2004年温州中学数学试验班招生数学试卷（B卷）（含答案）

2004年温州中学数学试验班招生数学试卷（B卷）

说明:

1、试卷满分120分;考试时间：2小时.

2、试卷共三大题，计18道题。考试结束后，将本卷及演算的草稿纸一并上交。

一、选择题（共6小题，每题4分，共24分）

1、设a，b为两个不相等的实数，且满足a?5a?b?5b?2，则ab?ab的值是（ ） A、－42 B、42 C、－58 D、58

2、圆周上共有10个等分点，以其中三点为顶点的直角三角形的个数为??????（ ） A、20 B、40 C、60 D、80

3、如图1，已知⊙O的半径是R，C、D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为?，弧BD的度数为?－600，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为????????（ ） A、2R B、3R C、R D、2R

4、已知实数a，b，c满足4a2?2ab?ac?0,则关于x的方程

APOCDB2233ax2+bx+c=0?????????????????????（ ） A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 图1 C、没有实数根 D、不能确定 5、用六根火柴棒搭成4个正三角形（如图2），现有一只虫子从点A出发爬行了4根不同的火柴棒后，回到了A点，则不同的爬行路径共有???????????????（ ） A、4条 B、5条 C、6条 D、7条 6、如果

7q8??，p,q是正整数，则p的最小值是 8p9AA、15 B、17 C、72 D、144

二、填空题：（共6小题，每题4分，共24分）

27、记x??1?2?1?2???1?24?????1?21024?，则x? BC1?，AD3DC图2

B8、如果一个凸多边形有且仅有三个内角是钝角，那么这种多边形的边数可能是

9、如图3，直角梯形ABCD中，∠BAD=900，AC⊥BD，则

AC? BDABCEADG图4

图3

DBFC

(１)

10、如图4，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF=4，ED=6，GC=8，则三角形ABC的周长是 sin?cos?cos2?sin2?1411、设x，y是大于零的实数,且 ?，2??222xyxyx?y则

xy?? yx5x?15的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，O为坐标原点，则在△OAB412、一次函数y?内部（包括边界），纵坐标、横坐标都是整数的点的个数是

三、解答题（共6题，共72分）

13、（本题满分8分）

两块农田之间有一条曲折的水沟（如图5）,今要把水沟的两岸变成直线，而每块农田的面积不变。如果P、M保持不变，水沟应如何配置。请你在图5中画出新水沟的两岸所在的直线（保留作图痕迹），并说明理由。

EPANBQLRCMD图5

(２)

14、（本题满分12分）

已知二次函数y?x2?mx?n2

m，n?4两数中较大的为P，试求P的最小值。 2（1）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记

（2）若m，n变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标。

(３)

15、（本题满分12分）

如图6，O是Rt△ABC斜边AB的中点,CH⊥AB于H,延长CH至D,使得CH=DH,F为CO上任意一点,BE交AF于E,且有∠CAF=∠CDE，连结DE交BC于G。 （1）求证：BE⊥AF； （2）求证：CF=GF。

图6

(４)

16、（本题满分14分）

如果一个数能表示成x2?4xy?5y2（x,y是整数），我们称这个数为“好数”。 （1）判断40是否为“好数”？

（2）写出1，2，3，?，20中的“好数”。 （3）如果m,n都是“好数”，求证：mn是“好数”。

(５)

17、（本题满分14分）

定义下列操作规则：

规则A：相邻两数a、b，顺序颠倒为b、a，称为一次“变换”。（如一行数1、2、3、4要变为3、1、2、4，可以这样操作：1、2、3、4?1、3、2、4?3、1、2、4。）

规则B：相邻三数a、b、c，顺序颠倒为c、b、a，称为一次“变换”。

规则C：相邻四数a、b、c、d，顺序颠倒为d、c、b、a，称为一次“变换”。 现按照顺序排列着1、2、3、5、6、7、8、9，目标是：经过若干次“变换”，将这一行数变为9、1、2、3、4、5、6、7、8。 问：（1）只用规则A操作，目标能否实现？

（2）只用规则B操作，目标能否实现？ （3）只用规则C操作，目标能否实现？

(６)

18、（本题满分12分）

如图7，⊙O的弦AC、BD交于点Q，AP、CP是⊙O的切线，PA?PB?PD。求证：

（1）O、D、P、B四点共圆。 （2）O、Q、P三点共线。

ADOQBP2C图7

(７)

2004年温州中学数学实验班招生考试数学（B）试卷 （参考答案及评分标准）

一、选择题：（每小题4分，共24分） 1~6.CBBACB

二、填空题：（每小题4分，共24分） 7、22048-1， 8、4或5或6， 9、三、解答题（共6题，共72分）

13、（本题满分8分）

解答：

连接ML，过N作NS∥ML交BC于S，连接NS、MS，则S?MNL?S?MSL（6分）

类似前面的步骤，作出RT（8分）

3 10、60 11、4 12、106 3

14、（本题满分12分） [解答]：

（1）图象与坐标轴有三个不同的交点,可设交点坐标为A(x1,0),B(x2,0),C(0,?n2)。又x1x2??n2,若n?0,则与三个交点不符，?x1x2??n2?0,?x1,x2分在原点左右两侧。（3分）又?x1x2?n2?1，?存在点P0(0,1)使得OA?OB?OP0?OC，所以A,B,C,P0四点共圆,?这些抛物线必过定点P（0，1）（6分）0 （2）由过点（1，1）得到：m?n

2要比较m2，n?4大小，即：P1?（n2?2n?8）21?（n?4）(n?2)2mn2?（n?4）??（n?4）22

on (８)

?n2? （n??2或n?4）（9分） ?P??2?n?4 （?2?n?4)?如图所示，当n??2时?Pmin?2（12分） 15、（本题满分12分） [解答]：

（1）证明：连结BD，

??CAE=?CDE?A，B，D，E四点共圆且AB是此圆直径。0??BEA??ACB?90（4分）图6

又?CH?AB，CH=DH，?D在此圆上，?A，B，C，D，E五点共圆

还可以证明：?AOF??DBG，?ACF??DCG ACAOFOAOACCFCFFOCFCG??，?，??????GF?BO（10分） CDBDBGBDCDCGCGGBFOGB

?O是AB中点?CF?GF（12分） 16、（本题满分14分）

（2）?CDB??CAO，?BCD??ACO，??AOC??DCB（6分）解答：x?4xy?5y?(x?2y)?y

（1）40?(10?2?2)?2，40是“好数”。（4分）

（2）1，2，3，?，20中的“好数”有1，2，4，5，8，9，10，13，16，17，18，20。（8分） （3）设m?(x1?2y1)2?y12,n?(x2?2y2)2?y22，x1,y1,x2,y2是整数。

222222mn?(x1?2y1)2(x2?2y2)2?(x1?2y1)2y22?y12(x2?2y2)2?y12y22??(x1?2y1)(x2?2y2)?y1y2???(x1?2y1)y2?y1(x2?2y2)?且mn?x?4xy?5y，所以mn是“好数”。（14分） 17、（本题满分14分） 解答：（1）能，实行如下操作：

2222

令y?(x1?2y1)2y2?y1(x2?2y2),x?(x1?2y1)(x2?2y2)?y1y2?y，则x,y是整数，

1、2、?、7、8、9?1、2、?、7、9、8?1、2、?、9、7、8???1、9、2、3、?、7、8?9、1、2、?、7、8（4分）

（2）不能，从左到右，把数所占的位置编上号，按照规则B，若数m在k号位置，一次变换后可能是k?2、k、k?2号位置，所以操作过程中数m所占位置的奇偶性不会改变。而1、2、3、?、8、9中1在1号位，目标9、1、2、?、7、8中1是2号位，这不可能。（8分） （3）能，通过如下操作（记为“*操作”）：

a、b、c、d、e?d、c、b、a、e?d、e、a、b、c?b、a、e、d、c

?b、c、d、e、a?e、d、c、b、a?e、a、b、c、d

(９)

可以将一个数往前提4个位置，而其他各数的顺序不变。(12分) 将5、6、7、8、9通过“*操作”，可以变为9、5、6、7、8，再对1、2、3、4、9施行“*操作”，变为9、1、2、3、4、5、6、7、8。（14分） 18、（本题满分12分）

证明：设DP交⊙O于E,连接OA、OB、OD、OE，设⊙O的半径为R。

?PA2?PB?PD?PB?PE（2分）

??DPO??BPO，?OBP??OEP，可证?ODP??OBP??，?P、D、O、B四点共圆。（6分）

?ODP??OEP??2，

R（8分）。 ?DS?SB?(R?OS)?(R?OS)?R2?OS2?OS?SP，?OS?OP?R2，?Q、S、T三点

重合，O、P、Q三点共线。（12分）

P设DB交OP于S，AC交OP于T，可证OT?O?ADOQBEPC (１０)

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