课时分层作业1 基本计数原理-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修第二册练习

课时分层作业(一)基本计数原理

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．图书馆的书架有3层，第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不同的语文书，第3层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取书方法共有()

A．120种B．64种

C．39种D．16种

D[由于书架上共有3＋5＋8＝16(本)书，则从中任取1本，共有16种不同的取法．]

2．已知a∈{3,4,5}，b∈{1,2}，r∈{1,4,9,16}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同圆的个数是()

A．6B．9

C．16D．24

D[确定一个圆可以分三个步骤：第一步，确定a，有3种选法；第二步，确定b，有2种选法；第三步，确定r，有4种选法，由分步乘法计数原理得，不同圆的个数为3×2×4＝24.]

3．李芳有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”劳动节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择方式有()

A．24种B．14种

C．10种D．9种

B[不选连衣裙有4×3＝12种方法，选连衣裙有2种．共有12＋2＝14种．] 4．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有()

A．53种B．35种

C．8种D．15种

B[每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝35种投法．]

5．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是()

A．15 B．12

C．5 D．4

A[利用分类加法计数原理．

当x＝1时，y＝0,1,2,3,4,5，有6个；当x＝2时，y＝0,1,2,3,4，有5个；当x＝3时，y＝0,1,2,3，有4个．据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15个．]

二、填空题

6．有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法．15[有3类不同方案：

第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；

第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；

第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．

其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1

个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种．] 7．某班2020年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．

42[将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种)．]

8．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有________种．(用数字作答)

9[分为两类：两名老队员、一名新队员时，有3种选法；两名新队员、一名老队员时，有2×3＝6(种)选法，即共有9种不同选法．]

三、解答题

9．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．

(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；

(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？

[解]从O型血的人中选1人有28种不同的选法；

从A型血的人中选1人有7种不同的选法；

从B型血的人中选1人有9种不同的选法；

从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．

(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理，有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．

(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理，有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．

10．某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．

(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？

(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？

(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？

[解](1)分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法．由分类加法计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(种)不同的选法．

(2)分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长，有8种不同的选法，第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长，有10种不同的选法．第三步是从三班的6名优秀团员中选1名小组长，有6种不同的选法．由分步乘法计数原理可得，共有N＝8×10×6＝480(种)不同的选法．

(3)分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法．因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188(种)不同的选法．

11．从集合{1,2,3，…，8}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()

A．3B．4

C．6D．8

B[以1为首项的等比数列为1,2,4；以2为首项的等比数列为2,4,8.把这两个数列的顺序颠倒，又得到2个数列，∴所求数列为4个．]

12．(多选题)已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则对于方程x2

m＋

y2

n＝1的

说法正确的是()

A．可表示3个不同的圆

B．可表示6个不同的椭圆

C．可表示3个不同的双曲线

D．表示焦点位于x轴上的椭圆的有3个

ABD[当m＝n>0时，方程x2

m

＋y2

n

＝1表示圆，故有3个，选项A正确；当

m≠n且m，n>0时，方程x2

m

＋y2

n

＝1表示椭圆，故有3×2＝6个，选项B正确；

若椭圆的焦点在x轴上，所以m>n>0.当m＝4时，n＝2,3；当m＝3时，n＝2；

即所求的椭圆共有2＋1＝3(个)，选项D正确；当mn<0时，方程x2

m ＋y2

n

＝1表示

双曲线，故有3×1＋1×3＝6个，选项C错误．]

13．4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛，4人都来争夺这三项冠军，则冠军分配方法的种数是________．

64[因为跳高冠军的分配有4种不同的方法，

跳远冠军的分配有4种不同的方法，游泳冠军的分配有4种不同的方法，所以根据分步乘法计数原理，冠军的分配方法有4×4×4＝64(种)．]

14．(一题两空)若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法．

图1图2

56[对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法．

对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：

第一步，合上A中的一个开关；

第二步，合上B中的一个开关，

故有2×3＝6(种)不同的方法．]

15．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．

(1)P可以表示平面上的多少个不同点？

(2)P可以表示平面上的多少个第二象限的点？

(3)P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？

[解](1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种．由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的6×6＝36(个)不同点．

(2)根据条件需满足a<0，b>0.

完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的3×2＝6(个)第二象限的点．

(3)因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x 上的点．

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