高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义

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直线与圆锥曲线 Ⅰ复习提问

一、直线l与圆锥曲线C的位置关系的判断

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax?By?C?0（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）=0，消去y（也可以消去x）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立

?Ax?By?C?0消去y后得ax2?bx?c?0 ??F(x,y)?0（1）当a?0时，即得到一个一元一次方程，则l与C相交，有且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l抛物线的对称轴平行。

（2）当a?0时，??0，直线l与曲线C有两个不同的交点；??0，直线l与曲线C相切，即有唯一公共点（切点）；??0，直线l与曲线C相离。 二、圆锥曲线的弦长公式

??AB?1?k2(x?x)2?4xx1212??12?AB?1?y?y?12??4y1y2?2k相交弦AB的弦长?

??122?1?2y1?y2?AB?1?kx1?x2?1?kak??三、中点弦所在直线的斜率

x2y2b2x0（1）若椭圆方程为2?2?1(a?b?0)时，以P（x0,y0）为中点的弦所在直线斜率k??2(y0?0)，

abay0b2y2x2a2a2x0即k?kop??2；若椭圆方程为2?2?1(a?b?0)时，相应结论为k??2(y0?0)，即k?kop??2；

aabbby0x2y2b2x0（2）P（x0,y0）是双曲线2?2?1内部一点，以P为中点的弦所在直线斜率k?2(y0?0)，即

abay0b2y2x2a2a2x0k?kop?2； 若双曲线方程为2?2?1时，相应结论为k?2(y0?0)，即k?kop?2；

aabbby0（3））P（x0,y0）是抛物线y2?2px内部一点，以P为中点的弦所在直线斜率k?x0。 pp(y0?0)； y0 若方程为x2?2py时，相应结论为k?

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Ⅱ 题型与方法

一、直线与圆锥曲线的位置关系

（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断??0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率大小得到。

（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切。

55x222?y2?1 例1.已知两点M(1,)，N(?4,?)，给出下列曲线方程：①4x?2y?1?0②x+y=3③

442x2?y2?1在曲线上存在点P，满足PM?PN的所有曲线方程是 （填序号）④。 2

练1:对于抛物线C：y2?4x，我们称满足y02?4x0的点M（x0,y0）在抛物线的内部，若点M（x0,y0）在抛物线的内部，则直线l：y0y?2(x?x0)与抛物线C的位置关系是 。

练2：设抛物线y2?8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有共点点，则直线l的斜率的取值范围是

例2.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，过y轴正方向上一点C（0，c）（c>0）任作一条直线，与抛物线y?x2 相交于A，B两点，一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l：y=-c交于P，Q两点。

????????（1）若OA?OB?2，求c的值；

（2）若p为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线。

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x2y2练1：（12安徽理）如图所示，F1(?c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左右焦点，过F1作直线

aba2x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过F2作直线PF2的垂线交直线x?于点Q，求证：直线PQ与椭圆C只

c有一个公共点。

练2：（14湖北理）在平面直角坐标系xoy中，点M到点F（1,0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C，（1）求点M的轨迹方程；（2）设斜率为k的直线l过定点P（-2，1）分别求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。

二、中点弦问题

?????1????????11x22?y?1交于A，B 两点，且OM?(OA?OB)（O为坐标原点）例1：已知过点M（，）的直线l与椭圆，

2222求直线l的方程。

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1x2y2练1：（14江西理）过点M（1,1）作斜率为?的直线与椭圆C：2?2?1(a?b?0)相交于A，B两点，若M

2ab是线段AB中点，则椭圆C的离心率等于 。

x2?y2?1。练2：已知椭圆方程（1）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；（2）过点P（2,1）的直线l与椭圆相2交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程。

x2y2??1，过坐标原点的直线交椭圆于P，A 两点，其中例2：如图所示，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆42点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，求证：对

任意k>0,都有PA⊥PB。

y2练1：已知曲线C：x?2?1(m?0,m?1)，过原点斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，

m2且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意带你k>0,都有PQ⊥PH？ 若存在，求m的值，不存在，说明理由。

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x2y2??1，试确定m的范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆C上有两个不同的点关于这条直例3已知椭圆C：43线对称。

练1：如图所示，已知椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e?1，（1）求椭圆2E的方程；（2）求?F（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若1AF2的角平分线所在直线l的方程；存在，请找出，不存在，说明理由。

x22练2：已知A，B，C是椭圆W：?y?1上的三点，O是坐标原点。（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC

4为菱形时，求此菱形面积；（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，说明理由。

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1x2y23.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，右焦点为F，右顶点A在圆F：(x?1)2?y2?r2(r?0)上。

2ab（1）求椭圆C和圆F的方程。

（2）已知过点A的直线l与椭圆C交于另一点B，与圆F交于另一点P，请判断是否存在斜率不为0的直线l，使点P恰好为线段AB的中点，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。

二、弦长与面积问题。

在弦长有关的问题中，一般有三类问题： （1）弦长公式

（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义 （3）涉及面积的计算问题

例1.过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于点A，B两点，若线段AB的长为8，则P为多少？

0?x2?y2?1，过椭圆C的左焦点F且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B，求弦长AB。 练1：已知椭圆C：

62

7x2y22练2：已知圆M：(x?2)?y?，若椭圆C：2?2?1(a?b?0)的右顶点为圆M的圆心，离心率为。

3ab222（1）求椭圆C的方程；

(2)已知直线l：y?kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且AG?BH，求k的值。

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x2?y2?1，过点（m，0）作圆x2?y2?1的切线l交椭圆G于A，B两点。 例2：已知椭圆C：4（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率。

（2）将AB表示为m的函数，并求AB 的最大值。

31x2y2练1已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)经过点M(1,)，其离心率为（1）求椭圆C的方程。

22ab（2）设直线l：y=kx+m(k?1)与椭圆C相交于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平形四边形OAPB，其中2顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求OP的取值范围。

x2y232.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的右顶点A（2,0）离心率为，O为坐标原点。

ab2（1）（1）求椭圆C的方程。

（2）已知P是（异于点A）为椭圆C上一个动点，过O作线段AP垂线l交椭圆C于点E，D。如图所示，求取值范围。

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DEAP的

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x2y2??1的左右焦点，AB是过点F1的一条动弦，求△ABF2的面积最大值。 例3：已知F1,F2是椭圆43

x2y23练1：（14新课标理）已知点A（0，-2），椭圆E：2?2?1(a?b?0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，

ab2直线AF的斜率为23，O为坐标原点。（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于Ｐ，Ｑ两点，当 3△ＯＰＱ面积最大时，求l的方程。

????????AF?2FB例４：已知抛物线y?4x的焦点为Ｆ，过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ，Ｂ两点。（１）若，求直线ＡＢ的

2斜率；（２）设点Ｍ在线段ＡＢ上运动，原点Ｏ关于点Ｍ的对称点Ｃ，求四边形ＯＡＣＢ面积的最小值。

练１：（１２北京）在平面直角坐标系ｘｏｙ中，椭圆Ｇ的中点为坐标原点，左焦点为F，Ｐ为椭圆Ｇ上1（－１,０）

o顶点，且?PFO。（１）求椭圆Ｇ的标准方程（２）已知直线l1：y?kx?m1与椭圆Ｇ交于Ａ，Ｂ两点，直线?451（１）求证：m1?m2?0 l2：y?kx?m2（m1?m2）与椭圆Ｇ交于Ｃ，Ｄ两点，且AB?CD，如图所示，（２）求四边形ＡＢＣＤ的面积Ｓ的最大值。

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x2y22.(14年湖南理21)如图所示，O为坐标原点，椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，离心率

abx2y23为e1；双曲线C2：2?2?1的左右焦点分别为F3,F4，离心率为e2，已知e1e2?，且F2F4?3?1。

ab2（1）求C1，C2的方程 （2）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值。

????????3.已知抛物线x?4y的焦点为F，A,B是抛物线上的两动点，且AF??FB(??0)。过A，B两点分别作抛物线

2??????????的切线，设其交点为M。（1）求证：FM?AB为定值；（2）设△ABM的面积为S，写出S?f(?)的表达式，并求S

的最小值。

三、平面向量在解析几何的应用 常见的两个应用

（1）用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是:先写出向量坐标式a?(x1,y1),b?(x2,y2)，再用向量数量积的坐标公式cos??x1x2?y1y2x?y?x2?y2212122b?0；钝角，当a,b不共线时，有a,b为：直角?a?b?0(且a,b不反向)；锐角?a?b?0(且a,b不同向) ?a?（2）利用向量的坐标表示解决共线问题.向量a,b共线的充要条件是a=?b或x1y2?x2y1

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1.夹角问题

直线l与抛物线x2?2py(p?0)相交于A，B两点，则：（1）直线l在y轴上的截距等于2P时，?AOB=90 （2）直线l在y轴上的截距大于2P时，?AOB<90（1）直线l在y轴上的截距大于0且小于2P时，?AOB>90。 例1：过抛物线x2?2py(p?0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，求证：△ABO为钝角三角形。

000x2y2??1的左右顶点，P为直线x?4上不同于点（4,0）的任意一点，若直线AP，BP练1：设A，B分别为椭圆43分别与椭圆相交于A，B的点M，N.求证：点B在以MN为直径的圆内。

m2x2?0，椭圆C：2?y2?1的左右焦点分别为F1,F2。练2：已知m>1,直线l：x?my?（1）当直线l过右焦点F2m2时，求直线l的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1,F2和△BF1,F2的重心分别为G，H，若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围。

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2.向量共线问题。

x2?y2?1有两个焦点P，Q。 例1：在平面直角坐标系xoy中，经过点（0，2）且斜率为k的直线l与椭圆2????????（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B是否存在常数k，使得向量OP?OQ????与AB共线？如存在，求k值，不存在说明理由。

x2y2a22练1：设椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，离心率e?，直线l：x?，如图所示，M，

abc2?????????????????????????lN是上的两个动点，FM（1）若F1M?F2N?25，求a,b的值；（2）求证：当MN取最小值时，?F2N?0，1???????????????FM?F2N与F1F2共线。 1

????????x2?11?2?y?1上的两点，并且点N（-2,0）满足NA??NB，当???,?时，求直线AB斜率例2：设A，B是椭圆2?53?的取值范围。

x2y2??1的左右焦点，直线l1过点F练1：已知F1,F2分别为椭圆1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于l1，32垂足为D，线段DF2的垂直平分线交l2于点M。（1）求动点M的轨迹C的方程。（2）过点F1作直线交曲线C于

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??????????????????两个不同的点P和Q，设FF2Q的取值范围。 1P??FQ1。若???2,3?，求F2P?

????????????????2.过点F（1,0）的直线交抛物线y?4x于A，B两点，交直线l：x=-1于点M，已知MA??1AF，MB??2BF，

2求?1??2的值。

四、定点问题

1.求定点问题的方法与步骤

一般地，解决动曲线（包括动直线l）过定点的问题，其解题步骤可归纳为：一选，二求，三定点。 2.两点说明

（1）对于曲线过定点，要求曲线方程关于参变量进行整理，即f1(x,y)??f2(x,y)?0,?为参数，若方程有两个参

?f1(x,y)?0数，需在题中寻找它们之间的关系，消去其中一个。若?有解，则曲线过定点，否则不过定点。

f(x,y)?0?2(2)对于直线过定点，我们有以下重要结论：

①若直线l：y?kx?m，m为常数，则直线l必过定点（0，m） ②若直线l：y?kx?nk，n为常数，则直线l必过定点（-n，0） ③若直线l：y?kx?nk?b，n，b为常数，则直线l必过定点（-n，b） ④若直线l：x?ty?m，m为常数，则直线l必过定点（m，0） ⑤若直线l：x?ty?nt，n为常数，则直线l必过定点（0，-n） ⑥若直线l：x?ty?nt?b，n，b为常数，则直线l必过定点（b，-n）。

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题型（一）三大圆锥曲线中的顶点直角三角形斜边所在的直线过定点。

x2y2??1，直线l：y?kx?m与椭圆交于A，B两点（A，B不是顶点）例1：已知椭圆，且以AB为直径的圆过43椭圆的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

?????x22l?y?1的左顶点为A，y?kx?b与椭圆交于不同的两点P，练1：已知椭圆不过点A的直线：Q。当APAQ?4时，求k与b的关系，并证明直线l过定点。

2.（12北京高三期末理）已知焦点在x轴上的椭圆C过点（0,1），且离心率为（1）求椭圆C的标准方程

（2）已知过点（?,0）的直线l与椭圆C交于A，B两点。（ⅰ）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小

?03，Q为椭圆C的左顶点。 265（ⅱ）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；不存在说明理由。

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x2y2223.已知椭圆M：2?2?1(a?b?0)的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为

ab36?42（1）求椭圆M的方程（2）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，

求△ABC的面积。

例2:已知抛物线y2?2px(p?0)上异于顶点的两动点A，B满足以AB为直径的圆过顶点，求证：AB所在过定点，并求出定点的坐标。

练1：如图，已知定点p(x0,y0)在抛物线y2?2px(p?0)上，过点P作两直线l1，l2分别交抛物线于A，B,且以AB为直径的圆过点P，求证：直线AB过定点，求出定点坐标。

2.已知抛物线方程y?4x过点M（1,2）作两直线l1，l2分别交抛物线于A，B两点，且l1，l2的斜率k1，k2满足

2k1k2=2.求证：直线AB过定点，并求出此定点坐标。

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????????题型（二）三大圆锥曲线中，若过焦点的弦AB，则焦点所在坐标轴上存在唯一定点N，使得NA?NB为定值。

x2y22例1：（12北京海淀模拟）已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的右焦点为F（1,0）且点(?1,)在椭圆C上。

ab2（1）求椭圆C的标准方程；

QB??（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点。在x轴上是否存在点Q，使得QA?存在，求出点Ｑ的坐标，若不存在，说明理由。

????????7恒成立？若16练１：已知双曲线x2?y2?2的左右焦点分别为F1,F2，过点F2的动直线与双曲线相交于Ａ，Ｂ两点。在Ｘ轴上是

????????否存在点Ｃ，使得CA?CB为常数？若存在，求出点Ｃ的坐标，若不存在，说明理由。

五．定值问题

解析几何中定值问题的证明可运用函数思想方法来解决。证明过程可总结为“变量－函数－定值” 方法有（１）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关。

（２）直接推理，计算，消去变量，从而得到定值。

题型（一）三大圆锥曲线中，曲线上的一定点Ｐ与曲线上的两动点Ａ，Ｂ满足直线ＰＡ与直线ＰＢ的斜率互为相反数，则直线ＡＢ的斜率为定值。

3x2y2??1，Ａ为椭圆上的点，其坐标为（１，）例１.已知椭圆Ｃ：，Ｅ，Ｆ是椭圆Ｃ上的两动点，如果直线Ａ

243Ｅ的斜率与ＡＦ的斜率互为相反数。求证：直线ＥＦ的斜率为定值，并求出该定值

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练１：已知Ａ，Ｂ，Ｃ是长轴为４，焦点在ｘ轴上的椭圆上的三点，点Ａ是长轴的一个端点，ＢＣ过椭圆的中心Ｏ，

????????????????且AC?BC?0，BC?2AC。（１）求椭圆方程；（２）如果椭圆上的两点Ｐ，Ｑ，使得∠ＰＣＱ的平分线垂直于

????????ＯＡ，问是否总存在实数?，使得PQ??AB？说明理由。

1x2y2２.已知椭圆Ｇ：2?2?1(a?b?0)的离心率为，过椭圆Ｇ右焦点Ｆ的直线ｍ：ｘ＝１与椭圆Ｇ交于点Ｍ（Ｍ

2ab在第一象限）。（１）求椭圆Ｇ的方程；（２）已知Ａ为椭圆Ｇ的左顶点，平行于ＡＭ的直线l与椭圆相交于Ｂ，Ｃ两

点，判断直线ＭＢ，ＭＣ是否关于直线ｍ对称，并说明理由。

题型（二）三大圆锥曲线中，设过焦点Ｆ且不垂直于坐标轴的弦ＡＢ，其垂直平分线交焦点所在轴于点Ｒ，则

FRe? AB2x2y23例１. 已知椭圆Ｃ：2?2?1(a?b?0)的离心率为，过右焦点Ｆ且斜率为Ｋ（Ｋ＞０）的直线与Ｃ相交于Ａ，

ab2????????Ｂ两点，若AF?3FB，则Ｋ＝ 。

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????????x2y2练1：已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于A，B两点，若AF?4FB，

ab则C的离心率为 。

????????2.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF?4FD，则C的离心

率为 。

题型（三）三大曲线中（双曲线需同一支）,设过焦点F且不平行于坐标轴的弦为AB，则为通经长）

例1：（1）已知过抛物弦y2?4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，AF=2，BF= 。

411为定值（L?LAFBF????????（2）已知过抛物弦y?4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，满足AF?3FB，则弦AB的中点到准线的

2距离 。

p2p22练1：如图所示，抛物线C1：y?2px和圆C2：(x?)?y?，其中p>0，直线l经过C1的焦点，依次交

242????????C1，C2于A，B，C，D四点，则AB?CD的值为 。

x2y2题型四：已知椭圆2?2?1(a?b?0)，直线l与椭圆交于A，B两点，在△AOB中，AB边上的高为OH。

ab??????????????????111111OB???2?2 （2）若OA?OB???2?2 （1）若OA?2OHab2OHab?????????111OB???2?2 （2）若OA?2OHab 17

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x2y2?1，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，例1：已知椭圆E：?84????????且OA?OB？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由。

练1.在直角坐标系xoy中，点P到两点（0，-3），（0，3）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y?kx?1????????与C交于A，B两点.（1）写出C的方程；（2）若OA?OB，求k的值。

x2y22.如图所示，椭圆2?2?1(a?b?0)的顶点为A1,A2,B1,B2，焦点为F1,F2A1B1?7，S?B1A1B2A2?2S?B1F1B2F2

abl是与n垂直相交于P点、（1）求椭圆C的方程；（2）设n为过原点的直线，与椭圆相交于A，B两点的直线，OP?1，

????????是否存在上述直线l使OA?OB成立？存在，求出l的方程；不存在，说明理由。

x2y23.如图所示，椭圆2?2?1(a?b?0)的一个焦点是F（1,0），O为坐标原点，设过点F的直线l交椭圆于A，B

ab两点。若直线l绕点F任意转动，恒有OA?OB?AB，求a的取值范围。

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222育英教育—相信就会有奇迹

六、最值问题

两种求解方法：一是几何方法，所求最值量具有明显的几何意义时可利用几何性质结合图形直观求解；二是目标函数法，即选取适当的变量，建立目标函数，然后按照求函数的最值方法求解，注意变量范围。

x2y2??1的左右焦点分别为F1,F2，点M是椭圆上任意一点，点A的坐标（2,1）例1：设椭圆，求MF1?MA的2516最大值和最小值。

练1：如图，已3知点P是抛物线y2?4x上的点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线l：x?2y?12?0的距离为d2，求d1+d2的最小值。

x2354522.已知点P为双曲线L：?y?1上的动点，M(,),F(5，0)，求MP?FP的最大值及此时点P的坐

455标。

y2?1，点M是椭圆上的动点，若C，D的坐标分别是（0，-3）例2：已知椭圆x?，（0，3），求MCMD42的最大值。

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y2?1在第一象限部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x，y轴的交点分别为A，练1、已知椭圆x?4??????????????????B,且向量OM?OA?OB，求OM的最小值。

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x2y22.（14年浙江理）如图，设椭圆C：2?2?1(a?b?0)，动直线l与椭圆C只有一个共点P，且点P在第一象

ab限。（1）已知直线l的斜率为k，用a,b,k表示p点坐标；（2）若过原点O的直线l1与l垂直，求证：点p到直线l1的距离的最大值为a?b

例3如图所示，已知抛物线E：y2?x与圆M：(x?4)2?y2?r2(r?0)相交于A，B,C ,D 四点。（1）求r的取值范围；（2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC，BD的交点P的坐标。

练1：已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1.（1）求动点P 的轨迹C的方程；

????????EB的最小值。 （2）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD?

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