4静定结构的位移计算习题解答

第4章 静定结构的位移计算习题解答

习题4.1 是非判断题

(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。（ ）

(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。（ ） (5) 对于静定结构，有变形就一定有内力。（ ） (6) 对于静定结构，有位移就一定有变形。（ ）

(7) 习题4.1(7)图所示体系中各杆EA相同，则两图中C点的水平位移相等。（ ） (8) MP图，M图如习题4.1(8)图所示，EI=常数。下列图乘结果是正确的：

12ql2l(??l)? EI384 （ ）

(9) MP图、M图如习题4.1(9)图所示，下列图乘结果是正确的：

11(A1y01?A2y02)?A3y03 EI1EI2 （ ）

(10) 习题4.1(10)图所示结构的两个平衡状态中，有一个为温度变化，此时功的互等

定理不成立。（ ）

FPCCFPll(a)

习题 4.1(7)图

l(b)l

qA2A1EI1(a)MP图l1ql28A3EI2(a)MP图1y02y01y031l/4

(b)M图

FP(b)M图

习题 4.1(8)图 习题 4.1(9)图

t1t2

(a)(b) 习题 4.1(10)图

【解】（1）错误。变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。

（2）错误。只有一个状态是虚设的。 （3）正确。

（4）错误。反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。 （5）错误。譬如静定结构在温度变化作用下，有变形但没有内力。 （6）错误。譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。 （7）正确。由桁架的位移计算公式可知。

（8）错误。由于取y0的M图为折线图，应分段图乘。 （9）正确。 （10）正确。 习题4.2 填空题

(1) 习题4.2(1)图所示刚架，由于支座B下沉?所引起D点的水平位移?DH=______。 (2) 虚功原理有两种不同的应用形式，即_______原理和_______原理。其中，用于求位移的是_______原理。

(3) 用单位荷载法计算位移时，虚拟状态中所加的荷载应是与所求广义位移相应的________。

(4) 图乘法的应用条件是：__________且MP与M图中至少有一个为直线图形。 (5) 已知刚架在荷载作用下的MP图如习题4.2(5)图所示，曲线为二次抛物线，横梁的

抗弯刚度为2EI，竖杆为EI，则横梁中点K的竖向位移为________。

(6) 习题4.2(6)图所示拱中拉杆AB比原设计长度短了1.5cm，由此引起C点的竖向位移为________；引起支座A的水平反力为________。

(7) 习题4.2(7)图所示结构，当C点有FP=1(↓)作用时，D点竖向位移等于??(↑)，当E点有图示荷载作用时，C点的竖向位移为________。

(8) 习题4.2(8)图（a）所示连续梁支座B的反力为FRB?11(?)，则该连续梁在支座B

16下沉?B=1时（如图（b）所示），D点的竖向位移?D=________。

K249246maABB1CDa

习题 4.2(1)图 习题 4.2(5)图

C3a2a3m3m

3mCA6m6mBAa

BaaDEM=1

a

习题 4.2(6)图 习题 4.2(7)图

FP=1ADFRBBCADDBCB=1l/2l/2l(b)(a)

习题 4.2(8)图

【解】（1）

?3(?)。根据公式Δ???FRc计算。

（2）虚位移、虚力；虚力 。 （3）广义单位力。

（4）EI为常数的直线杆。 （5）

48.875(?)。先在K点加单位力并绘M图，然后利用图乘法公式计算。 EI（6）1.5cm?；0。C点的竖向位移用公式Δ??FN?l计算；制造误差不会引起静定结构产生反力和内力。

（7）

?a(?)。由位移互等定理可知，C点作用单位力时，E点沿M方向的位移为

?21???a。则E点作用单位力M=1时，C点产生的位移为?12???a。

（8）

11、（b）两个图示状态，应用功的互等定理可得结果。 (?)。对（a）

16习题4.3 分别用积分法和图乘法求习题4.3图所示各指定位移?CV。EI为常数。 【解】1）求?CV

FPAEICl/2l/2（a）A1F l4PM（b） P图习题4.3(1)图

BxCBAxFP=1C1l4（c） 图MB

（1） 积分法

绘MP图，如习题4.3（1）(b)图所示。在C点加竖向单位力FP=1，并绘M图如习题4.3（1）(c)图所示。由于该两个弯矩图对称，可计算一半，再将结果乘以2。

AC段弯矩为

M?则

11x，MP?FPx 22?CV?2??（2） 图乘法

l/20FPl3111?x?FPxdx?(?) EI2248EI?CV2)求?CV

FPl311FPll2l?2???????(?)

EI2423448EI16020kN/mA2mCEI2m（a）BA10240xCBAx1CB

（1） 积分法

M（b） m）P图（kN·（c） 图M

习题4.3(2)图

绘MP图，如习题4.3（2）(b)图所示。在C点加竖向单位力并绘M图，如习题4.3（2）(c)图所示。以C点为坐标原点，x轴向左为正，求得AC段（0≤x≤2）弯矩为

M?x，MP?10?(x?2)2

则

?CV??（2） 图乘法

201680x?10?(x?2)2dx?(?) EI3EI由计算位移的图乘法公式，得

?CV? 3)求?CV

1?12112?680?160?2??2??40?2??2??10?2?1?(?) ??EI?23233?3EIqAEIl（a）BEIl/2FP=ql/2Cql4l2AB12x（c） 图MxAx1ql28B1ql24xCM（b） P图1C

习题4.3(3)图

（1） 积分法

绘MP图，如习题4.3（3）(b)图所示。在C点加竖向单位力并绘M图，如习题4.3（3）(c)图所示。根据图中的坐标系，两杆的弯矩（按下侧受拉求）分别为 AB杆

1ql1M??x，MP?x?qx2

242CB杆

M?x，MP? 则

qlx 2?CV1?EI112?1?ql?x?x?qxdx???02?2EI?4?l?l/20qlql4x?xdx?(?)

224EI（2）图乘法

?CV1?1ql22l2ql21l1ql2l2l?ql4??l????l??????????(?) ??EI?2432382224232?24EI 4)求?A

qA2EI2lEIBlql/2M（b） P图21ql2/811/3ql2

（a）（c） 图M

习题4.3（4）图

（1）积分法

绘MP图，如习题4.3（4）(b)图所示。在A点加单位力偶并绘M图，如习题4.3（4）(c)图所示。以A为坐标原点，x轴向右为正，弯矩表达式（以下侧受拉为正）为

M?1?则

131x，MP?qlx?qx2 3l223lMMMMPP?CV??dx??dx02l2EIEI2l1?3l1?1??312?1??1?x?qlx?qxdx?1?????2lEI?02EI?2?3l??2??3l2l1??3?x???qlx?qx2?dx2??2?

?5ql3（ ） 8EI（2） 图乘法

由计算位移的图乘法公式，得

?A??112?1?1??211?22?ql?2l????1??2l?ql??1???????233332???3?2??

1?12121211?2 ??ql?l????l?ql????EI?2333832?12EI ?5ql3（ ） 8EI习题4.4 分别用积分法和图乘法求习题4.4(a)图所示刚架C点的水平位移?CH。已知EI=常数。

DCql22ql22D DCllx1CllxBABl(c)M图q1ql28 Al(a)BA (b)MP图习题4.4图

【解】1）积分法

MP、M图分别如习题 4.4（b）、（c）图所示，建立坐标系如（c）图所示。各杆的弯

矩用x表示，分别为 CD杆

M?x，MP?AB杆

1qlx 21M?x，MP?qlx?qx2

2代入公式计算，得

?CH??2）图乘法

l11113ql4(?) ?x?qlxdx???x?(qlx?qx2)dx?0EI0EI8EI22l?CH1?1ql222ql2l?34???l?l?2??l???ql(?) ??EI?223382?8EI习题4.5 习题4.5(a)图所示桁架各杆截面均为A=2×10?3m2，E=2.1×108kN/m2，FP=30kN，d=2m。试求C点的竖向位移FP?CV。

FPDAC2FP2×d(a)2×dFPFPE?2√2DDDFP?3FPFPA√2E?2√2dBFP?3FPFPB2FP√2CA2×d(a)2×d2FPC2FPEA?2√2F2FPPBE?2√22FPFP√2FFPPCB√2(b) FNP图(b) FNP图DDA2?√/2?11√2d1√2d00?1√2/222/√E?A?√2/20.5B0.50.5C1/2√2/211dB√2d?√2?1C10.5√2d1dFN（c） 图

E?√212√d0d?√2?0101√2d1√2dFN（d） 图0001d1√2d （ c ） 图 F N 习题 4.5图

FN（d） 图【解】绘FNP图，如习题4.5(b)图所示。

在C点加竖向单位力，并绘FN图，如习题4.5(c)图所示。 由桁架的位移计算公式Δ?FNFNP?EAl，求得

10?62FPd?2.64mm(?) EA?CV?习题4.6 分别用图乘法计算习题4.3和习题4.4中各位移。（见以上各题） 习题4.7 用图乘法求习题4.7（1）、（2）、（3）、（4）图所示各结构的指定位移。EI为常

数。

【解】

1）求?CV

1ql2Cl=4mqBEIEIA3ml=4m（a）16q4134q7

M（b） P图（c） 图M

习题 4.7（1）图

绘MP图，如习题4.7（1）(b)图所示；在C点加竖向单位力，并绘M图，如习题4.7（1）(c)图所示。

由计算位移的图乘法公式，得

?CV?1EI?11?12???2?1?34q?5??7??4??16q?5??7??4??????233233?????AB?

1?11221123??ql?l??4??ql?l??4??EI?223324?BC2354 ?q(?)3EI ?2）求?D

2ql2BEICEI2EIAl（a）13ql/8M（b） P图（c） 图M2217ql/8ql2/811Dl/2l/2qql2/811

习题 4.7（2）图

绘MP和M图，分别如习题4.7（2）(b)、(c)图所示。 由计算位移的图乘法公式，得

?D??11?13171?12112l????ql2?ql2??1?ql?l?1??ql??1? ?2EI2?88EI?8382??13ql3（ ） 12EI3）求A、B两截面的相对转角?AB

qA2EIB2ql2ql/822ql2111EICl（a）M（b） P图lC（c） 图M

习题 4.7（3）图

绘MP和M图，分别如习题4.7（3）(b)、(c)图所示。 由计算位移的图乘法公式，得

?AB??1?121????2ql2?l??ql2?l??1 2EI?238?11ql3（ ） 24EI124）求C、D两点间的相对线位移?CD及铰C左右两侧截面C1、C2之间的相对转角?CC

C1C2FPDCEIBl（a）1√211DA（c） 图MBCDllM（b） P图111C11lCFPFPlFPl/2AFPl/2FPlFPl/2BFPl/2lAlAB（c） 图M

习题 4.7（4）图

绘MP图，如习题4.7（4）(b)图所示。分别加一对单位力和单位力偶，并绘M图，如习题4.7（4）(c)、(d)图所示。

由计算位移的图乘法公式，得

?CD?1?11?1l???FPl?l??? EI?222?32FPl3?(??) 24EI?CC?121?111????1?l??FPl??2 EI?232??1FPl2（ ） 6EI习题4.8 求习题4.8(a)图所示刚架A、B两点间水平相对位移，并勾绘变形曲线。已知EI=常数。

l/2Aqql(a)qBl/2A2ql2/24ql/8Bql2/24(b)MP图A1l/2l/2(c)M图1BABl/2(d)变形曲线

习题 4.8图

【解】绘MP和M图，分别如习题4.8(b)、(c)图所示。则

?AB?12l212l??112l4l?ql????2?ql?l???ql?l??252242382??424?

4ql ??(??)60EI1EI变形曲线如习题4.8(d)图所示，需注意图中A、B两点以上为直线。 习题4.9 习题4.9(a)图所示梁的EI=常数，在荷载FP作用下，已测得截面B的角位移为0.001rad（顺时针），试求C点的竖向位移。

FPAC3m3m6m(a)1B(c)M图13m3mBCFP3FPBA(b)MP图

习题 4.9图

【解】绘MP图，在B点加单位力偶并绘M图，分别如习题4.9(b)、(c)图所示。图乘得

?B?令?B?0.001，得FP?3FP EI0.001EI。 3 下面求?CV（在MP图中令FP?1即为对应之M图）：

?CV?1?1212?27FP?3F?3??3??3F?6??3???9mm(?) PP?EI?2323?EI习题4.10 习题4.10(a)图所示结构中，EA=4×105kN，EI=2.4×104kN·m2。为使D点竖

向位移不超过1cm，所受荷载q最大能为多少？

AEAEI4m（a）3mEAqC2m7.5q1.5q2qD2q-0.52.521BF M（b） P图、NP图（c） 图、 FMN图

习题 4.10图

【解】绘梁杆的MP图、桁杆的FNP图，如习题4.10(b) 图所示。

在D点加竖向单位力，绘梁杆的M图、桁杆的FN图，如习题4.10(c)图所示。 由组合结构的位移计算公式，求得?DV为

?DV?1?12213??2q?4??2??4?2q?1??2?2q??2??EI?23334?1 ??1.5q?(?0.5)?3?7.5q?2.5?5?EA2q183 ??qEI2EA令?DV?0.01，解得

q?32.04kN/m

即q不超过32.04kN/m时，D点竖向位移不超过1cm。

习题4.11 试计算由于习题4.11(a)图所示支座移动所引起C点的竖向位移?CV及铰B两侧截面间的相对转角?B1B2。

BB1B22aA0.02rad2a（a）B11FR2=3aCa0.01aAFR1=1（b）C1FR2=0FR1=0（c）

习题 4.11图

【解】在C点加一竖向单位力，求出支座移动处的反力，如习题4.11(b) 图所示。则

?CV???FRc??(?1?0.01a?3a?0.02)?0.07a(?)

在铰B两侧截面加一对单位力偶，求出支座移动处的反力，如习题4.11(c) 图所示。则

?BB?0

12习题4.12 习题4.12(a)、(b)图所示刚架各杆为等截面，截面高度h=0.5m，??=10?5，刚架内侧温度升高了40℃，外侧升高了10℃。试求：

图（a）中A、B间的水平相对线位移?AB。 图（b）中的B点的水平位移?BH。

+10℃4m+10℃B+10℃+40℃4m+40℃A+10℃4m(a)4FN=1CDFN=1414144FN=144m4m(b)FN=11AB?FN= 14（c） 图、 FMN图4（d） 图、 FMN图4mAB+10℃+10℃

习题 4.12图

【解】1）求图（a）中?AB

在A、B两点加一对单位力，绘M图和FN图，如习题4.12(c) 图所示。按如下公式计算?AB

?AB??互抵消，故?AB?0。

2）求图（b）中的?BH

??th?Mdx???tFl

0N因AC，BD杆两侧温度均升高了40℃，对上式无影响。其他四边代入上式计算结果相

在B点加一水平单位力，绘M图和FN图，如习题4.12(d) 图所示。

?BH???(40?10)1h??4?4?2???210?40?1?4?2?0.0116m(?) 2习题4.13 由于制造误差，习题4.13(a)图所示桁架中HI杆长了0.8cm，CG杆短了0.6cm，试求装配后中间结点G的水平偏离值?GH。

CGD6m1?FN= 0.5GFN=1EA4×6m(a)B6mHIF(b)

习题 4.13图

【解】在G点加一水平单位力，解出HI，CG杆的轴力FN，如习题4.13(b)图所示。则

?GH??FN?l?(0.8?1?0.5?0.6)?1.1cm(?)

习题4.14 求习题4.14(a)图所示结构中B点的水平位移?BH。已知弹性支座的刚度系数k1=EI/l，k2=2EI/l3。

qqlCEIAk1l（a）EIk2Bql2/8FR2=ql/2B1FR2=0lql2lFR1=ql2M（b） P图FR1=l（c） 图M

习题 4.14图

【解】（1）绘MP图，并求支反力FR，如习题4.14(b)图所示。

（2）在B点加一水平单位力，绘M图，并求支反力FR，如习题4.14(c)图所示。 （3）由公式Δ?MMPFRFRds???EI?k，得

1122l4ql42??ql?l?l??l?ql?(?) EI23EI3EI?BH

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