济南市2016届高三3月高考模拟考试数学（理）试题

2016届高三教学质量调研考试

理科数学

一、选择题： 1.已知复数z?2?3i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于 1?iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C

【解析】考查复数的相关知识。z?平面内对应的点位于第三象限。

22.已知集合M?xx?2x?8?0，集合N?xlgx?0，则M?N?

?2?3i??1?i??2?2i?3i?3??1?5i，实部、虚部均小于0，所以z在复

1?122?1?i??1?i?????A.x?2?x?4 B.xx?1 C.x1?x?4 D.xx??2 【答案】C

【解析】考查集合的运算。M?x?2?x?4，N?xx?1，考查交集的定义，画出数轴可以看出

????????????M?N??x1?x?4?。

3.某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400,320,280.采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主

义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是 A.20 B.16 C.15 D.14 【答案】D

【解析】考查分层抽样。高三年级的人数是

280?50?14（人）。

400?320?2804.已知命题p：?x0?R，使sinx0??5；命题q：?x?(0,),x?sinx，则下列判断正确的是

22A.p为真 B.?p为假 C.p?q为真 D.p?q为假 【答案】B

【解析】考查命题的真假判断。由于三角函数y?sinx的有界性，?1?sinx0?1，所以p假；对于q，构造函数

y?x?sinx，求导得y'?1?cosx，又x?(0,)，所以y'?0，y为单调递增函数，有y?y2即?x?(0,?x?0?0恒成立，

?2),x?sinx，所以q真。判断可知，B正确。

?2x?y?3?0,?x?1,5.已知x,y满足约束条件?则z?3x?2y的最小值是 ?x?y?0.?A.-7 B.-3 C.1 D.4 【答案】A

【解析】方法一：画出可行域，找截距的最小值，数形结合求解；

方法二：找出三条直线的交点，分别带入目标函数，得到最小值-7，答案选A。（这种做法仅适用于线性约束条件，线性目标函数）

6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A 28?65 B 40 C

40 D 30?65 3

【答案】C

【解析】 由三视图知，直观图如图所示：底面是直角三角形，直角边长为4，5，三棱锥的一个后侧面垂直底面，并且高为4，所以棱锥的体积为：?1140?5?4?4?． 3237.函数f(x)?2sin(wx??)(w?0,???2)的部分图像如图所示，则f(0)?(17?)的值为 12A 2?3 B 2?3 C1?【答案】A

【解析】由题意可知T=?,w?33 D 1? 222???2 ，????3，代入求值即可得到 f(0)?(17?)=2?3 128.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术。利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率。如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（参考数据：3=1.732，sin15o?0.2588 ,sin7.5o?0.1305）A 12 B 24 C 36 D48 【答案】B 【解析】n=6，s=

33?2.598 2 n=12，s=3

n=24，s=3.1056?3.10结束循环 输出n=24

9.在平面直角坐标系中，已知点A，B分别为x轴y轴上一点，且AB?1,若P(1，3),则AP?BP?OP的取值范围是 A ?5,6? B?6,7? C?6,9? D?5,7? 【答案】D

【解析】设A(cos?，0)，B(0,sin?)，则AP?BP?OP=(3-cos?,33-sin?),

??????AP?BP?OP2=(3-cos?)2+(33-sin?)2=37-6(cos?+3sin?)

???=37-12sin(???6)即可求范围?5,7?

10.设函数f??x?是f?x?（x?R）的导函数，f?0??1，且3f?x??f??x??3，则4f?x??f??x?的解集是 A. ??ln4?,???B. ?3??ln2?,????C. ?3??3?,?????2?D. ???e?,?????3? ??【答案】D

【解析】根据f?0??1，3f?x??f??x??3，导函数于原函数之间没有用变量x联系，可知函数与y?ex有关，

3x可构造函数为f?x??2e3x?1，4f?x??f??x??3f?x??3，即f?x??3，2e?1?3，解得x?ln2，故选D 3二、填空题：

1??11.二项式?x??展开式中的常数项为 .

x??【答案】20

61??rn?r?1?rn?r?1?3【解析】?x??中的通项为C6x??，若为常数项，则r?3，C6x???C6?20.

xxx???????????????12.已知向量a,b，a?3,b?2,a?b⊥a，则向量a,b的夹角为 .

6rr??【答案】?

56???????2????【解析】因为a?b⊥a，故a?b?a?0,即a?a?b?0，则cos?a,b??????5?33??,故夹角为?.

623?213.已知等比数列?an?为递增数列，其前n项和为Sn，q??【答案】2 【解析】S3?224x?3dx?2x?3x?14,??0?022,2则公比q? . 3a3a32q??,2，因为等比数列为递??a?14，把带入得a?8333q2q增数列，故q?2.

x2y214.过点(0,3b)的直线l与双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支

ab上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是 . 【答案】3

bx2y2【解析】双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的一条斜率为正值的渐近线为y?x，则过(0,3b)的直线l为

aab?bb2y?x?3b，因为双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，所以只要满足?b?即可，又因为

a???1?a?3bc2c?a?b，代入整理得2?3，所以双曲线C的离心率1?e?3.故双曲线C的离心率的最大值是3.

a222?ex,x?115.已知函数f(x)??,g(x)?kx?1，若方程f(x)?g(x)?0有两个不同的实根，则实数k的取值范

?f(x?1),x?1围是 。

（【答案】

e?1,1）?(1,e?1) 2?ex,x?1【解析】f(x)??,图象如图所示。

f(x?1),x?1?

f(x)?g(x)?0的实根即是f(x)?g(x)的根。可以看做是两个函数在图像上的交点个数。

g（x）的图像是恒过点（0,1）的直线，临界值是图中经过B，D两点的割线和过C的切线。计算出斜率值即可。

三、解答题：

16.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos（I）求角C的值；

（II）若c?2，且△ABC的面积为3，求a,b.

2A?cosB?3sinBcosC?1. 2???.（II）a?b?2. 32A?cosB?3sinBcosC?1，故 【解析】（I）2cos2【答案】（I）C???cosA?cosBcosC?3sinBcosC?1，

则?cos?B?C??cosBcosC?3sinBcosC?0，

展开得：sinBsinC?3sinBcosC?0，即tanC?3，C?（II）三角形面积为

?. 31?absin?3，故ab?4. 232由余弦定理：4??a?b??2ab?ab,a?b?4， 故a?b?2.

17. 如图在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,∠ABC=90°，?ABC??ADC,PA?AC?2AB?2,E是线段PC的中点.

（I）求证：DE//面PAB； （II）求二面角D-CP-B的余弦值.

PEBAD【答案】见解析

【解析】（I）证明：设线段AC的中点为O，连接OD,OE. 因为∠ABC=90°，BO?OC

1AC?1，同理DO?1， 2又AB?AD?1,故四边形ABOD是平行四边形，所以DO//AB， O,E分别是PC,AC的中点，所以OE//PA，

OD与OE相交，AP和AB相交，OE在面ODE中，PA,AB在面PAB中， 面ODE//面PAB，而ED在面ODE中，故DE//面PAB.

????????????(II).因为AB⊥BC,PA⊥面ABCD,以B为原点，以BA为x轴正方向，以BC为y轴正方向，过点B做平行于AP的

直线做z轴正方向建立空间直角坐标系.

?33?则B?0,0,0?,C0,3,0,P?1,0,2?,D?,?22,0??

????设面PBC的法向量为n1??x1,y1,z1?

??????????x1?2z1?0?n1?BP?0???则?????? ??3y1?0??n1?BC?0?

??n1??2,0,?1?，

???设面DPC的法向量为n2??x2,y2,z2? ?1?????????x2??n?DP?0?2?则?????2???????n2?DC?0??3x?2??2???n2?1,3,1，

3y2?2z1?02 3y1?02???????cos?n1,n2??2?11?，

5?551. 5二面角D-CP-B的余弦值为

18.2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个学豆、10个学豆、20个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一贯没有闯关成功，则全部学都归零，游戏结束。设选手甲第一关、第二关、第三关的概率分别为关之间闯关成功互不影响

（I）求选手甲第一关闯关成功且所的学豆为零的概率 (II)设该学生所的学豆总数为X,求X的分布列与数学期望 （I）3/16;(II)X的分布列为： 【答案】

3211，，，选手选择继续闯关的概率均为，且各4322X 0 5 15 35 7311 P 816168

EX=0?731195+5?+15?+35?= 16881616【解析】（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥，

3121P(A1)=??（1-）=， …………2分

4238312111P(A2)=????(1?)=， ………… 4分

4232216113P(A)?P(A1)?P(A2)??? ………… 5分

81616（Ⅱ）X所有可能的取值为0,5,15,35 …………6分

37P(X?0)?(1?)+P(A)?

416 313P(X?5)??=

42831211P(X?15)????=

42328312111P(X?35)?????= ………… 10分

4232216所以，X的分布列为： X 0 5 15 35 7311 P 816168………… 11分

EX=0?731195+5?+15?+35?= ………… 12分 1688161619 已知数列?an?是公差不为零的等差数列，且a3=5，a2，a4，a12成等比数列。数列?bn?的每一项均为正实数，其前n项和为Sn，且满足4Sn?bn?2bn?3 （I）数列?an?，?bn?的通项公式 （II）令cn?值。

【答案】（I）?an?3n?4 bn?2n?1. （II）正整数m的最大值为6.

2Ta1，记数列?cn?的前n项和为Tn,若n?m对任意n?N*恒成立，求正整数m的最大

(2an?5)bnTn?1am?1?a1?2d?5【解析】（I）设数列?an?的首项为a1，公差为d，由已知可得：d?0，且? 2?(a1?3d)=(a1?d)?(a1?11d)解得：??a1=-1?a1=5或?（舍）

?d?3?d?0?an?3n?4 ………… 2分

当n?1时，4b1?b1?2b1?3?bn?0 当n?2时，

2?b1?3， ………… 3分

4Sn?bn2?2bn?3① 4Sn-1?bn-12?2bn?1?3②

②-①得，4bn?bn-bn-1?2bn?2bn?1 …………4分

22（bn-bn-1-2）（?bn?bn-1)?0 ?bn?0?bn-bn-1=2，

??bn?是首项为3，公差为2的等差数列.

故bn?2n?1. ………… 6分 （II）cn?11111=?(?) ………… 7分

(2an?5)bn(6n?3)(2n?1)62n?12n?11?11111111?11Tn=c1?c2???cn=（-）（+-）+(-)+?+(-)=（1-） ??6?1335572n?12n?1?62n?1………… 9分

Tnnn?1(2n?3)n2n2?3n1?Tn=Tn?1=???2=1-2，

3(2n?1)3(2n?3)Tn?1(n?1)(2n?1)2n?3n+12n?3n?1令f(x)=1-12x2?3x?1，则当x?0时，f(x)=，4x?3?0 22（2x?3x?1）?T?TT5??n?为递增数列，?n?1?， ………… 10分

Tn?1T26?Tn?1?又

Tnaa3m?45?m对?n?N?恒成立，故m=?， Tn+1am?1am?13m?1619， ………… 11分 3x?aln(1?x)(a?R)，g(x)?x2emx(m?R). 1?x解得m?所以正整数m的最大值为6. ………… 12分 20.已知函数f(x)?（I）当a?1时，求函数f(x)的最大值；

（II）若a?0，且对任意的x1,,x2?[0,2],f(x1)?1?g(x2)恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（I）0；（II）(??,?ln2]

【解析】（I）函数f(x)的定义域为：x?(?1,??)， 当a?1时，f'(x)?1?x?x?1?x?2?1?x， ?1?x?1?x?2?x?(?1,0),f'(x)?0，函数f(x)在(?1,0)上单调递增， ?x?(0,??),f'(x)?0，函数f(x)在(?1,0)上单调递减，

?f(x)max?f(0)?0.

（II）令?(x)?f(x)?1，因为“对任意的x1,,x2?[0,2],f(x1)?1?g(x2)恒成立”等价于“当a?0时，对任意的

x1,,x2?[0,2],?(x)min?g(x)max成立”，

由于?'(x)?1?1?x?2?a?ax?a?1， ?21?x?1?x?当a?0时，?x?[0,2]有?'(x)?0，从而函数?(x)在[0,2]上单调递增， 所以?(x)min??(0)?1.

g'(x)?2xemx?x2emx?m?(mx2?2x)emx，

当m?0时，g(x)?x2，x?[0,2]时，g(x)max?g(2)?4，显然不满足g(x)max?1， 当m?0时，令g'(x)?0得，x1?0,x2??（i）当?2， m2?2，即?1?m?0时，在[0,2]上g'(x)?0，所以g(x)在[0,2]单调递增，所以m2mg(x)max?g(2?)(ii)当0??4e，只需使4e2m?1，得m??ln2，所以?1?m??ln2.

222?2，即m??1时，在[0,?],g'(x)?0,g(x)单调递增，在[?,2],g'(x)?0,g(x)单调递mmm2442减，所以g(x)max?g(?)?22，只需使22?1，得m??，所以m??1.

mmemee2(iii)当??0，即m?0时，显然在[0,2]上g'(x)?0,g(x)单调递增，g(x)max?g(2)?4e2m,4e2m?1不成

m立，

综上所述，m的取值范围是(??,?ln2].

x2y2a2b22221.设椭圆C:2?2?1(a?b?0)，定义椭圆C的“相关圆”方程为x?y?2，若抛物线y2?4x的焦点2aba?b与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.

（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；

（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点.

(i)证明:?AOB为定值；

(ii)连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求?ABQ面积的取值范围.

x22?y2?1，“相关圆”E的方程为x2?y2?【答案】（Ⅰ）椭圆C的方程为

3 2（Ⅱ）（i） ??AOB??为定值 （ii）?,2?

2?3?

2?4?【解析】（Ⅰ）因为若抛物线y?4x的焦点为?1,0?与椭圆C的一个焦点重合，所以c?1 ………1分 又因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b?c?1

x2?y2?1， ……………3分 故椭圆C的方程为222“相关圆”E的方程为x?y?2……………4分

3

（Ⅱ）（i）当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x?6， 3?66??6?6?A,,B,?则?所以?AOB?……………5分 ????33??3?23 ????当直线l的斜率存在时，设其方程设为y?kx?m，设A?x1,y1?,B?x2,y2?

?y?kx?m?联立方程组?x2得x2?2(kx?m)2?2,即(1?2k2)x2?4kmx?2m2?2?0, …………6分

2??y?1?2△=16k2m2?4(1?2k2)(2m2?2)?8(2k2?m2?1)?0,即2k2?m2?1?0(*)

4km?x?x??12??1?2k2……………7分 ?22m?2?xx?12?1?2k2 ?m2222?3m?2?2k因为直线与相关圆相切，所以d??? ……………8分 221?k31?k(1?k2)(2m2?2)4k2m2222?x1x2?y1y2?(1?k)x1x2?km(x1?x2)?m???m1?2k21?2k2

m3m2?2k2?2??021?2k

?????????AOB?为定值 ……………9分 ?OA?OB ??2（ii）由于PQ是“相关圆”的直径，所以S?ABQ?求弦长AB的取值范围

16ABPQ?AB，所以要求?ABQ面积的取值范围，只需23当直线AB的斜率不存在时，由（i）知AB?26……………10分

3

8(2k2?m2?1)因为|AB|?(1?k)(x1?x2)?(1?k)……………11分 22(1?2k)

22284k4?5k2?18k2???[1?4],

34k4?4k2?134k?4k2?1

① k?0时|AB|?81111[1?]为4k2?2?4?8所以0??,

11k34k2?2?44k2?2?48kk所以

28816?|AB|?3?[1?]?3,所以1333 4k2?2?4k当且仅当k??2时取”=” ……………12分 22266?|AB|?3．|AB |的取值范围为……………13分 33

②当k?0时,|AB|??4???ABQ面积的取值范围是?,2?……………14分

?3?

所以

28816?|AB|?3?[1?]?3,所以1333 4k2?2?4k当且仅当k??2时取”=” ……………12分 22266?|AB|?3．|AB |的取值范围为……………13分 33

②当k?0时,|AB|??4???ABQ面积的取值范围是?,2?……………14分

?3?

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