2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题四十九·判断说理型问题

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构 解答题

1．(2010江苏苏州) (本题满分9分)如图，以A 为顶点的抛物线与y 轴交于点B ．已知A 、

B 两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设M(m ，n)是抛物线上的一点(m 、n 为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M 、

B 、O 、A 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M 的坐标；

(3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P ，PA 2+PB 2+PM 2＞28是

否总成立?请说明理由．

【答案】

学通教育资源库

4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构

2．（10湖南益阳）如图9，在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （－2，

0），B （6，0），C （0，3）.

(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

(2)过Ｃ点作CD 平行于x 轴交抛物线于点D ，写出D 点的坐标，并求AD 、BC 的交点E 的

坐标；

(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC 、ＰD ，判断四边形CEDP 的形状，并说明理由.

P A C

D E B

o y

1 11

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构

【答案】 解：⑴ 由于抛物线经过点)3,0(C ，可设抛物线的解析式为)0(32≠++=a bx ax y ，则

???=++=+-0

36360324b a b a ， 解得?????=-=1

41b a ∴抛物线的解析式为34

12++-=x x y ……………………………4分 ⑵ D 的坐标为)3,4(D ……………………………5分

直线AD 的解析式为12

1+=

x y 直线BC 的解析式为321+-=x y 由???

????+-=+=321121x y x y 求得交点E 的坐标为)2,2( ……………………………8分

⑶ 连结PE 交CD 于F ，P 的坐标为)4,2(

又∵E )2,2(，)3,4(),3,0(D C

∴,1==EF PF 2==FD CF ，且PE CD ⊥

∴四边形CEDP 是菱形 ……………………………12分

3．（2010辽宁丹东市）如图， 已知等边三角形ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC

的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时， △DMN 也随之整体移动） ．

（1）如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在

直线NE 上？都请直接．．．．

写出结论，不必证明或说明理由； 9

图

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构 （2）如图②，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是

否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点M 在点C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．

【答案】（1）判断：EN 与MF 相等 （或EN=MF ），点F 在直线NE 上， ······ 3分

（说明：答对一个给2分）

（2）成立． ······························ 4分 证明：

法一：连结DE ，DF ． ·························· 5分

∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =AC =BC ．

又∵D ，E ，F 是三边的中点，

∴DE ，DF ，EF 为三角形的中位线．∴DE =DF =EF ，∠FDE =60°．

又∠MDF +∠FDN =60°， ∠NDE +∠FDN =60°，

∴∠MDF =∠NDE ． ··························· 7分 在△DMF 和△DNE 中，DF =DE ，DM =DN ， ∠MDF =∠NDE ，

∴△DMF ≌△DNE ． ··························· 8分 ∴MF =NE ． ·························· 9分

法二：

延长EN ，则EN 过点F ． ······················· 5分 ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =AC =BC ．

又∵D ，E ，F 是三边的中点， ∴EF =DF =BF ．

∵∠BDM +∠MDF =60°， ∠FDN +∠MDF =60°，

∴∠BDM =∠FDN ． ···························· 7分 图① 图②

图③ 第25题图 A

2 B C D E

F

2 2 N M

F E D C B

A N M F E D

C B A 2 N C A B F M

D

E N C A B

F M D E

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构

F B C 又∵DM =DN ， ∠ABM =∠DFN =60°，

∴△DBM ≌△DFN ． ···························· 8分 ∴BM =FN ．

∵BF =EF ， ∴MF =EN ． ·························· 9分 法三：

连结DF ，NF ． ····························· 5分 ∵△ABC 是等边三角形，

∴AC =BC =AC ．

又∵D ，E ，F 是三边的中点，

∴DF 为三角形的中位线，∴DF =21AC =2

1AB =DB ． 又∠BDM +∠MDF =60°， ∠NDF +∠MDF =60°，

∴∠BDM =∠FDN ． ··························· 7分 在△DBM 和△DFN 中，DF =DB ，

DM =DN ， ∠BDM =∠NDF ，∴△DBM ≌△DFN ．

∴∠B =∠DFN =60°． ··························· 8分 又∵△DEF 是△ABC 各边中点所构成的三角形，

∴∠DFE =60°．

∴可得点N 在EF 上，

∴MF =EN ． ·························· 9分

（3）画出图形（连出线段NE ）， ····················· 11分 MF 与EN 相等的结论仍然成立（或MF =NE 成立）． ·············· 12分

4．（2010山东日照）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米 ．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30o ，O 、A 两点相距83米．

（1）求出点A 的坐标及直线OA 的解析式；

（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；

（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打

入球洞A 点 ．

【答案】

23．（本题满分10分）

解：（1）在Rt △AOC 中，

∵∠AOC=30 o ，OA =83，

∴AC=OA 2sin30o =833

2

1=34， OC=OA 2cos30o =83323=12． ∴点A 的坐标为（12，34）． …………………………………2分

设OA 的解析式为y=kx ，把点A （12，34）的坐标代入得：

34=12k ，

∴k =3

3 ， ∴OA 的解析式为y =3

3x ； …………………… ……………………4分 (2) ∵顶点B 的坐标是（9，12）, 点O 的坐标是（0，0） ∴设抛物线的解析式为y=a (x-9)2+12，…………………………………6分

把点O 的坐标代入得：

0=a （0-9）2+12，解得a =274-

， ∴抛物线的解析式为y =274-

(x -9)2+12 及y =274- x 2+ 3

8x ； …………………………………………………8分 (3) ∵当x =12时，y =3

32 ≠34， ∴小明这一杆不能把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点． …………10分

5．（2010山东济宁）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如

图1，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E

为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长

线于N .当6CP =时，EM 与EN 的比值是多少？

(第22题)

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构 行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如图2，则可得：DF DE FC EP

=，因为DE EP =，所以DF FC =.可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值.

(1) 请按照小明的思路写出求解过程.

(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP MN =的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.

【答案】

（1）解：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于点F ，G ， 则DF DE FC EP =，EM EF EN EG

=，12GF BC ==. ∵DE EP =，∴DF FC =. ············································································· 2分 ∴11

6322

EF CP ==?=，12315EG GF EF =+=+=. ∴31155EM EF EN EG ===. ··················································································· 4分 （2）证明：作M H ∥BC 交AB 于点H ， ····································································· 5分

则MH CB CD ==，90MHN ∠=?.

∵1809090DCP ∠=?-?=?，

∴DCP MHN ∠=∠.

∵90MNH CMN DME CDP ∠=∠=∠=?-∠，90DPC CDP ∠=?-∠，

∴DPC MNH ∠=∠.∴DPC MNH ???. ···················································· 7分

∴DP MN =. ································································································ 8分

6．（2010四川凉山）已知：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，顶点(1,4)C -，与x 轴交于A 、B 两点，(1,0)A -。

（1） 求这条抛物线的解析式；

（2） 如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线的对称轴交于点F ，依

次连接A 、D 、B 、E ，点Q 为线段AB 上一个动点（Q 与A 、B 两点不重合），

(第22题) H B C D E M N

A P

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构

过点Q 作QF AE ⊥于F ，QG DB ⊥于G ，请判断QF QG

BE AD

+是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；

（3） 在（2）的条件下，若点H 是线段EQ 上一点，过点H 作MN EQ ⊥，MN 分

别与边AE 、BE 相交于M 、N ，（M 与A 、E 不重合，N 与E 、B 不重合），

请判断

QA EM

QB EN

=是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。 【答案】

第26题图

7．（2010 嵊州市）（10分）已知：在四边形ABCD中，A D∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。

（1）如图1，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系是什么；

（2）如图2，若AB＝BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；（3）如图3，若AB＝kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明。

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0中小学理科培优专业机构

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构

【答案】（1）AE ＝EF

（2）猜想：（1）中结论没有发生变化，即仍然为AE ＝EF （过点E 作E H ∥AB ，可证

△AEH ≌△FEC ）

（3）猜想：（1）中的结论发生变化，为AE ＝kEF

8．（2010 浙江省温州市）(本题l2分)如图，抛物线y=ax 2+bx 经过点A(4，0)，B(2，2)。

连结OB ，AB ．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求证：△OAB 是等腰直角三角形；

(3)将△OAB 绕点0按顺时针方向旋转l35°得到△0A′B ′，写出△0A′B ′的中点 P 的出标．试判断点P 是否在此抛物线上，并说明理由．

【答案】

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构

9．（2010 福建德化）（12分）在△ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC 绕点B 顺时针旋转角

α(0<α<120°),得△A 1BC 1，交AC 于点E ，AC 分别交A 1C 1、BC 于D 、F 两点．

（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA 1与FC 有怎样的数量关系？并证明

你的结论；

（2）如图②，当α=30°时，试判断四边形BC 1DA 的形状，并说明理由；

（3）在（2）的情况下，求ED 的长．

【答案】(1)1EA FC =；提示证明1ABE C BF ???

（2）①菱形（证明略）

（3）过点E 作EG ⊥AB ，则AG=BG=1

在Rt AEG ?中，1

cos cos30AG AE A == 由（2）知AD=AB=2 ∴2ED AD AE =-=10．（2010山东临沂）如图，二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴交于1

(,0)2

A -,(2,0)

B 两点，且与y 轴交于点

C .

（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC ?的形状；

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构 （2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ,且以A C D B 、、、四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P ,使得以A C B P 、、、四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】解：根据题意，将A （12

-,0）,B （2,0）代入y=-x 2+ax+b 中， 得110,42420.

a b a b ?--+=???-++=? 解这个方程，得3,21.

a b ?=???=?

所以抛物线的解析式为y=-x 2+32

x+1. 当x=0时，y=1.所以点C 的坐标为（0，1）。

所以在△AOC 中，

在△BOC 中，

AB=OA+OB=

15222

+=. 因为AC 2+BC 2=2125244AB +==. 所以△ABC 是直角三角形。

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构 （2）点D 的坐标是3,12?? ???

.

（3）存在。

由（1）知，A C ⊥BC,

① 若以BC 为底边，则BC ∥AP,如图（1）所示，可求得

直线BC 的解析式为 112

y x =-+. 直线AP 可以看作是由直线AC 平移得到的，所以设直

线AP 的解析式为12y x b =-

+， 将A （12-,0）代入直线AP 的解析式求得b=14

-,所以直线AP 的解析式为1124

y x =--. 因为点P 既在抛物线上，又在直线AP 上，所以点P 的纵坐标相等，即-x 2+32x+1=1124

x --. 解得125122

x x =

=-（不合题意，舍去）. 当x=52时，y=32

-. 所以点P 的坐标为（52，32-）. ②若以AC 为底边，则BP ∥AC ，如图（2）所示，可求得

直线AC 的解析式为

21y x =+.

直线BP 可以看作是由直线AC 平移得到的，所以设直

线BP 的解析式为2y x b =+，

将B （2,0）代入直线BP 的解析式求得b=-4,所以直线

BP 的解析式为y=2x-4.

因为点P 既在抛物线上，又在直线BP 上，所以点P 的

纵坐标相等，即-x 2+

32x+1=2x-4 解得125,22x x =-

=（不合题意，舍去）. 当x=-52

时，y=-9. 所以点P 的坐标为（-

52，-9）

.

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构 综上所述，满足题目的点P 的坐标为（52，32

-）或（-52，-9）. 11．（2010湖南衡阳）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上移动，但A 到EF 的距离AH 始终保持与AB 长相等，问在E 、F 移动过程中：

（1）∠EAF 的大小是否有变化？请说明理由．

（2）△ECF 的周长是否有变化？请说明理由．

【答案】不变，理由是：在Rt △ABE 和Rt △AHE 中，AB=AH ，AE=AE ，所以Rt △ABE ∽Rt △AHE ，所以HE=BE ，同理HF=DF.所以△ECF 的周长=EF+CE+CF=BC+DC.可见△ECF 的周长等于正方形边长的两倍.

12．（2010 黄冈）（15分）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =

作垂线，垂足为M ，连FM （如图）. （1）求字母a ，b ，c 的值；

（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4

F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并

证明此时△PFM 为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求

出t 值，若不存在请说明理由

.

【答案】（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0

（2）过P 作直线x=1的垂线，可求P 的纵坐标为

14

，横坐标为1+此时，MP ＝MF ＝PF ＝1，故△MPF 为正三角形.

（3）不存在.因为当t ＜54，x ＜1时，PM 与PN 不可能相等，同理，当t ＞54

，x ＞1时，PM 与PN 不可能相等.

13．（2010 山东莱芜）在 平行四边形 ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，过点O 作直线EF 、

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构 GH ，分别交平行四边形的四条边于E 、G 、F 、H 四点，连结EG 、GF 、FH 、HE .

（1）如图①，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；

（2）如图②，当EF ⊥GH 时，四边形EGFH 的形状是 ；

（3）如图③，在（2）的条件下，若AC =BD ，四边形EGFH 的形状是 ；

（4）如图④，在（3）的条件下，若AC ⊥BD ，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由.

【答案】解：（1）四边形EGFH 是平行四边形．

的对角线AC 、

BD 交于点O ．

∴点O 的对称中心．

∴EO =FO ，GO =HO ．

∴四边形EGFH 是平行四边形．

（2）菱形．

（3）菱形．

（4）四边形EGFH 是正方形．

证明：∵AC =BD ABCD 是矩形． 又∵AC ⊥BD ， ABCD 是菱形．

是正方形，∴∠BOC =90°，∠GBO =∠FCO =45°．OB =OC ．

∵EF ⊥GH ，∴∠GOF =90°．∴∠BOG =∠COF ．

∴△BOG ≌△COF ．∴OG =OF ，∴GH =EF ．

由（1）知四边形EGFH 是平行四边形，又∵EF ⊥GH ，EF =GH .

∴四边形EGFH 是正方形．

14．（2010江西）如图，已知经过原点的抛物线y=-2x 2+4x 与x 轴的另一交点为A ，现将它

向右平移m (m >0)个单位，所得抛物线与x 轴交与C 、D 两点，与原抛物线交与点P.

（1）求点A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状（不要求说理）

（2）在x 轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m 的式子表示）；若不存在，请说明理由；

（3）△CDP 的面积为S ，求S 关于m 的关系式。

【答案】解：（1）令-2x 2+4x=0得x 1=0，x 2=2

H G F E O D C B A 图① H G F E O D C B A 图② A B C D O E F G H 图③ A B C D O E F G H 图④ （第23题图）

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构 ∴点A 的坐标是（2，0），

△PCA 是等腰三角形，

（2）存在。

OC=AD =m ,OA=CD =2，

（3）当0

∵A （2，0），C （m,0）,

∴AC =2-m, ∴CH = 222

AC m -=， ∴P x =OH = 22

m m -+= 22m +. 把P x =22

m +代入y=-2x 2+4x ，得 P y =2122

m -+，∵CD=OA =2, ∴2211112(2)22222S CD HP m m ==?-+=-+g

.

当m >2时，如图2

作PH ⊥x 轴于H ，设(,)P P P x y ,

∵A （2，0），C （m,0）,

∴AC =m-2，∴AH =

22

m - ∴P x =OH = 22

m m -+= 22m +, 把把P x =22

m +代入y=-2x 2+4x ，得 得, P y =2122m -+ ∵CD=OA =2， ∴21112()2222

P S CD HP y m ==?-=--g ．

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构

15．（2010 武汉 ）如图1，抛物线b ax ax y +-=221经过点A （－1，0），C （0，23）两点，且与x 轴的另一交点为点B ．

（1）求抛物线解析式；

（2）若抛物线的顶点为点M ，点P 为线段AB 上一动点（不与B 重合），Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ=45°，设OP=x ，MQ=22

2y ，求2y 于x 的函数关系式，并且直接写出自变量的取值范围；

（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m ，x=n 分别与抛物线交于E 、G 两点，与（2）中的函数图像交于F 、H 两点，问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求出m 、n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．

25．【答案】（1）2

3212++-=x x y ； （2）由顶点M （1，2）知∠PBM=45°，易证△MBP ∽△MPQ 得

QM BM PM PM QM BM PM ?=?=2，得222

2224)1(y x ?=+-，即)30(2

52122<≤+-=x x x y ； 图 1 图 2

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构 （3）存在，设点E 、G 是抛物线2

3212++-=x x y 分别与直线x=m ，x=n 的交点，则213()22E m m m -++，、)2321,(2++-n n n G ，同理)2

521,(2+-m m m F 、)2

521,(2+-n n n H ，12,1222+-=+-=∴n n GH m m EF ．由四边形EFHG 为平行四边形得EG=FH ，即0))(2(02222=--+?=---n m n m n m n m ，由

2(021)m n m n m m ≠?+=≤≤≠，且，因此，四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是m+n=2（0≤m ≤2，且m ≠1）．

16．（2010浙江湖州）如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上任

意一点（不含端点A ，D ），连接PC ，过点P 作PE ⊥PC 交AB 于E ．

（1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，

求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围．

【答案】（1）存在，理由如下：假设存在这样的点Q ，∵FE ⊥PC ，∴∠APE ＋∠DPC ＝90°，∵∠D ＝90°，

∴∠DPC ＋∠DCP ＝90°，∴△P AE ∽△PDC ，∴AE AP DP CD

=，∴AP DP AE DC ?=?，同理可得AQ DQ AE DC ?=?，∴AQ DQ AP DP ?=?，即33AQ AQ AP AP ?-=?-（）（），

∴2233AQ AQ AP AP -=-，∴2233AP AQ AP AQ -=-，

∴3AP AQ AP AQ AP AQ +-=-（）（）（）

∵AP≠AQ ，∴AP ＋AQ ＝3.∵AP ≠AQ ，∴AP ≠32

，即P 不能是AD 的中点，∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在，故，当P 不是AD 的中点时，总存在这样的点Q 满足条件，此时AP ＋AQ ＝3．

（2）设AP ＝x ，BE ＝y ，则DP ＝3－x ，AE ＝2－y ，又PE ⊥PC ，∴△P AE ∽△PDC ，∴AE AP DP CD

=，即232y x x -=-，∴213222y x x =++，当3

321222x -

==?时，y 有最小值，y 的最小值为（第25题）

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构 19427241842

??-=?，又E 在AB 上运动，且AB ＝2，∴BE 的取值范围是78≤BE ＜2． 17．（2010湖北荆门）已知一次函数y ＝12

1+x 的图象与x 轴交于点A ．与y 轴交于点B ；二次函数c bx x y ++=22

1图象与一次函数y ＝121+x 的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点的坐标为)0,1(

（1）求二次函数的解析式；

（2）求四边形BDEF 的面积S ；

（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，

求出所有的点P ，若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）∵ 由题意知:当x=0时,y=1, ∴B （0，1）,当y=0时,x =－2, ∴A （－2，0） ∴?????=++=0211c b c 解得??

???-==231b c ,所以123212+-=x x y （2）当y=0时,

012

3212=+-x x ,解得x 1=1,x 2=2, ∴D(1,0) E(2,0) ∴AO =3,AE =4. S =S △CAE －S △ABD ，S =OB AD AE ?-?21321，S=4.5, (3)存在点P (a,0),当P 为直角顶点时,如图,过C 作CF ⊥x 轴于F , ∵Rt △BOP ∽Rt △PFC ,

由题意得，AD ＝6，OD ＝1，易知，AD ∥BE ， ∴CF OP PF BO =．即3

41a a =-,整理得:a 2－4a －3=0,解得a =1或a =3,所以所求P 点坐标为(1,0)或(3,0).综上所述,满足条件的点P 有两个.

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构 18．（2010湖南常德）如图10，若四边形ABCD 、四边形GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE .

（1）当正方形GFED 绕D 旋转到如图11的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证

明；若不成立，请说明理由.

（2）当正方形GFED 绕D 旋转到如图12的位置时，延长CE 交AG 于H ，交AD 于M . ① 求证：AG ⊥

②当AD =4，DG CH 的长.

【答案】解：（1）AG CE =成立． 四边形ABCD 、四边形DEFG 是正方形，

∴,,GD DE AD DC ==

∠GDE =∠90ADC =?.

∴∠GDA =90°-∠ADE =∠EDC .

∴△AGD ?△CED .

∴AG CE =.

（2）①类似（1）可得△AGD ?△CED ，

∴∠1＝∠2

又∵∠HMA ＝∠DMC .

∴∠AH M =∠ADC ＝90?.

即.AG CH ⊥

② 解法一: 过G 作GP AD ⊥于P ,

由题意有sin 451GP PD =?=,

B

A C D E

F G

1 2

图12 H P

M A B C D E F G 图11 A B C D E F G 图11 A B C D E F G 图10 B A C D E F G H 图12

M

学通教育资源库4555663a580216fc700afdd0 中小学理科培优专业机构

∴3AP =，则tan ∠1＝

1

3GP AP =. 而∠1＝∠2，∴tan ∠2＝DM DC ＝tan ∠1＝1

3

.

∴43DM = ，即8

3

AM AD DM =-=.

在Rt DMC ?

中，CM

而AMH ?∽CMD ?,∴AH AM

DC CM =

,

即8

4AH =,

∴AH =

.

再连接AC

，显然有AC =,

∴

CH 所求CH 的长为

5

10

8. 解法二：研究四边形ACDG 的面积 过G 作GP AD ⊥于

,

由题意有sin 451O GP

==, ∴3AP =, AG

而以CD 为底边的三角形CDG 的高=PD =1, AGD

ACG CGD ACDG S S S S S +=+ 四边形, ∴4×1+4××CH+4 ×1.

∴CH =5

108.

19．（2010湖南郴州）如图（1），抛物线42y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .

（1）求点A 的坐标；

（2)当b =0时（如图（2）），ABE 与ACE 的面积大小关系如何？当4b >-时，上述关系还成立吗，为什么？

（3）是否存在这样的b ，使得BOC 是以BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出b ；若不存在，说明理由.

B

A

C

D

E F G

1

2

图12

H P

M

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k4pq.html