计算方法与实习 第四版 (孙志忠 著) 东南大学出版社 课后答案

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/2009-10-15

m

o

c.

w计算方法习题解答

adh

k1

.绪论P15

1.指出下列各数有几位有效数字：x1=4.8675,

x2=4.08675,x3=0.08675,

ox5=96×105,x6=0.00096

c答：5,6,4,6,2,

2.

2.将下列各数舍入至5位有效数字：

网

.x1=3.25894,x2=3答

.25896,

案

wx3=4.382000,

答：3.2589,3.2590,4.3820后

,0.

00078925.3.若近似数x具有n位有效数字，且表示为

课

a

x=±(a1+da2×10 1+···+an×10 (n 1))×10m,

证明其相对误差限为

h

εr≤

1

×10 (n 1)2a,1

并指出近似数x1=86.734,x2=0.0489的相对误差限分别是多少。

答：x有n位有效数字，kx=±a1.a2a3···an×10m,ε≤1×10

(n 1),.

∴εεr=

x|≤ε1

a=×10 (n 1)|.12a1

wx1=86.734,n=5,a1=8,

ε1

r≤×10 416;x2=0.0489,n=3,a1=4,

ε1

r≤

×10 2

8.4.求下列各近似数的误差限（其中x1,x2,x3均为第1题所给出的数）：

d

1

h

k.

ww

wm

x4=96.4730,

x4=0.000789247.a1=0,

m

oc

.w

wwwww

a

1)x1+x2+x3;

co

m

2)x1x2;

13)x1/x2.

×10 5+

1 5+x1×10 4=2.28675×10 4.2).|e(x1x2)|≈|x1e(x2)+x2e(x1)|≤x112×1011

3).|e(x2)|≈|2e(x1)

x1

e(x2)|2

daw.

e,

e

r=,

答：1).|e(x1+x2+x3)|≤

1

×10 4+×10 5=6×10 5.

≤

112×10 4+

x112

×10 5=1.3692×10 5

.

ww

w.kh

5.证明

答：er=

2ee1r=.r er=r =r =r xe+x1+r1+r

········

·

7.设y0=28,按递推公式

答

课

√

计算到y100,若取≈27.982(5位有效数字)，试问计算到y100将有多大误差？

√

答：设x =x=27.982,x =x+e.

w.

y|=e≤n=100时，|ynn

kh

1

2 y∴ynn=yn 1 yn 1 10e 2=yn 2 yn 2 2×10e=···

y n×10 2e=y0

=28).= 10 2ne,(y0=y0

y|→∞,计算过程不稳定。注：此题中，|ynn

ww

8.序列{yn}满足递推关系

yn=5yn 1 2,

n=1,2,···

2

ww

w.

khd

aw

.c

om

×10 3.

da

1√

,yn=yn 1 100

案

网后

6.机器数–略。

2 =y ynn 1 10(x+e),

yn=yn 1 10 2x,

n=1,2,···

e2rr

r er==.

1+r1 er

daw.

y|=510e≤n=10时，|ynn0

co

1

√

若y0=≈1.73(3位有效数字),计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

√ y≤1×10 2,答：设y0=y0=1.73,e0=y00 =5y ynn 1 2,

yn=5yn 1 2,

n nyn yn=5(yn 1 yn 1)=···=5(y0 y0)=5e0→∞.

www.kh

m

In=

01

×10 2×510,

该过程不稳定。

xn

dx

10+x9.推导出求积分

的递推公式，并分析这个计算过程是否稳定；若不稳定，试构造一个稳定的递推公式。

1

答：与例题类似，In= 10In 2+

，略。

10.设f(x)=8x5 0.4x4+4x3 9x+1,用秦九韶法求f(3)。答：1993.

6.

w.

kh

3

da

ww

课

后

答

n=0,1,2,···,10

案

网

www.kh

31.证明方程1 x sinx=0在[0,1]中有且只有一个根。使用二分法求误差不大于1×10的根需要迭代

多少次？（不必求根）

答：设f(x)=1 x sinx,f(0)=1>0,f(1)= sin1<0,f (x)= 1 cosx<0,f(x)单调减，∴f(x)在[0,1]有且仅有一根。

daw.

本章重点：

用简单迭代法和牛顿迭代法求给定方程的根，并用有关定理判断所用迭代格式的收敛性。

co

后

2方程求根P47

m

|xk x |=

2

(1 0)≤1

设二分k次，取xk≈x ,

k≥9.965,所以要二分10

次。

2.用二分法求方程2e x sinx=0在区间[0,1]内的根，精确到3位有效数字。

x答：设f(x)=2e x sinx,f(0)>0,f(1)=2 sin1<0,f(x)= 2e cosx<0,所以f(x)在[0,1]内

有且仅有一根。

3.用简单迭代法求下列方程的根，并验证收敛性条件，精确至4位有效数字。1)x3 x 1=0;2)ex 4x=0;答：以2)为例.

答

案

设f(x)=ex 4x,则f (x)=ex 4,f (x)=0的根为ln4。当x<ln4时，f (x)<0;当x>ln4时，f (x)>0。

f(0)=1,f(1)<0,f(ln4)=4 4ln4<0,f(2)<0,f(3)>0,方程f(x)=0存在两个根：

x 1∈[0,1],x2∈[2,3].

w.

–求根x 1:

将方程f(x)=0在区间[0,1]改写成同解方程

1

x=ex,x∈[0,1]

41

xk+1=exk,k=0,1,2,···

4

1

(x)=ex>0.

44

kh

da

课

网

设二分k次，同上题计算，需二分10次。计算机计算略,x ≈0.921

。

ww

构造迭代格式

1x

记 (x)=e，则

ww

w.

kh

d

aw

.c

om

1

×10 3,2

3)4 x=tanx,x∈[3,4];4)ex 3x2=0.

当x∈[0,1]时，

所以此迭代格式对任意的x0∈[0,1]均收敛。取x0=0.5,迭代得到

kxk

10.412180

20.377523

30.364667

40.360009

50.358336

60.357737

70.357522

80.357446

90.357418

www.kh

daw.

12.30259

22.22033

co

后课

3

2.18395

m

11

(x)∈[ (0), (1)]=[,e] [0,1],

44e

| (x)|≤<1,

4

所以x 1≈0.3574。–求根x 2:

将方程f(x)=0在区间[2,3]改写为同解方程

x=ln(4x),x∈[2,3],

构造迭代格式

xk+1=ln(4xk),k=0,1,2,···

记 =ln(4x),则

所以此迭代格式对x0∈[2,3]均收敛。取x0=2.5,迭代得到

kxk

kh

da

1

| (x)|≤,

2

42.16743

52.15984

答

当x∈[2,3]时，

(x)∈[ (2), (3)]=[ln8,ln12] [2,3],

案

(x)=

1

>0.x

62.15933

72.15609

82.15459

92.15389

102.15357

网

112.1534

所以x 2≈2.153。

6.求方程x3 x2 1=0在x0=1.5附近的根，将其改写为如下4种不同的等价形式，构造相应的迭代格式，试分析它们的收敛性。选一种收敛速度最快的迭代格式求方程的根，精确至4位有效数字。1)x=1+2)x=

√3

1

;w.

3)x=4)x=

√

ww

1.

注：如果已知根的一个比较好的近似值x0,即已知根x 在某点x0附近，则当| (x0)|<1时迭代法局部收敛，当| (x0)|>1时不收敛。

5

ww

w.

khd

aw

.c

om

在收敛的情况下，| (x0)|越小收敛越快。分别计算| (1.5)|,得到0.5926,0.4558,2.120,1.414，前两种迭代格式收敛，且第二种收敛最快。

答：2).迭代格式xk+1=31+x2k,k=0,1,2···,x0=1.5.

√

记 (x)=3则

21

(x)=(1+x2) ·2x,

3计算得

www.kh

daw.

课

co

后

m

答

所以迭代格式是局部收敛的。

8.设 (x)=x+c(x2 3)。应如何选取c，才能使迭代格式xk+1= (xk)具有局部收敛性？

牛顿迭代公式为

w.

令m=5,a=235.4,则牛顿迭代公式为

kh

xk+1=xk

kxk

1

f (m)=mxm 1,f (x)=m(m 1)xm 2,

1a1 mf(xk)

,k=0,1,2,···=(1 )x+xk

f(xk)mmk

取x0=3,计算得

ww

22.98100

32.98100

6

ww

w.

kh

d

aw

2.98123

.c

om

4235.4 4

xk+1=xk+xk,k=0,1,2,···

55

da

√√

9.写出用牛顿迭代法求方程xm a=0的根ma>0），并计算54位有效数字）。分析在什么范围内取值x0，就可保证牛顿法收敛。

√

答：记f(x)=xm a,x =m计算得

案

答：如果迭代格式xk+1= (xk)=xk+c(x2k 3),k=0,1,2,···是局部收敛的，设迭代序列的极限值为x ，则有

x =x +c(x 2 3),

√√

x =或x = (x)=1+2cx.

√√1

当| (|<1,即 <c<0时，则迭代格式局部收敛，收敛于√

√1 当| ( |<1,即0<c<时，则迭代格式局部收敛，收敛于

2×1.5

| (1.5)|==0.4558,

33网

收敛性分析:m=1时，牛顿迭代序列为常序列a，显然收敛。

√f(ε)

m≥2时,对任意正数ε(0<εn),令M(ε)= ,则

www.kh

考虑区间[ε,M(ε)],验证牛顿法大范围收敛定理中的4个条件。

(2).当x∈[ε,M]时，f (x)=mxm 1>0.

f(ε)(3).当x∈[ε,M]时，f (x)=m(m 1)xm 2>0.(4).ε

=M,

f(M)f(M) f(x )f (ξ)M =M =M (M x ),ξ∈(x ,M)f(M)f(M)f(M)

M

综上，牛顿法大范围收敛的4个条件均满足，所以对任意x0∈[ε,M(ε)],牛顿法均收敛。

11.用割线法求方程x3 2x 5=0在x0=2附近的根，取x0=2,x1=2.2,计算到4位有效数字。

kh

答：记f(x)=x3 2x 5,则f(x)=(x2 2)x 5,割线法公式为

xk+1=xk

迭代5次，x ≈2.095

。

f(xk)

(xk xk 1)=xk

f(xk) f(xk 1)

f(xk)

f(xk) f(xk 1)kk 1

课

后

由ε的任意性，对任意x0∈(0,+∞)

，牛顿法均收敛。

da

7

答

案

f(M)

≥M (M x )=x >ε.f(M)

网

由f (x)是严格单调増函数，有0<f (ξ)<f (M),于是

w.

ww

ww

w.

kh

d

aw

.c

om

,k=1,2,···

(1).f(ε)=εm a<0,f(M)Mm a>(x )m a≥a a=0,所以f(ε)·f(M)<0.

daw.

M(ε)=(1

co

√

因而5≈2.981。

m

√a11

)ε+ε1 m=(ε+···+ε+aε1 m)>m=x .mmm

3.用高斯消去法解下列线性方程组：1)

2x1 x2+3x3=14x1+2x2+5x3=4

x1+2x2=7

2)

=3 11x1 3x2 2x3

23x1+11x2+x3=0

x1+2x2+2x3= 1

ww

w.kh

daw.

本章重点：

用列主元高斯消去法解线性方程组，用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解线性方程组并判断迭代格式的收敛性。

co

3线性方程组数值解法P81

m

注：用列主元高斯消去法,对于n 1步消元，每一步消元之前均需选主元素。答：1).解为x3= 6,x2= 1,x1=9.2).

回代得

4.用追赶法求解线性方程组：

w.

kh

课

与原方程组同解的三角方程组为

x3= 1.15544,x2=0.549222,x1=0.212435

.

da

8

后

2311 3 23 231110111

r,r+rr+1312 r2 r1 → 00 → 11 3 23 23111

0122 1122 1

231110 23111052

r+( r)32r3 r2 47475757 → → 0 1 1 052352230300 193 答

23x1+11x2+x3=0 5747

x2+x3= 12323 193x3=2235757

ww

ww

w.

kh

d

2M0+M1= 5.5200 59 M+2M+M2= 4.3144 10 1414 32M+M3= 3.26642M+12 55 34 M+M4= 2.42872M+ 23 77 M+2M= 2.115034

aw

.c

om

11

5257网

1 3547案

0 3 1

注：本题是严格对角占优的三对角线性方程组，每步消元只要消一个元素，按顺序高斯消去法即可，用追赶法求解，运算量小。答：

M4= 0.654531,M3= 0.806055,M2= 1.03314,M1= 1.46283,M0= 2.02859

.

www.kh

1x17910

8109 x2 = 1 1087 x3 1

1x4765

同解三角方程组为

khw.

回代得

9.用改进平方根法求解线性方程组：

da

5x1+7x2+

9x3+

2

x2 5

4x3 5 5x3 9

课

579101

6/5 2/5 4/5 3 1/5 → 7/5 1/2 5 17/2 1/2

103/551

答

案

答：对增广矩阵作三角分解：

579101 681091 → 710871 57651

579101

6/581091 → 7/510871

17651

后

x4=3,x3= 5,x2= 12,x1=20.

ww

ww

w.

kh

d

4x1 2x2 4x3=10 2x1+17x2+10x3=3

4x1+10x2+9x3= 7

aw

.c

om

5791016/5 2/5 4/5 3 1/57/5 1/287110651

579101

3 1/5 → 6/5 2/5 4/5 7/5 1/2 5 17/2 1/2

103/51/103/10

10x4=

1

3x4=1

5

171x4= 2213x4=1010

8.用LU紧凑格式分解法解解线性方程组

5 6 7 5

daw.

co

m

网

注：用改进平方根方法解线性方程组，系数矩阵对称，可由U的第k行元素直接得到L的第k列元素，计算量比通常的LU紧凑格式分解约减少一半。答：由改进平方根法分解

4 2 4104 2 410 217103 → 1/217103 4109 7 1109 7

4 2 4104 2 410 → 1/21688 → 1/21688

11/29 7 11/21 1

ww

w.kh

daw.

课

co

后

m

得同解方程组为

4x1 2x2 4x3=1016x2+8x3=8

x3= 1

回代得

x3= 1,x2=1,x1=2

.

答：||A||∞=max{1+1+0,2+2+3,5+4+1}=10,||A||1=max{1+2+5,1+2+4,0+3+1}=8,

1251103025 1

ATA= 124 22 3 = 2521 2 ,

w.

kh

0 31

12.设x=(1, 2,3)T,计算||x||∞,||x||1,||x||2.

1

答：x= 2 ,||x||∞=max{|1|,| 2|,|3|}=3,||x||1=|1|+| 2|+|3|=6,||x||2=

3

√

1+( 2)+3= 110

13.设A= 22 3 ,计算||A||∞,||A||1,||A||2.

541

da

54

1

10

答

由|λE ATA|=0，得λ3 61λ2+510λ 9=0.记

f(λ)=λ3 61λ2+510λ 9,

ww

ww

w.

khd

aw

则f (λ)=3λ2 122λ+510,f (λ)=0的根为λ1=4.7307,λ2=35.936.当λ∈(λ1,λ2)时，f减；否则，f増。用牛顿迭代公式解方程的最大根，λ3≈51.0043,

√

||A||2=51.0043=7.14173

.

.c

om

1 2

10

案

网

x1 121 22

15.给定线性方程组 11 1 x2 = 0 .

2 21x310

1)写出雅可比迭代格式和高斯-赛德尔迭代格式；2)证明雅可比迭代法收敛而高斯赛德尔迭代法发散；3)给x(0)=(0,0,0)T,用迭代法求出该方程组的解，精确到

www.kh

daw.

co

后

m

答：1)雅可比迭代格式

(k+1)(k)(k)

= 12+2x2 2x3 x1

(k+1)(k)(k)x2=x1+x3 (k+1)(k)(k)

x3=10+2x1+2x2

高斯-赛德尔迭代格式

展开得到λ3=0,3个根都为零，谱半径为零，因而雅可比迭代格式收敛。高斯-赛德尔迭代矩阵的特征方程为

w.

√√

展开得到λ(λ2+4λ 4)=0,三个根为λ1=0,λ2= 2+2λ3= 2 2所以

√

ρ=2+2>1,

kh

da

11

课

答

2)雅可比迭代矩阵的特征方程为

案

(k+1)(k)(k)

= 12+2x2 2x3 x1

(k+1)(k+1)(k)x2=x1+x3 (k+1)(k+1)(k+1)

x3=10+2x1+2x2

λ 22

1λ 1 =0, 2 2λ

λ 22

λ 1 =0, λ

2λ 2λλ

因而高斯-赛德尔迭代格式发散。

3)用雅可比迭代格式，取初值x(0)=(0,0,0)T,求得解为

x 1=12,x2= 46,x3= 58

.

ww

ww

w.

kh

d

aw

.c

om

||x(k+1) x(k)||∞≤

1

×10 3.2

网

m

17.给定方程组

o

c 5x1 x2 x3 x4= 4.

x

1

+10x2 x3 x4=12w x x 12+5x3 x4=8a x

1

x2 x3+10x4

=34

考查雅可比迭代格式和高斯d-赛德尔迭代格式的收敛性。答：h

系数矩阵为

k5 1

1 1.A= 110 1 1

1 15 1 ,

1 1 110

A

是严格对角占优的，所以两种迭代格式均是收敛的。

oc网

案

.答

w后

课

a

dh

k.

wd12

hk.wwwm

m

oc.wwwwaww

答：x1=100,x2=121,y(x1)=10,y(x2)=11,

L1(x)=y(x1)

√

x x2x x1x 121x 100

+y(x2)=10×+11×,

x1 x2x2 x1100 121121 100

ww

w.kh

daw.

y(115)=|y(115) L2(115)|=

本章重点：

插值多项式的定义，存在唯一性，拉格朗日插值多项式，牛顿插值多项式，多项式插值的余项表示。

√√

1.利用函数y=在x1=100,x2=121处的值，计算co

后

n j=0

4插值法

m

115≈L2(115)=10×

误差分析

y (ξ)1

(x x1)(x x2)= ξ 3/2(x 100)(x 121),ξ∈(100,121).y(x) L2(x)=2!8

所以，

课

3.对于n次拉格朗日基本插值多项式，证明

证：令f(x)=xk,作f(x)的n次插值多项式，以x0,x1,···,xn为插值节点，则有

Ln(x)=

n j=0

kh

w.

插值余项为

j=0

ww

f(x)=Ln(x),

即

n j=0

k

xkjlj(x)=x.

13

ww

w.

khd

aw

.c

所以

om

n

f(n+1)(ξ)

(x xj)=0f(x) Ln(x)=

(n+1)!

da

lj(x)xkj,

注:要会写出两点的线性插值公式及余项表达式。估计误差时，不是去求实际误差y(115) L2(115),

而是应用已知的插值余项表达式去得到估计值。

答

案

11|(115 100)(115 121)|≤×15×6=0.01125

.8ξ3/28×1003/2

k

xkjlj(x)=x,k=0,1,···,n

115 121115 100

+11×=10.714286.

100 121121 100

网

5.给出函数表

co

1

7

m

xy

00

116

246

488

50

试求各阶差商，并写出牛顿插值多项式。

注:写牛顿插值公式，首先就要计算出差商表，对角线上的数字就是牛顿插值公式的系数。解：牛顿插值多项式为

www.kh

daw.

6.已知f(x)=2x7+5x3+1，求差商f[20,21]，f[20,21,···,27]，f[20,21,···,27,28]。解：

f(20)=f(1)=8,f[20,21]=

f(21)=f(2)=297,

注:利用差商和导数的关系

解后两问比较方便。8.设f(x)=

1

,x0,x1,···,xn互异且不等于a，求f[x0,x1,···,xk],(k=1,2,···,n)，并写出f(x)的n次a x

牛顿插值多项式。解：

f(x0) f(x1)

=f[x0,x1]=

x0 x1

f[x1,x2]=

10

w.

kh

da

1

7

8

课

后

0f(8)(η)

f[2,2,···,2,2]===0,ξ∈(20

,28).

8!8!

答

2×7!f(7)(ξ)==2,ξ∈(20,27),f[2,2,···,2]=

7!7!

案

f(2) f(1)

=297 8=289,

2 1

f(k)(ξ)

f[x0,x1,···,xk]=

k!

同样可以计算得

ww

所以

14

ww

w.

khd

f[x0,x1] f[x1,x2]

f[x0,x1,x2]==

x0 x2

1

01

1

12x0 x2

=

1

.

(a x0)(a x1)(a x2)

aw

.c

1

,

(a x1)(a x2)

om

11

N4(x)=0+16(x 0)+7(x 0)(x 1)+( 5)(x 0)(x 1)(x 2)

+( 7)(x 0)(x 1)(x 2)(x 4)

7

=16x+7x(x 1) 5x(x 1)(x 2) x(x 1)(x

2)(x 4).

网

x0 x1

=

1

,

(a x0)(a x1)

猜想

codaw.

m

f[x0,x1,···,xk]=

1

k i=0

,k=1,2,···,n.

(a xi)

下面用数学归纳法证明。当k=1时，结论成立，假设结论对k=l成立，即有

f[x0,x1,···,xl]=

1

l i=0

,

f[x1,x2,···,xl,xl+1]=

1

l +1i=1

,

ww

w.kh

(a xi)(a xi)

则有

f[x0,x1,···,xl,xl+1]=

f[x0,x1,···,xl] f[x1,x2,···,xl,xl+1]

x0 x1

111=×[l l+1]x0 xl+1

(a xi)(a xi)

1

i=0

i=1

l +1i=0

=

(a xi)

即结论对l+1成立。f(x)的n次牛顿插值多项式为

n k=0

答

da

f[x0,x1,···,xn]

i=0

后

Nn(x)=

课

9.给定数据表

kh

x

0.125

0.250

f(x)

0.79618

0.77334

f0

t

注:解此题的关键是从f[x0],f[x0,x1],f[x0,x1,x2]的表达式猜想出f[x0,x1,···,xk]，然后用归纳法进行严格的证明，有了各阶差商的表达式，很容易写出牛顿插值多项式。

0.375

w.

0.74371

试用三次牛顿差分插值公式计算f(0.1581)及f(0.636)。

ww

N0(x0+th)=f0+

4

+ 1)+ 1)(t 2)

f(0.1581)≈N5(0.1581)=N5(0.125+0.2648h)=0.790294822,f(0.636)≈N5(0.636)=N5(0.125+4.088h)=0.651804826.

15

ww

w.

khd

aw

+ f0t(t 1)(t 2)(t 3)+

5f0

t(t

1)(t 2)(t 3)(t 4).

.c

2f0

t(t 3f0

t(t

om

解：等距节点x0=0.125,h=0.125,xi=x0+ih,0≤i≤5.计算差分表，令x=x0+th,则牛顿插值多项式为

,

k 1 i=0k i=0

k 1

案

网

(x xi)=

n k=0

(x xi)

.

(a xi)

0.5000.70413

0.6250.65632

0.7500.60228

注:此题求等距节点的牛顿前插公式，只要正确计算出差分表即可。11.设f(x)=

1

定义在区间[ 1,1]上。将[ 1,1]作n等分，按等距节点求分段线性插值函数Ik(x)，

1+25x2

并求各相邻节点中点处Ik(x)的值，与f(x)相应的值进行比较，误差为多大？

1 ( 1)2

=,xk= 1+kh,0≤k≤n,nn

解：记h=

www.kh

daw.

Ik(x)=f(xk)Ik(

x∈[xk,xk+1],0≤k≤n 1,

xk+xk+1hh1

)=[f(xk)·+f(xk+1)·]/h=[f(xk)+f(xk+1)],0≤k≤n 1,2222xk+xk+1xk+xk+1xk+xk+11f() Ik()=f() [f(xk)+f(xk+1)]

2222

f (ξk)xk+xk+1xk+xk+1

=( xk)( xk+1)

222

对f(x)求导得

案

h2

= f(ξk),

8

分析可知

因而

w.

kh

0≤k≤n 1

max|f(

da

1≤x≤1

后课

答

50x

f(x)= ,

(1+25x)max|f (x)|=50,

xk+xk+125xk+xk+1

) Ik()|≤h2

.224

ww

16

ww

w.

kh

d

aw

.c

om

50(75x2 1)

f(x)=,

(1+25x)x xk+1x xk

+f(xk+1)=[f(xk)(xk+1 x)+f(xk+1)(x xk)]/h,

xk xk+1xk+1 xk

co

m

网

1.设某实验数据如下：

xy

daw.

1.36

本章重点：

最小二乘原理，会求线性拟合函数及超定方程组的最小二乘解，重点是会正确写出正规方程组并求解。

co

1.49

5曲线拟合

m

1.73

1.81

1.95

2.16

www.kh

2.282.48

14.09415.09616.84417.37818.43519.94920.96322.494

试按最小二乘法求一次多项式拟合以上数据。

解：n=8,设y=a0+a1x,正规方程组为

nxja0yj

= 2

xjxja1xjyj代入数据得：

815.2615.2630.1556

a0a1

145.253284.87403

2.给定数据表：

xy

0.1

0.2

da

0.3

0.4

0.5

0.6

17

课

后

答

案

解此方程组得a0

=3.941,a1=7.453,所以一次拟合多项式为

φ(x)=3.941+7.453x.

求二次最小二乘拟合多项式。

解：取函数系 0(x)=1, 1(x)=x, 2(x)=x2.设φ(x)=a0+a1x+a2x2,正规方程组为

w.

kh

5.12345.30535.56845.93786.42707.07987.94939.025310.3627

代入数据得

ww

解得a0=5.3139,a1= 1.8822,a2=8.2191,因此二次拟合多项式为

φ(x)=5.3139 1.8822x+8.2191x2.

ww

w.

khd

aw

94.52.85a062.779 4.52.852.025 a1 = 35.1916 2.852.0251.5333a223.935264

.c

om

( 0, 0)( 0, 1)( 0, 2)a0(y, 0) ( 1, 0)( 1, 1)( 1, 2) a1 = (y, 1) ( 2, 0)( 2, 1)( 2, 2)a2(y, 2)

w.

com

=

0.7

0.8

0.9

网

或将求拟合多项式问题看作解矛盾方程组.

设φ(x)=a0+a1x+a2x2+···+amxm,φ(xi)=yi,i=1,2,···,n,用最小二乘法确定系数a0,a1,···,am,矛盾方程组为Aα=b,其中

ma0y11x1···x1

ay 1x2···xm 122 . ,b= . .A= ,α= ············ . .

. .

1xn···xmamynn正规方程组为

ATAα=ATb.

ww

w.kh

daw.

co

xy

5 i=1

m

解此方程组即可。

3.用最小二乘法求形如y=a+bx2的经验公式，使它与下列数据拟合：

19.032.349.073.397.8

5 i=1

答

解： 0(x)=1,

1(x)=x2,

2

案

网

1925

da

1=5,

2

后

( 0, 0)= 0(xi)=

课

( 0, 1)=( 1, 0)=

(y, 0)=

5 i=1

5 i=1

0(xi) 1(xi)=

(y, 1)=

= =

kh

yi 0(xi)=

i=1

5

yi×1=271.4,

将上述数据代入正规方程组

w.

得到

( 0, 0)( 0, 1)( 1, 0)( 1, 1)5232753277277699

ww

a0=221.9828,a1= 0.1574083,

y=221.9828 0

.1574083x2.

18

ww

w.

khd

aw

所以经验公式为

.c

解此方程组得

om

31

38

44

( 1, 1)=

5 i=15 i=1

1(xi)=

2

5 i=1

x4i=7277699,

1×x2i=5327,

5 i=1

5 i=1

yi 1(xi)=

yi×x2i=36932.15.

a0

a1

(y, 0)(y, 1)

a0a1

271.436932.15

4.给定数据表：

co

y

1(x)=x,

5 i=1

m

x2.22.73.54.14.8

65

60

53

50

46

用最小二乘法求形如y=aebx的经验公式。注：将一般的拟合问题转化为线性最小二乘问题。解：对y=aebx两边取对数得

lny=lna+bx.

ww

w.kh

daw.

令

Y=lny,a0=lna,a1=b,Y1=lnyi,

Y=a0+a1x.

则

记 0(x)=1,

i=1

网

( 0, 0)= 0(xi)=

2

5

1=5,

5 i=1

2

( 0, 1)=( 1, 0)= 0(xi) 1(xi)=

答

(Y, 0)=Yi 0(xi)=Yi×1=19.97968815,

da

(Y, 1)=

a0

a1

=

a0a1

=

a0=4.45380,a=ea0=85.9529,

19

后

5 i=1

5 i=1

将上述数据代入正规方程组

课

得到

kh

517.317.364.23

( 0, 0)( 0, 1)( 1, 0)( 1, 1)

w.

解此方程组得

所以

ww

所以经验公式为

y=85.9529e 0.132329x.

ww

w.

khd

aw

.c

b=a

1,

om

( 1, 1)=

5 i=1

1(xi)=

2

5 i=1

x2i=64.23,

案

5 i=1

1×xi=17.3,

5 i=1

Yi 1(xi)=

5 i=1

Yi×xi=68.55117703.

(Y, 0)(Y, 1)

19.9796881568.55117703

a1= 0.132329,

5.用最小二乘法求线性方程组

co

的近似解。解：

www.kh

daw.

m

2x+4y=11 3x 5y=3 x+2y=6 4x+2y=14

代入得

da

ATAx=ATb,

x

y

303349x=

=

1450

,487

y=

597487

20

课

后

答

解得

即为原线性方程组的近似解。

w.

kh

ww

ww

w.

khd

aw

.c

om

9369 ,

11 3

b= 6 , 14

24

3032314 3 5 =ATA=, 4 522 12349

42

11

2314 3 93

ATb==, 4 522 669

14

24

3 5

A= 12 ,

42

案

网

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