快时，两物体距离减小，速度相等时距离最小；当后面物体比前面物体运动慢时，两物体距离增大，速度相等时距离最大。

所以当两者速度相等时，两物体相距最近或最远。

这是列关系式的切入点，也是判断是否能追上的依据。

二、解决追及与相遇问题的常用方法

1. 物理分析法：抓住时间关系，建立位移关系式。注意速度相等这个临界条件。

2. 数学函数法：根据位移关系列方程，根据方程的解判断能否相遇或相遇几次，求出相应的物理量。

3. 图像法：利用v-t 图像的“面积”，分析位移关系。

三、追及与相遇问题的常见分类

1. 速度小者追速度大者

相关结论：

如图1.4-1三幅图所示，设x 0为开始时两物体间的距离，则应有下面的结论：

（1） t =t 0以前，后面物体的速度小于前面物体的速度，与前面物体的距离增大。

（2） t =t 0时，二者速度相等，两物体相距最远，为x 0+?x

（3） t =t 0以后，后面物体的速度大于前面物体的速度，与前面物体的距离减小。

（4） t 0后一定能追及且只能相遇一次

2. 速度大者追速度小者

匀加速追匀速 匀速追匀减速 匀加速追匀减速

图1.4-1 匀减速追匀速 匀速追匀加速 匀减速追匀加速 图1.4-2

相关结论：

如图1.4-2三幅图所示，设x0为开始时两物体间的距离，开始追及时后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻应有下面的结论：

（1）若?x=x0，则恰能追及，两物体只能相遇一次，且是在速度相等的时候相遇；

（2）若?x

（3）若?x>x0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2=2t0?t1时刻两物体第二次相遇。

试题调研

调研1 两物体不存在速度相等的时刻

【例1】两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0.若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停车时，后车以前车的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行驶的距离为x，若要保证两辆车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时应保持的距离至少为（）

A. x

B.2x

C.3x

D.4x

调研2 速度小者追速度大者

【例2】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a=3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v0=6m／s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车，试问：

（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多大？

（2）当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？

【解析】运动示意图：

方法一：分析法

图1.4-3

方法二：图像法

方法三：函数法

调研3 速度大者追速度小者

1.匀减速追匀加速。

【例3】在水平轨道上两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0.、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车速度方向相同。两车可视为质点，要使两车不相撞，求A车的初速度v0.应满足的条件。

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解题总结

1.针对匀减速追匀加速这类问题，速度大者A减速追速度小者B:在速度相等之前v A>v B,二者之间距离越来越小：后来v A

2.针对匀减速追匀加速这类问题，数学函数法可确定相遇次数：根据位移关系列方程，由二次方程的判别式判断是一个解、两个解还是无解，确定相遇次数。若Δ>0，即方程有两个解,说明可以相遇两次；若Δ=0，即方程有一个解。说明刚好追上或相遇；若Δ<0，即方程无解，说明追不上。

2.匀减速追匀速

【例4】甲火车以速率v1向前行驶，司机突然发现正前方同一轨道上相距s0处另有一辆火车乙，它正沿相同方向以较小速率v2做匀速运动，于是它立即使火车甲以a的加速度做匀减速运动，要使两车不相撞，a应满足什么条件？

调研4 二次相遇模型

【例5】（多选）甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v-t图像如图1.4-4所示。已知两车在t=3s时，并排行驶，则（）

A．在t=1s时，甲车在乙车后

B．在t=0时，甲车在车前7.5m

C．两车另一次并排行驶时刻是t=2s

D．甲、乙两次并排行驶的位置相距40m

图1.4-4

调研5 前面物体做匀减速运动

【例6】如图1.4-5所示，A、B两物体在同一直线上运动，当他们相距7m时，A在水平拉力和摩擦力作用下，正以4m/s的速度做匀速直线运动，而物体B此时速度为10m/s，方向向右，他在摩擦力作用下做匀减速运动，加速度大小为2m/s2。那么物体A追上物体B所用的时间为（）

A.7s

B. 8s

C. 9s

D. 10s

图1.4-5

调研6 其他复杂情况

【例7】甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为16m/s。遇到情况后，甲车紧急刹车，乙车司机看到甲车刹车后也采取紧急刹车．已知甲车紧急刹车时加速度a1=3m/s2，乙车紧急刹车时加速度a2=4m/s2，乙车司机的反应时间是Δt=0.5s（即乙车司机看到甲车刹车后0.5s才开始刹车）。为保证两车紧急刹车过程不相碰，甲、乙两车行驶过程至少应保持多大距离？

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